Asymptotic expansion of a solution for one singularly perturbed optimal control problem with a convex integral quality index depends on slow variables and smooth control constraints

Full Text

Введение Задачам оптимального управления с сингулярными возмущениями в связи с их тео- ретической значимостью и актуальными приложениями посвящаются многочисленные работы. Обзор результатов исследований задачи оптимального управления для линей- ной системы с быстрыми и медленными переменными в различной постановке представ- лен, например, в [1]. Более подробно общие свойства систем с интегральным выпуклым АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 121 функционалом качества рассмотрены в [2, Глава 3]. Проблемы, связанные с предель- ной задачей, для задач оптимального управления линейной системой с быстрыми и медленными переменными рассматривались в [3], [4]. В других постановках асимптоти- ка решений возмущенных задач управления исследовалась в статьях [5]-[7]. Отметим, что в статье [6] рассматривался терминальный критерий качества. Настоящая работа посвящена изучению асимптотики вектора сопряженного состоя- ния в задаче оптимального управления линейной системой с быстрыми и медленными переменными, с интегральным выпуклым функционалом качества, терминальная часть которого зависит от медленных переменных. Считается, что на управление наложено гладкое геометрическое ограничение в виде шара. Получено полное асимптотическое разложение вектора сопряженной системы, определяющего оптимальное управление. Статья является продолжением работ [8], [9]. Главной отличительной особенностью изу- чаемой здесь задачи от задач, рассмотренных в статьях [8], [9], является более общий вид управляемой системы. При написании работы использовались понятия, методы и результаты теории оп- тимального управления [2], [10], [11], асимптотического анализа [12], линейной алгебры [13], теории сингулярно возмущенных уравнений [14] и выпуклого анализа [15]. 1. Постановка задачи Пусть управляемая система содержит быстрые и медленные переменные, а терми- нальная часть функционала качества зависит только от медленных переменных: 8>>< >>: x_ " = A11x" + A12y" + B1u; t 2 [0; T]; kuk 6 1; "y_" = A21x" + A22y" + B2u; x"(0) = x0; y"(0) = y0; J"(u) := '(x"(T)) + T R 0 ku(t)k2 dt ! min; (1.1) где x" 2 Rn , y" 2 Rm , u 2 Rr ; Aij , Bi , i; j = 1; 2 постоянные матрицы соответству- ющей размерности, а '() непрерывно дифференцируемая на Rn строго выпуклая и кофинитная функция в смысле выпуклого анализа [15, § 13]. При каждом фиксированном " > 0 управляемая система из (1.1) имеет вид: ( z_" = A"z" + B"u; z"(0) = z0; где z"(t) := x"(t) y"(t) ! ; z0 := x0 y0 ! ; A" := A11 A12 " 1A21 " 1A22 ; B" := B1 " 1B2 : Отметим, что в рассматриваемом критерии качества J первое слагаемое можно интерпретировать как штраф за ошибку управления в конечный момент времени T , а второе как учет энергозатрат на реализацию управления. 