On the solution of a mixed problem for the equation of vibrations of a moving viscoelastic web

Full Text

Введение

Построением и исследованием математических моделей колебаний движущихся вязкоупругих материалов занимались многие исследователи. В работе [1] рассмотрены модели, в которых учитываются вязкоупругие эффекты. В этой работе исследованы модель Кельвина–Фойгта колебаний линейной пружины с амортизатором и модель упругих колебаний вязкоупругого полотна, выведено дифференциальное уравнение колебаний этого полотна и приведены численные схемы для построения приближенного решения соответствующей начально-краевой задачи. В работах [2, 3] выполнено исследование устойчивости гармонического режима движения вязкоупругого полотна при условии погружения движущегося полотна в жидкую и воздушную среды. В работе [4] выполнена систематизация результатов моделирования движения вязкоупругих материалов при различных предположениях, проведено исследование устойчивости колебаний и рассмотрены некоторые задачи управления колебаниями. В [5] с помощью метода разложения по малому параметру и применения преобразования Фурье проведено исследование частот поперечных колебаний вязкоупругой балки и установлено существенное влияние на характер колебаний, слагаемых с производной по времени. В работе [6] с применением техники комплексных уравнений на собственные значения выполнен анализ динамических характеристик и устойчивости движения при условии наличия пьезоэлектрических слоев, с помощью численных методов построены области устойчивости и неустойчивости колебаний. Авторы работ [7, 8] рассмотрели нелинейные модели движения упругого полотна и для такого случая выполнили численный расчет областей устойчивости и неустойчивости движения.

Отметим также некоторые приложения, где возникает уравнение вязкоупругих колебаний. В статье [9] рассмотрена задача о флаттере вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей с сосредоточенными массами в геометрически нелинейной постановке. Необходимость изучения данных флаттеров обусловлена тем, что конструкции такого типа, которые изготовлены из современных композиционных материалов, используются в авиационной промышленности. А в этой области особо важными вопросами являются вопросы прочности, демпфирования колебаний и динамической устойчивости. Для решения рассматриваемой задачи в [9] предложен численный метод, который основан на методе Бубнова–Галеркина. Работы [10, 11] посвящены исследованию колебаний вязкоупругих панелей. В основе численных алгоритмов в цитируемых работах также лежит метод Бубнова–Галеркина. Отметим, что идея применения метода Бубнова–Галеркина для численного решения и исследования уравнений вязкоупругих колебаний оказывается весьма плодотворной.

Для исследования решений краевых задач широко применяются асимптотические и приближенные методы, что позволяет получить аппроксимации точного решения. Причем непосредственно явные формулы, которые определяют решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний вязко-упругого полотна, в известных источниках не приводятся. В данной работе реализован прием построения явного решения, который изложен в [12]. Стоит обратить внимание, что для исследуемой краевой задачи в общем случае закон сохранения энергии не выполняется. Рассматриваемое линейное уравнение пятого порядка по пространственной переменной содержит смешанные производные по времени и пространственной переменной. Этот факт значительно затрудняет получение решения в виде ряда Фурье по системе собственных функций некоторой краевой задачи.

1. Основные понятия

Пусть функция $u(x,t)\in C^{\mathrm{5,2}}\left(\left(\mathrm{0,}l\right)\times \left[\mathrm{0,}T\right]\right),$ здесь $l>\mathrm{0,}T>\mathrm{0,}$ то есть рассматриваемая функция имеет производные до пятого порядка включительно по пространственной переменной $x\mathrm{,}$ производные до второго порядка включительно по t и все смешанные производные по x и t до пятого порядка включительно. А именно, определены функции $\frac{{\partial }^{n+k}u}{\partial x^n\partial t^k}\mathrm{,}$ где $k\in \left\{\mathrm{0,1,2}\right\},$ $\underset{n\ge 0}{max}(n+k)=5.$ Для удобства будем обозначать

$\frac{{\partial }^{n+k}u}{\partial x^n\partial t^k}=u_{\underset{n}{\underbrace{xx\dots x}}\underset{k}{\underbrace{tt\dots t}}}.$

