ON THE STUDY OF SPECTRAL PROPERTIES OF DIFFERENTIAL OPERATORS OF EVEN ORDER WITH DISCONTINUOUS WEIGHT FUNCTION


Cite item

Full Text

Abstract

The boundary value problem for a differential operator of high even order, whose coefficients are discontinuous functions at some interior point of the segment on which the operator is considered, is studied. At the point of discontinuity of the coefficients, certain conditions of «conjugation» that follow from the physical conditions are required. The boundary conditions of the considered boundary value problem are separated and depend on several parameters. Thus simultaneously the spectral properties of a family of differential operators are studied. The weight function of the operator is piecewise constant on the interval of the definition of the differential operator. For large values of the spectral parameter, the asymptotics of the solutions of the differential equations determining the operator under investigation is derived. Using this asymptotics, the conditions of “conjugation” are studied. The obtained formulas allow to investigate the boundary conditions of the considered boundary value problem. As a result, we have derived an equation for the eigenvalues of the studied operator. It is proved that the eigenvalues of the operator are the roots of some entire function. The indicator diagram of the equation for the eigenvalues of the operator is studied. It is proved that the spectrum of the operator is discrete. In different sectors of the indicator diagram, the asymptotics of the eigenvalues of the studied operator is found, depending on the parameters of the boundary conditions. The found formulas allow us to find the asymptotics of the eigenfunctions of the operator and to calculate the regularized traces of this operator.

Full Text

Рассмотрим дифференциальный оператор высокого четного порядка, задаваемый на отрезке [0; π] дифференциальными уравнениями
×

About the authors

Sergey Ivanovich Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University

Email: mitrokhinsergey@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the Research Computing Center 1 Leninskie Gory, Moscow 119991, Russian Federation

References

  1. Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1. № 2. С. 52-59.
  2. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Математический сборник. 1968. Т. 65. № 4. С. 558-566.
  3. Чернятин В.А. Асимптотики высшего порядка спектра оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 2. С. 206-215.
  4. Садовничий В.А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Математический сборник. 1967. Т. 72. № 2. С. 293-310.
  5. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Математические заметки. 1977. Т. 22. № 5. С. 698-723.
  6. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 22. № 12. С. 2059-2071.
  7. Будаев В.Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 941-952.
  8. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 3. С. 530-532.
  9. Gottlieb H.P.W. Iso-spectral Operators: Some Model Examples with Discontinuous Coefficients // Journal of Math. Anal. and Appl. 1988. Vol. 132. P. 123-137.
  10. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия математическая. 2000. Т. 64. № 4. С. 47-108.
  11. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Серия 1: математика, механика. 2009. № 3. С. 14-17.
  12. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Математические заметки. 1999. Т. 66. № 6. С. 897-912.
  13. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенциалом // УМН. 2000. Т. 55. № 6 (336). С. 155-156.
  14. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 12. С. 1808-1811.
  15. Митрохин С.И. Об асимптотике спектра краевой задачи для дифференциального оператора высокого порядка с суммируемым потенциалом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2128-2137. doi: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2128-2137.
  16. Гуревич А.П., Хромов А.П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Математические заметки. 1994. Т. 56. № 1. С. 3-15.
  17. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Доклады РАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.
  18. Мухтаров О.Ш., Кадакал М. Спектральные свойства одной задачи типа Штурма-Лиувилля с разрывным весом // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. № 4. С. 860-875.
  19. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
  20. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
  21. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 1. С. 109-116.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).