122 А. А. Шабуров О п р е д е л е н и е 1.1. Мы будем говорить, что пара матриц (A;B) вполне управ- ляема, если вполне управляема система x_ = Ax + Bu: У с л о в и е 1.1. При всех достаточно малых " > 0 пара (A"; B") вполне управ- ляема, т. е. rank B";A"B"; : : : ;An+m 1 " B") = n + m: У с л о в и е 1.2. Все собственные значения матрицы A22 имеют отрицательные вещественные части. Таким образом, из условия 1.2 следует невырожденность матрицы A22: О п р е д е л е н и е 1.2. Вырожденной задачей для задачи (1.1) называется задача 8>>>>< >>>>: x_ 0 = A0x0 + B0u; t 2 [0; T]; x0(0) = x0; kuk 6 1; J0(u) := '(x0(T)) + T R 0 ku(t)k2 dt ! min; где A0 := A11 A12A 1 22 A21; B0 :=B1 A12A 1 22 B2: У с л о в и е 1.3. Пары (A0;B0) и (A22;B2) вполне управляемы. Отметим, что выполнение условий 1.2 и 1.3 влечет выполнение условия 1.1 при всех достаточно малых " > 0 [4, Theorem 1]. Таким образом, условия 1.2 и 1.3 являют- ся достаточными условиями вполне управляемости двух систем: x_ 0 = A0x0 + B0u и y_" = A22y" + B2u при всех достаточно малых ": Основная задача, которая ставится для (1.1), состоит в нахождении полного асимп- тотического разложения по степеням малого параметра " оптимального управления u , оптимального значения функционала качества J" и оптимального процесса (x"(t); y"(t)) . 2. Асимптотика матричной экспоненты и основные соотношения Рассматривая eA"t как фундаментальную матрицу W(t; ") решения системы в за- даче (1:1) в случае u" 0 и следуя методу пограничных функций [14], при выполнении условия 1.2 получаем eA"t =: W(t; ") X1 k=0 "k Wk(t) + ~Wk( ) ; := t " ; (2.1) Wk(t) := W11;k(t) W12;k(t) W21;k(t) W22;k(t) ; ~Wk( ) := ~W 11;k( ) ~W12;k( ) ~W 21;k( ) ~W22;k( ) : (2.2) Здесь Wk(t); ~Wk( ) бесконечно дифференцируемые матричнозначные функции, ко- торые могут быть получены из решения системы ( d dtW(t; ") = A"W(t; "); W(0; ") = I; (2.3) АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 123 где для блоков Wij(t; ") матрицы W(t; ") получаем асимптотические разложения, рав- номерные на [0; T] при каждом фиксированном k > 0: Через I обозначаем тожде- ственное отображение в соответствующем пространстве. Непосредственным вычислением получаем начальные приближения при k = 0 : 8< : W11;0(t)=eA0t; ~W11;0( )O; W12;0(t)O; ~W12;0( )O; W21;0(t)= A 1 22 A21eA0t; ~W21;0( )=eA22A 1 22 A21; W22;0(t)O; ~W22;0( )=eA22: (2.4) Здесь и далее, O нулевая матрица. При k > 1 и j = 1; 2 с помощью рекуррентных формул ~W 1j;k( ) = Z1 A11 ~W1j;k 1(s) + A12 ~W2j;k 1(s) ds; (2.5) W1j;k(t) = eA0t ~W1j;k(0) + Zt 0 eA0(t s)A12A 1 22 d ds (W2j;k 1(s)) ds; (2.6) W2j;k(t) = A 1 22 A21W1j;k(t) d dt (W2j;k 1(t)) ; (2.7) ~W 2j;k( ) = eA22W2j;k(0) + Z 0 eA22( s)A21 ~W1j;k(s)ds (2.8) находятся блоки-функции матриц (2.2). Таким образом, можно найти разложение мат- ричной экспоненты (2.1) через матрицы-функции (2.2), элементы которых вычисляются с помощью начальных приближений (2.4), рекуррентных формул (2.5), (2.6), (2.7), (2.8) и дополнительных условий на матрицы A"; B" . Используя приведенные выше форму- лы, выпишем в явном виде матрицы-функции W12;1(t) , ~W12;1( ) , которые понадобятся в дальнейшем: W12;1(t) = eA0tA12A 1 22 ; ~W12;1( ) = A12A 1 22 eA22 : Утверждение 2.1. Существует > 0 такое, что 8 k > 0 8 i; j 2 f1; 2g 9Cij;k > 0 8 > 0 