Свойства средней временной выгоды для вероятностных моделей эксплуатируемых популяций

Рассматривается модель однородной популяции, заданная при отсутствии эксплуатации дифференциальным уравнением $x ̇=g\left(x\right)$. В каждый момент времени ${\tau }_k=kd$, где $d>0$, $k=1,2,...,$ из этой популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса ${\omega }_k\in [0,1]$. Предполагаем, что можно остановить заготовку в случае, если ее доля окажется больше некоторого значения $u\in [0,1)$; тогда доля добываемого ресурса будет равна $l_k=l({\omega }_k,u)=min({\omega }_k,u)$, $k=1,2,...$. Исследуется средняя временная выгода от добычи ресурса, которая равна нижнему пределу при $n\to \infty$ среднего арифметического количества ресурса, полученного за $n$ извлечений. Показано, что свойства данной характеристики связаны с наличием положительной неподвижной точки разностного уравнения $X_{(}k+1)=\phi (d,(1-u)X_k)$, $k=1,2,...$, где $\phi (t,x)$ – решение уравнения $x ̇=g\left(x\right)$, удовлетворяющее начальному условию $\phi (0,x)=x$. Получены условия существования предела и оценки средней временной выгоды, выполненные с вероятностью единица. Результаты работы проиллюстрированы на примерах эксплуатируемых однородных популяций, зависящих от случайных параметров.