Математической моделью колебаний, которые возникают при движении вязкоупругих панелей (см. [4]), является начально-краевая задача для обезразмеренного уравнения

$u_{tt}+2c{u}_{xt}+\gamma \alpha u_{xxxxt}+(c^2-1)u_{xx}+\alpha u_{xxxx}+\gamma \alpha c{u}_{xxxxx}=\mathrm{0,}$ (1.1)

$u{|}_{x=0}=u_{xx}{|}_{x=0}=u{|}_{x=l}=u_{xx}{|}_{x=l}=\mathrm{0,}$ (1.2)

$u{|}_{t=0}=u_0\left(x\right),u_t{|}_{t=0}=u_1\left(x\right).$ (1.3)

Здесь a — безразмерный коэффициент упругости, c — безразмерная скорость продольного движения панели с ограничением $c<1$ и $\gamma$ — безразмерное время запаздывания. Далее, если иное не оговорено, везде будем считать, что u — решение исходной начально-краевой задачи (1.1)–(1.3).

Определим линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами соотношением

$L\left(\cdot \right)={\left(\cdot \right)}_{tt}+2c{\left(\cdot \right)}_{xt}+\gamma \alpha {\left(\cdot \right)}_{xxxxt}+(c^2-1){\left(\cdot \right)}_{xx}+\alpha {\left(\cdot \right)}_{xxxx}+\gamma \alpha c{\left(\cdot \right)}_{xxxxx}$ (1.4)

и запишем уравнение (1.1) в операторном виде $Lu=0.$ Сформулируем вспомогательное утверждение об операторе L.

Символом $(\cdot ,\cdot )$ будем обозначать «обычное» скалярное произведение, определяемое, как интеграл от произведения функций.

Утверждение 1.1. Пусть $\omega ,v\in C^{\mathrm{5,2}}\left(\left(\mathrm{0,}l\right)\times \left[\mathrm{0,}T\right]\right)$ — функции, удовлетворяющие краевым условиям (1.2). Тогда

$\begin{array}{c}(L\omega ,v)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}({\omega }_{tt}v-2c{\omega }_t{v}_x+\gamma \alpha {\omega }_{xxt}{v}_{xx}-\left(c^2-1\right){\omega }_x{v}_x+\alpha {\omega }_{xx}{v}_{xx}+\gamma \alpha c{\omega }_{xxx}{v}_{xx})dxdt.\end{array}$

Доказательство. Применение формулы интегрирования по частям по пространственной переменной x, с учетом краевых условий (1.2), непосредственно дает требуемое соотношение.

Определение 1.1. Функцию $E\left(\tau \right),$ определяемую соотношением

$E\left(\tau \right)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left(u_t^2(x,\tau )+(1-c^2)u_x^2(x,\tau )+\alpha u_{xx}^2(x,\tau )\right)dx,$ (1.5)

будем называть энергией движущегося полотна в момент времени $\tau \ge 0.$  

Энергия  обладает следующим свойством.

Утверждение 1.2. Пусть функция $E\left(\tau \right)$ определена соотношением (1.5). Тогда при любом $\tau \ge 0$ имеет место равенство

$E\left(\tau \right)+\gamma \alpha \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_{txx}{\left(u_t+c{u}_x\right)}_{xx}dxdt=E\left(0\right).$ (1.6)

Доказательство. Применим утверждение 1.1, в котором положим $\omega \text{}=\text{}u,$ $v=u_t,$ $T=\tau .$ Таким образом, так как $Lu=\mathrm{0,}$ получим

$0=(Lu,u_t)=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}(u_{tt}{u}_t-2c{u}_t{u}_{tx}+\gamma \alpha u_{xxt}^2-(c^2-1)u_x{u}_{tx}+\alpha u_{xx}{u}_{txx}+\gamma \alpha c{u}_{xxx}{u}_{txx})dxdt$

$=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}(\frac{1}{2}{\left(u_t^2+\left(1-c^2\right)u_x^2+\alpha u_{xx}^2\right)}_t+\gamma \alpha u_{txx}{\left(u_t+c{u}_x\right)}_{xx})dxdt$

$=E\left(\tau \right)-E\left(0\right)+\gamma \alpha \underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_{txx}{\left(u_t+c{u}_x\right)}_{xx}dxdt.$

Замечание 1.1. Согласно доказанному предложению, закон сохранения энергии в общем случае не выполняется.