k ~Wij;k( )k 6 Cij;k e : (2.9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Методом математической индукции по k > 0 покажем, что для некоторого 1 > 0 выполнено соотношение 8 i; j 2 f1; 2g 9 Pij;k( ) 8 > 0 k ~Wij;k( )k 6 Pij;k( ) e 1 ; (2.10) 124 А. А. Шабуров где Pij;k( ) некоторые многочлены с неотрицательными коэффициентами. Из (2.10) будет следовать (2.9) с = 1=2 . Отметим, что при выполнении условия 1.2 существует K > 0 такое, что 8 > 0 keA22k 6 Ke 1 ; где 1 = 1 2 maxfRe() : собственное число матрицы A22g > 0 (см. например, [13, п. 8.5]). База индукции очевидна ввиду явного вида (2.4) функции ~Wij;0( ) . Пусть для k справедливо предложение индукции. Докажем, что оценка (2.10) справедлива и при k + 1 . Для матрицы ~W1j;k+1 в силу (2.5) имеем k ~W1j;k+1( )k 6 Z1 kA11k k ~W1j;k(s)k + kA12k k ~W2j;k(s)k ds 6 Z1 kA11k P11;k(s) e 1s + kA12k P21;k(s)e 1s ds: Определим P(s) := kA11k P11;k(s) + kA12k P21;k(s) все коэффициенты которого, оче- видно, неотрицательны. Применяя к последнему интегралу формулу интегрирования по частям ~k раз ( ~k степень многочлена P(s) ): k ~W1j;k+1( )k 6 Cij;k 0 @e 1sP(s) 1 + Z1 e 1sP 0 (s)ds 1 A 6 : : : 6 k ~ P( )k e 1 6 e ; получим необходимую оценку. В силу (2.8) k ~W2j;k+1( )k 6 e 1P21;k( ) + Z 0 e 1( s) P21;k(s)e 1sds 6 e P21;k( ) + e Z 0 P21;k(s)ds 6 P( )e : Отметим, что в силу утверждения 2.1 при всех k , i , j и t 2 ["p; T] , p 2 (0; 1) k ~Wij;k(t=")k = O; (2.11) т. е. величина k ~Wij;k(t=")k есть асимптотический ноль относительно асимптотической последовательности по степеням " . АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 125 При выполнении условия 1.1, принцип максимума Понтрягина есть необходимое и достаточное условие оптимальности, которое дает единственное решение задачи (1.1) [2, п. 3.5, теорема 14]. Тогда, как доказано в [8, Утверждение 1 и формулы (2.4), (2.5)] оптимальное управление u"(t) в задаче (1.1) имеет вид: u"(T t) = C " (t)l" S (kC " (t)l"k) ; S() := ( 2; 0 6 6 2; ; > 2; (2.12) где C"(t) := exp t A11 A12 " 1A21 " 1A22 B1 " 1B2 1 = W11(t; ")B1 + " 1W12(t; ")B2: (2.13) Здесь []1 обозначает первые n строк соответствующей матрицы. Вектор l" есть един- ственное (с учетом кофинитности функции ' [15, Теорема 26.6]) решение уравнения 0 = r'( l) +W11(T; ")x0 +W12(T; ")y0 + ZT 0 C"(t)C " (t)l S (kC " (t)lk) dt: (2.14) Здесь и далее C " (t) сопряженная матрица к матрице C"(t): Тоже самое мы будем говорить про другие сопряженные матрицы при наличии над ними соответствующего обозначения. Поскольку keA" tk 6 K при t 2 [0; T]; то k B "eA" t 1 k = O(" 1): Поэтому справед- ливо следующее утверждение. Утверждение 2.2. Пусть l" вектор, определяющий оптимальное управление, причем l";N определяется как kl" l";Nk = O("N+1): Тогда на отрезке [0; T] выполнено ku" u";Nk = O("N); где u" оптимальное управление, а u";N управление, определяемое по формуле (2.12) вектором l";N . В [8, Теорема 1] показано, что при выполнении условий 1.2 и 1.3: l" ! l0 при " ! +0; (2.15) где l0 единственное решение уравнения 0 = r'( l) + eA0T x0 + ZT 0 C0(t)C 0 (t)l S (kC 0 (t)lk) dt; C0(t) := eA0tB0: (2.16) 126 