Функции Эрмита и скалярное произведение в пространстве Соболева

Рассмотрим ортогональную систему Эрмита $\{{{\phi }_{2}n\left(x\right)\}}_{n\ge 0}$ четного индекса, определенную на $(-\infty ,\infty )$ формулой ${\phi }_{2}n\left(x\right)=\frac{e^{-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}}{\surd \left(2n\right)!{\pi }^{\frac{1}{4}}{2}^n)}{H}_{2}n\left(x\right),$

где через $H_{2}n\left(x\right)$ обозначен полином Эрмита степени $2n$. В данной работе рассматривается обобщенная система $\left\{{\psi }_{r,2n}\right(x\left)\right\}$ с $r>0$, $n\ge 0$, ортогональная относительно скалярного произведения Соболевского типа на $(-\infty ,\infty )$

$⟨f,g⟩=\underset{(t\to -\infty )}{lim}\sum _{k=0}^{r-1}{f}^{\left(k\right)}\left(t\right)g^{\left(k\right)}\left(t\right)+\underset{-\infty }{\overset{{}^{\infty }}{\int }}{f}^{{}^{\left(r\right)}}\left(x\right)g^{\left(r\right)}\left(x\right)\rho \left(x\right)dx$

с $\rho \left(x\right)=e^{(}-x^2),$ и порожденная системой ${\left\{{\phi }_{2}n\left(x\right)\right\}}_{n\ge 0}$. Основной целью работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой ${\left\{{\psi }_{r,2n}\left(x\right)\right\}}_{n\ge 0}$, ${\psi }_{r,n}\left(x\right)=\frac{{(x-a)}^n}{n!}, n=0,1,2,\dots , r-1,$ ${\psi }_{r,r+n}\left(x\right)=\frac{1}{(r-1)!}{\int }_a^b(x-t{)}^{r-1}{\phi }_n(t)dt, n=0,1,2,\dots .$

Изучаются условия на функцию $f\left(x\right)$, заданную в обобщенной ортогональной системе Эрмита, достаточные для ее разложения в обобщенный смешанный ряд Фурье, а также сходимость этого ряда Фурье. Второй результат статьи — доказательство рекуррентной формулы для системы ${\left\{{\psi }_{(}r,2n\left)\right(x)\right\}}_{n\ge 0}$. Также обсуждаются асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительную часть работы.