Том 27, № 137 (2022)

В более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. “О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14] установлена связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями в компактном метрическом пространстве и доказан весьма простой характер поведения рекуррентных движений. В данной работе на основании этих результатов вводится новое определение рекуррентного движения, которое, в отличие от широко используемого в современной литературе, дает достаточно полную информацию относительно строения рекуррентного движения как функции времени и поэтому является более наглядным. При этом мы показываем, что в абстрактном метрическом пространстве предлагаемое определение эквивалентно определению Биркгофа, а в полном метрическом пространстве эквивалентно общепринятому современному определению. Получены необходимые и достаточные условия рекуррентности (в смысле предложенного в статье определения) движения в компактном метрическом пространстве. Доказано, что в компактном метрическом пространстве α - и ω -предельные множества любого движения являются минимальными (это утверждение было анонсировано в более ранней статье авторов). Из минимальности α - и ω -предельных множеств выведено, что в компактном метрическом пространстве каждая положительно (отрицательно) устойчивая по Пуассону точка лежит на траектории рекуррентного движения, т. е. является точкой минимального множества, и таким образом, в компактном метрическом пространстве с конечной положительной инвариантной мерой почти все точки являются точками минимальных множеств.

В статье исследуется включение, в котором многозначное отображение действует из метрического пространства (X, ρ ) во множество Y с расстоянием d . Это расстояние удовлетворяет только первой аксиоме метрики: d y 1 , y 2 равно нулю тогда и только тогда, когда y1 = y2 . Расстояние не обязано быть симметричным и удовлетворять неравенству треугольника. Для пространства (Y, d) определены простейшие понятия (шара, сходимости, расстояния от точки до множества), а для многозначного отображения G:X⇉Y введены множества накрывания, липшицевости и замкнутости. В этих терминах (позволяющих адаптировать к отображениям со значениями в (Y, d) классические условия накрывания, липшицевости и замкнутости отображений метрических пространств и ослабить такие условия) формулируется теорема о разрешимости включения F(x, x)∋ y и дается оценка отклонения в пространстве (X, ρ ) множества решений от заданного элемента x0 ∈X . Основными условиями полученного утверждения являются принадлежность при любом x из некоторого шара пары (x, y) множеству α -накрывания отображения F(·, x) и множеству β -липшицевости отображения F x, ∙, где α>β. Доказательство соответствующего утверждения основано на построении последовательностей { xn }⊂X и { yn }⊂Y , удовлетворяющих соотношениям y n ∈Fx n ,x n , y ∈Fx n +1 ,x n , αρ(x n +1 , x n )≤d(y , y n )≤βρ(x n , x n -1 ) . Также в статье получены достаточные условия устойчивости решений рассматриваемого включения к изменениям многозначного отображения F и элемента y .

Задача поиска нормального решения операторного уравнения первого рода на паре гильбертовых пространств является классической в теории некорректных задач. В соответствии с теорией регуляризации ее решения аппроксимируются экстремалями функционала Тихонова. С точки зрения теории задач на условный экстремум эквивалентной классической некорректной задаче является задача минимизации функционала, равного квадрату нормы элемента, с операторным (т. е. задаваемым оператором с бесконечномерным образом) ограничением-равенством. В статье обсуждается возможность регуляризации принципа Лагранжа (ПЛ) в указанной задаче на условный экстремум. Эта регуляризация представляет собою такую трансформацию ПЛ, которая превращает его в универсальное средство устойчивого решения некорректных задач в терминах обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) и сохраняет основанное на конструкциях классической функции Лагранжа его «общее структурное устройство». Трансформированный ПЛ «содержит» классический аналог в качестве своего предельного варианта при стремлении номеров элементов ОМП к бесконечности. Обсуждаются как неитеративный, так и итеративный варианты регуляризации ПЛ. Каждый из них приводит к устойчивому генерированию ОМП в исходной задаче на условный экстремум из экстремалей регулярного функционала Лагранжа, взятого при значениях двойственной переменной, вырабатываемой соответствующей процедурой регуляризации двойственной задачи. В заключение статьи обсуждается взаимосвязь экстремалей функционалов Тихонова и Лагранжа в рассматриваемой классической некорректной задаче.

Исследуются вопросы применения аппарата динамического программирования (ДП) в задаче маршрутизации с ограничениями и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Предполагается заданным бинарное разбиение множества заданий, т. е. выделены две группы заданий; задания первой группы должны быть выполнены раньше, чем начнется выполнение заданий второй группы. В каждой из групп могут присутствовать условия предшествования. Данная постановка может быть связана, в частности, с вариантом листовой резки зонами на машинах с ЧПУ, где две вышеупомянутые группы заданий образуют зоны, намеченные на этапе раскроя. В общем случае для построения оптимального решения применяется двухэтапный вариант ДП. Стыковка этапов осуществляется посредством отождествления терминальной компоненты критерия предваряющей задачи с функций экстремума финальной задачи. Склеивание оптимальных решений предваряющей и финальной задач доставляет, как показано в статье, оптимальное решение совокупной задачи. На основе теоретических конструкций построен алгоритм, реализованный на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.