А. А. Шабуров Здесь ' функция, сопряженная к ' в смысле выпуклого анализа (см. [15, § 12]. В силу (2.11) матриц-функции ~Wij(T="; ") при всех i; j = 1; 2 есть асимптотический ноль. Отметим, что в силу аналитичности и вполне управляемости, у матрицы-функции C"(t) существует лишь конечное число точек ti;" таких, что при малых " > 0 kC " (t)l"k = 2: (2.17) Оптимальное управление в силу (2.12) определяется одной из двух формул C " (t)l" 2 ; либо C " (t)l" kC " (t)l"k : (2.18) При этом интеграл из (2.14) разбивается на интегралы вида Z C"(t)C " (t)l kC " (t)lk dt; либо Z C"(t)C " (t)l 2 dt по соответствующим отрезкам. О п р е д е л е н и е 2.1. Точки ti;" решения уравнения (2.17) будем называть точками смены вида оптимального управления. Таким образом, найдя асимптотику вектора l"; можно будет, используя асимптоти- ческое разложение (2.1), найти асимптотику и точек ti;" , и оптимального управления. Следовательно, необходимо и важно исследовать решения уравнения (2.17). Для дальнейшего нам потребуются асимптотические разложения C"(t) до порядка O("2) и @ @tC"(t) до порядка O(") . В силу (2.3) и (2.13) C"(t) = C0(t) + A12A 1 22 eA22B2 +M("; t; ) + O("2); " ! 0; (2.19) где M("; t; ) := " W11;1(t) + A12A 1 22 eA22A 1 22 A21 B1 + " W12;2(t) + ~W12;2( ) B2; (2.20) @ @t C"(t) = d dt C0(t) + " 1A12eA22B2 + A12eA22A 1 22 A21B1 + A11A12A 1 22 eA22 + A12 ~W22;1( ) B2 + O("); " ! 0: (2.21) Из формул (2.20), (2.21) следует, что при t 2 [ p "; T] C"(t) = C0(t) + O("); @ @t C"(t) = d dt C0(t) + O("); " ! 0; а при t 2 [0; p "] переходя от функции C"(t) к функции ~ C"( ) :=C"(" ) , 2 [0; 1= p "] ~ C"( ) = B0 + A12A 1 22 eA22B2 + O("); @ @ ~ C"( ) = A12eA22B2 + O("); " ! 0: АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 127 Таким образом, можно ожидать, что решения уравнения (2.17) при t 2 [ p "; T] на- ходятся вблизи решений уравнения kC 0 (t)l0k = 2 , т. е. вблизи точек смены вида управ- ления в вырожденной задаче, а при 2 [0; 1= p "] вблизи решений уравнения k ( )l0k = 2; где ( ) :=B 0 + B 2eA 22 (A 22) 1A 12: (2.22) Аналогично [9, Теорема 1] доказывается следующая Теорема 2.1. Пусть l"!l0; ftigp 1[ p "; T] все решения уравнения kC 0 (t)l0k=2; а fjgq 1 [0; 1= p "] все решения уравнения (2:22) , и выполнены условия d dt kC 0 (t)l0k2 t=ti = 2 D B 0eA0 ti l0;B 0A 0eA0 ti l0 E 6= 0; при i = 1; : : : ; p; d d k ( )l0k2 =j =2 D B 0 + B 2eA 22j (A 22) 1A 12 l0;B2eA 22jA 12l0 E 6=0; при j=1; : : : ; q: Тогда существует "0 > 0 такое, что для любого " 2 (0; "0) существуют fti;"gp 1 [ p "; T] и fj;"gq 1 [0; 1= p "] точки смены вида оптимального управления в задаче (1:1) . Других точек смены вида управления нет, и при всех i = 1; : : : ; p , j = 1; : : : ; q справедливо ti;" ! ti; j;" ! j ; " ! 0: О п р е д е л е н и е 2.2. Решения уравнений kC 0 (t)l0k = 2 и (2.22), удовлетворя- ющие условиям теоремы 2.1, будем называть регулярными. Наконец, отметим, что при нахождении асимптотических разложений интегралов от функций вида (2.18) по " > 0 и малым компонентам вектора (l" l0) подынтегральные выражения будут раскладываться в слагаемые с разномасштабными коэффициентами f(t)g(t=") . При этом такие слагаемые играют роль лишь тогда, когда нижний предел интегрирования имеет порядок O(") . Если оба предела имеют порядок O(") , то по- сле замены t = " получаются интегралы от f(" )g( ) . Но " мало, поэтому f(" ) раскладывается в асимптотический ряд по (" ) с помощью разложения Тейлора функ- ции f в точке t = 0 . В оставшемся случае асимптотика соответствующего интеграла находится следующим образом: Утверждение 2.3. Пусть f 2 C[0; T] бесконечно дифференцируемая в нуле функция, а непрерывная на [0;+1) функция g( ) удовлетворяет неравенству (2:9) . Тогда для любых ; t 2 R Zt " f(t)g(t=") dt as = " X1 k=0 "kf(k)(0) Z+1 kg( )d; где f(t) as = X1 k=0 f(k)(0)tk: 128 А. А. Шабуров Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделав в интеграле замену переменной := t=" , получим Zt " f(t)g(t=") dt = " Zt=" f(" )g( )d = " 1= p Z " f(" )g( )d + O = " 1= p Z " XN k=0 f(0)(" )k + O (" )N+1 ! g( )d = " XN k=0 "kf(0) 1= p Z " k g( )d + O "(N+1)=2 = " XN k=0 "kf(0) 0 @ Z+1 k g( )d + O 1 A + O "(N+1)=2 : 3. Асимптотическое разложение вектора l" Пусть для вырожденной задачи и начального состояния системы x0 существует единственный момент времени t = t0 2 (0; T) такой, что: 8 t < t0 kC 0 (t)l0k > 2; kC 0 (t0)l0k = 2; 8 t > t0 kC 0 (t)l0k < 2; d dtkC 0 (t)l0k2 t=t0 6= 0: (3.1) Например, если матрица системы A" и матрица управления B" имеют вид A" = I I O " 1I ; B" = O " 1I ; < 0; а kl0k > 2 и eT kl0k < 2 , то условие (3.1) выполняется, т. к. kC 0 (t)l0k = et kl0k . Как известно из [9], в этом случае интеграл в (2.16) разбивается на два интеграла ZT 0 C0(t)C 0 (t)l S (kC 0 (t)lk) dt = Zt0 0 C0(t)C 0 (t)l kC 0 (t)lk dt + 1 2 ZT t0 C0(t)C 0 (t)l dt: Отметим, что в силу сходимости (2.15) и асимптотической формулы (2.19) при всех t 2 [ p "; T] величина kC " (t)l"k близка к kC 0 (t)l0k при всех достаточно малых " > 0 . Потребуем выполнения условия 8l" ! l0 9"0 > 0 8" 2 (0; "0) 8t 2 [0; p "] kC " (t)l"k > 2: (3.2) Утверждение 3.1. Если выполнены условия 8 > 0 k ( )l0k 6= 2; (3.3) k (0)l0k = kB 1 l0k > 2; (3.4) то выполнено и условие (3:2) . АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 129 Д о к а з а т е л ь с т в о данного утверждения почти дословно повторяет доказа- тельство из [9]. Таким образом, при выполнении условий (3.1) и (3.2) в силу теоремы 2.1 у исход- ной задачи (1.1) при малых " > 0 тоже лишь одна точка смены вида оптимального управления t" , т. е. 8t < t" kC " (t)l"k > 2; kC " (t")l"k = 2; 8t > t" kC " (t)l"k < 2: При этом t" ! t0 при " ! 0 . Однако, существуют такие матрицы A" и B" , что хотя у вырожденной задачи име- ется лишь одна точка смены вида оптимального управления t0 , у исходной задачи таких точек больше, за счет смены вида оптимального управления в точках отрезка [0; p "] . Например, рассмотрим матрицы A" и B" следующего вида A" = I I " 1I " 1I ; B" = 0:5I " 1I : Тогда C0(t)l0 = 0:5e 2tl0 , k ( )k = 0:5 e kl0k . Поэтому, если 4 < kl0k < 4eT , то у исходной задачи в силу теоремы 2.1 будут три точки смены вида оптимального управления, причем две их них лежат на [0; p "] . Рассмотрим подробнее такой случай. У с л о в и е 3.1. Пусть t1 = "1 , t2 = "2 , где 1 , 2 все решения уравнения (2.22), а t0 единственное решение уравнения kC " (t)l0k = 2 , эти решения регулярны и выполнены условия (3.2), (3.4). Значит, условие (3.3) нарушается. Таким образом, в рассматриваемом случае в силу теоремы 2.1 имеются ровно три точки смены вида оптимального управления t1;" = "1;" , t2;" = "2;" и t0;" , причем 1;" ! 1 , 2;" ! 2 и t0;" ! t0 при " ! 0 , а интеграл T R 0 C"(t)C " (t)l S(kC " (t)lk)dt разбивается в сумму четырех интегралов ZT 0 C"(t)C " (t)l S (kC " (t)lk) dt = Zt1;" 0 C"(t)C " (t)l kC " (t)lk dt + 1 2 Zt2;" t1;" C"(t)C " (t)l dt + Zt0;" t2;" C"(t)C " (t)l kC " (t)lk dt + 1 2 ZT t0;" C"(t)C " (t)l dt: (3.5) Пусть l" := l" l0 , t" := t0;" t0 , t1;" := "1;"; 1;" := 1;" 1; t2;" := "2;"; 2;" := 2;" 2: Тогда l" = o(1); t" = o(1); 1;" = o(1); 2;" = o(1) при " ! 0; (3.6) 130 А. А. Шабуров и в силу формул (2.14), (2.16) и теоремы 2.1 величины l";1;";2;" и t"; являются решением следующей системы уравнений, зависящей от параметра " > 0 : 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>>>>: 0 = F(";l;t;1;2) := r'( l) + r'( l0) + "W11;1(T; ")x0 + "W12;1(T; ")y0 + "(1Z+1) 0 C"(t)C " (t)l kC " (t)lk dt + 1 2 "(2Z+2) "(1+1) C"(t)C " (t)l dt + t0Z+t "(2+2) C"(t)C " (t)l kC " (t)lk dt + 1 2 ZT t0+t C"(t)C " (t)l dt Zt0 0 C0(t)C 0 (t)l kC 0 (t)lk dt 1 2 ZT t0 C0(t)C 0 (t)l dt; 0 = G1(";l;1) := kC " ("(1 + 1))(l0 + l)k2 4; 0 = G2(";l;2) := kC " ("(2 + 2))(l0 + l)k2 4; 0 = G3(";l;t) := kC " (t0 + t)(l0 + l)k2 kC 0 (t0)l0k2: (3.7) Отметим, что функции F и Gi (при i = 1; 2; 3 ) непрерывны, а Gi бесконечно дифференцируемы. Рассмотрим их асимптотические разложения относительно беско- нечно малых l;1;2 и t . В силу бесконечной дифференцируемости функции ' : r'( l0 l) + r'( l0) D2'( l0)l + X1 k=2 k(l); (3.8) где D2'( l0) дифференциал второго порядка от ' в точке ( l0) , а k(l) однородные степени k известные функции (многочлены от компонент вектора l ). Каждый из интегралов в (3.5), зависящий от " , разобьем на части: I1 := Z"1 0 + "(1Z+1) "1 := I1;1(";l) + I1;2(";l;1); I2 := Z"1 "(1+1) + Z"2 "1 + "(2Z+2) "2 := I2;1(";l;1) + I2;2(";l) + I2;3(";l;2); I3 := Z"2 "(2+2) + Zt0 "2 + t0Z+t t0 := I3;1(";l;2) + I3;2(";l) + I3;3(";l;t); I4 := Zt0 t0+t + ZT t0 := I4;1(";l;t) + I4;2(";l): Отметим, что для разложения интегралов I1;2 , I2;1 , I2;3 , I3;1 , I3;3 и I4;1 надо (для интегралов I1;2 , I2;1 , I2;3 и I3;1 после замены переменной t = " ) ) разложить коэф- фициенты, зависящие от времени, в ряды Тейлора в окрестности точек 1; 2 и t0 , соот- ветственно. При этом, в силу ограниченности подынтегральных выражений I1 = O(") АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 131 и I2 = O(") , а в силу утверждения 2.3 в асимптотическом разложении все слагаемые с множителями, зависящими от t=" , тоже будут иметь порядок O(") при " ! 0 . Наконец, в силу того, что слагаемое первого порядка малости по t в I3;3 равно C0(t0)C 0 (t0)l0 kC 0 (t0)l0k t; а в I4;1 равно C0(t0)C 0 (t0)l0 2 t; и kC 0 (t0)l0k = 2 , то в разложении суммы I3;3+I4;1 слагаемых первого порядка малости по t не будет. Обозначим линейную часть по 4l функции F как F(l): В силу (3.8) непосред- ственным вычислением получаем первое приближение функции F(";l;t;1;2) при стремлении ее аргументов к нулю F(";l;1;2;t) = D2'( l0)l + Zt0 0 C0(t) C 0 (t)4lkC 0 (t)l0k2 hC 0 (t)4l;C 0 (t)l0iC 0 (t)l0 kC 0 (t)l0k3 dt + ZT t0 C0(t)C 0 (t)4l 2 dt + "f1 + F2(";l;t;1;2) =: F(l) + "f1 + F2(";l;t;1;2); (3.9) где f1 = W11;1(T)x0 +W12;1(T)y0 + Z1 0 B0 + A12A 1 22 eA22B2 B 0 + B 2eA 22 (A 1 22 )A 12 l0 k B 0 + B 2eA 22 (A 1 22 )A 12 l0k d + 1 2 Z2 1 B0 + A12A 1 22 eA22B2 B 0 + B 2eA 22 (A 1 22 )A 12 l0 d + Z1 2 B0 + A12A 1 22 eA22B2 B 0 + B 2eA 22 (A 1 22 )A 12 l0 k B 0 + B 2eA 22 (A 1 22 )A 12 l0k d; F2(";l;t;1;2) = O "2 + klk2 + (t)2 + (1)2 + (2)2 : 132 А. А. Шабуров Аналогично для функций Gi получим G1(";l;1) = 2h (1)l0; (1)l + B 2eA 221A 121l0 + "B 1W 11;1(0); l0i +2h (1)l0; "B 1A 21(A 1 22 )eA 221(A 1 22 )A 12l0i + G1;2(";l;1); G2(";l;2) = 2h (2)l0; (2)l + B 2eA 222A 122l0 + "B 1W 11;1(0); l0i +2h (2)l0; "B 1A 21(A 1 22 )eA 222(A 1 22 )A 12l0i + G2;2(";l;2); G3(";l;t) = 2hC 0 (t0)l0;C 0 (t0)l + @ @t C 0 (t0)l0ti +2hC 0 (t0)l0; "B 1W 11;1(t0) + "B 2W 12;2(t0)i + G3;2(";l;t); (3.10) где G1;2(";l;1) = O "2 + klk2 + (1)2 ; G2;2(";l;2) = O "2 + klk2 + (2)2 ; G3;2(";l;t) = O "2 + klk2 + (t)2 : В силу (3.9) и (3.10) система первого приближения для (3.7) распадается на четыре уравнения, используя линейную часть по 4l функций Gi как Gi(l) при i = 1; 2; 3 : 8>>>>>>>>< >>>>>>>>: F(l1) = "f1; G1(l1;1;1) := 2h (1)l0; (1)l1i + 21;1h (1)l0;B 2eA 221A 12l0i = "g1;1; G2(l1;2;1) := 2h (2)l0; (2)l1i + 22;1h (2)l0;B 2eA 222A 12l0i = "g2;1; G3(l1;t1) := 2hC 0 (t0)l0;C 0 (t0)l1i + 2t1hC 0 (t0)A 0l0; @ @t C 0 (t0)l0i = "g3;1; (3.11) где gi;1 , i = 1; 2; 3 известные величины (см. (3.10)). В силу условий на функцию ' линейный оператор D2'( l0) положительный, а в силу неравенства Коши-Буняковского остальные слагаемые в определении линейного оператора F неотрицательны. Поэтому F > 0 и, тем самым, из первого уравнения в (3.11) однозначно находится l1 = "F 1( f1) =: "l1: Поскольку в силу (3.1) при j = 1; 2 : h (j)l0;B 2eA 22jA 12l0i 6= 0; то из второго и третьего уравнений в (3.11) по l1 однозначно находятся 1;1 = "1;2;1 = "2 . Поскольку в силу (3.1) hC 0 (t0)l0;C 0 (t0)A0 l0i 6= 0; то из четвертого уравнения в (3.11) по l1 однозначно определяется t1 = "t1 . Далее процесс нахождения следующих членов разложения l;1;2 и t про- должается стандартным образом. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 133 Пусть найдены приближения l , 1 , 2 и t до N -го порядка. Тогда величины lN+1 :=l" NP k=1 "klk; 1;N+1 :=1;" NP k=1 "k1;k; 2;N+1 :=2;" NP k=1 "k2;k; tN+1 :=t" NP k=1 "ktk; (3.12) по построению удовлетворяют соотношениям 8>>>>>>>< >>>>>>>: F(lN+1) = O "N+1 + O "krN+1k + O krN+1k2); G1(lN+1;1;N+1) = O "N+1 + O "krN+1k + O krN+1k2); G2(lN+1;2;N+1) = O "N+1 + O "krN+1k + O krN+1k2); G3(lN+1;tN+1) = O "N+1 + O "krN+1k + O krN+1k2); (3.13) где rN +1 := lN +1; 1;N+1; 2;N+1;t N+1 . В силу непрерывной обратимости оператора (F; G 1 ; G 2 ; G 3 из (3.13) получим rN+1 = O "N+1 + O "krN+1k + O krN+1k2): (3.14) Из соотношений (3.6), (3.12), (3.14) на основании [9, Утверждение 2] следует, что rN+1 = O "N+1 . Тем самым, доказана следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть выполнены условия 1.2, 1.3, 3.1 и предположение (3:1): Тогда вектор l" и моменты времени ti;" , i = 0; 1; 2 раскладываются в степенные асимпто- тические ряды l" as = l0 + X1 k=1 "klk; t0;" as = t0 + X1 k=1 "ktk; t1;" := "1;" as = "1 + " X1 k=1 "k1;k; t2;" := "2;" as = "2 + " X1 k=1 "k2;k; " ! 0; коэффициенты которых находятся рекуррентным образом. При выполнении условия (3.1) возможен случай, когда на [0; p "] для исходной за- дачи “появляется” одна точка смены вида оптимального управления. Например, если A" = I I O " 1I ; B" = O " 1I ; то A0 = I; B0 = I; C0(t) = e t; kC 0 (t)l0k = e tkl0k; ( ) (2:22) = (1 e t)I; k ( )l0k = k(1 e t)k kl0k и k (0)l0k = 0: Поэтому, если kl0k > 2 и eT kl0k < 2; то на отрезке [0; p "] существует единственный корень 1 = ln kl0k kl0k 2 уравнения (2.22). Рассмотрим подробнее такой случай. 134 А. А. Шабуров У с л о в и е 3.2. Пусть t1 = "1 , где 1 все решения уравнения (2.22), а t0 единственное решение уравнения kC " (t)l0k = 2 , эти решения регулярны и выполнены условия (3.2), (3.4). Значит, условие (3.3) нарушается. Таким образом, в рассматриваемом случае в силу теоремы 2.1 имеются ровно две точки смены вида оптимального управления t1;" = "1;" и t0;" , причем 1;" ! 1 и t0;" ! t0 при " ! 0 , а интеграл T R 0 C"(t)C " (t)l S(kC " (t)lk)dt разбивается в сумму трех интегралов ZT 0 C"(t)C " (t)l S (kC " (t)lk) dt = 1 2 Zt1;" 0 C"(t)C " (t)l dt + Zt0;" t1;" C"(t)C " (t)l kC " (t)lk dt + 1 2 ZT t0;" C"(t)C " (t)l dt: В этом случае в аналоге системы (3.7) будет три уравнения, а линейный оператор F будет строго положительным и иметь вид F(l) = D2'( l0)l + 1 2 ZT t0 C0(t)C 0 (t)l dt+ + Zt0 0 C0(t) C 0 (t)4lkC 0 (t)l0k2 hC 0 (t)4l;C 0 (t)l0iC 0 (t)l0 kC 0 (t)l0k3 dt и справедлива следующая теорема. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия 1.2, 1.3, 3.2 и предположение (3:1) . Тогда вектор l" и моменты времени ti;" , i = 0; 1 раскладываются в степенные асимпто- тические ряды l" as = l0 + X1 k=1 "klk; t0;" as = t0 + X1 k=1 "ktk; t1;" = "1;" as = "1 + " X1 k=1 "k1;k; коэффициенты которых находятся рекуррентным образом. В общем случае справедлива итоговая теорема. Теорема 3.3. Пусть выполнены условия 1.2, 1.3 и условия теоремы 2:1 . Тогда век- тор l" и моменты времени ft1;"; t2;"; : : : ; tp;"g , f"1;"; "2;"; : : : ; "q;"g раскладываются в степенные асимптотические ряды l" as = l0 + X1 k=1 "klk; ti;" as = ti + X1 k=1 "kti;k; при i = 1; : : : ; p; "j;" as = "j + " X1 k=1 "kj;k; при j = 1; : : : ; q; " ! 0; коэффициенты которых находятся рекуррентным образом.

About the authors

Alexander A. Shaburov

Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin

Email: alexandershaburov@mail.ru
Post-Graduate Student, Mathematical Analysis Department of the Institute of Natural Sciences and Mathematics 19 Mira St., Ekaterinburg 620002, Russian Federation

References

Supplementary files