Естественно, следующим шагом выделим класс решений, который обеспечивает выполнение закона сохранения энергии.

Теорема 1.1. Пусть решение $u(x,t)$ задачи (1.1)–(1.3) существует и имеет вид

$u(x,t)=T\left(t\right)X\left(x\right),$ (1.8)

где $X\left(x\right)$ — комплекснозначная функция вещественной переменной. Тогда, если

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left(X^{\text{'}\text{'}}\right)}^{2}dx=\mathrm{0,}{\left(X^{\text{'}\text{'}}\left(l\right)\right)}^2-{\left(X^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)\right)}^2=\mathrm{0,}$ (1.8)

то имеет место закон сохранения энергии, то есть $E\left(\tau \right)=E\left(0\right)$ при любом $\tau >0$  

Доказательство. Обозначим через I интеграл в тождестве (1.6) и вычислим его. Получим

$I=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_{txx}{\left(u_t+c{u}_x\right)}_{xx}dxdt$

$=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left({\left({\left(T\left(t\right)X\left(x\right)\right)}_{xxt}\right)}^2+c{\left(T\left(t\right)X\left(x\right)\right)}_{xxt}{\left(T\left(t\right)X\left(x\right)\right)}_{xxx}\right)dxdt$

$=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{\left(T^{\text{'}}\right)}^{2}dt\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left(X^{\text{'}\text{'}}\right)}^{2}dx+c\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}T{T}^{\text{'}}dt\underset{0}{\overset{l}{\int }}{X}^{\text{'}\text{'}}{X}^{\text{'}\text{'}\text{'}}dx$

$=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{\left(T^{\text{'}}\right)}^{2}dt\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left(X^{\text{'}\text{'}}\right)}^{2}dx+\frac{c}{4}\left(T^2\left(\tau \right)-T^2\left(0\right)\right)\left({\left(X^{\text{'}\text{'}}\right(l\left)\right)}^2-{\left(X^{\text{'}\text{'}}\right(0\left)\right)}^2\right)$

Теперь замечаем, что при выполнении условий (1.8) теоремы имеем $I=\mathrm{0,}$ что обеспечивает равенство $E\left(\tau \right)=E\left(0\right)$ для любого $\tau >0.$  

Из доказанной теоремы получаем условия единственности решения рассматриваемой начально-краевой задачи.

Следствие 1.1. Если решение задачи (1.1)–(1.3) существует, то при выполнении условий теоремы 1.1 это решение единственно.

Доказательство. Пусть функции $v_1(x,t),v_2(x,t)$ являются решениями задачи (1.1)–(1.3) и $v_1(x,t)\ne v_2(x,t).$ Тогда функция $u(x,t)=v_1(x,t)-v_2(x,t)$ является решением уравнения (1.1), удовлетворяет краевым условиям (1.2) и начальным условиям (1.3) с начальными значениями $u_0\left(x\right)=u_1\left(x\right)=0.$ Поэтому при выполнении условий теоремы 1.1 для любого $\tau \ge$0 выполнено $E\left(\tau \right)=E\left(0\right).$ Отсюда по формуле (1.5) получаем, что $u(x,t)=0$ и $v_1(x,t)=v_2(x,t).$ 

Свойство 1.1. Пусть $X_1\left(x\right),X_2\left(x\right)$ — вещественнозначные функции вещественной переменной. Пусть, далее, $X\left(x\right)=X_1\left(x\right)+i{X}_2\left(x\right).$ Тогда для выполнения условия (1.8) необходимо

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left({\left(X_1^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)\right)}^2-{\left(X_2^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)\right)}^2\right)dx+2i\underset{0}{\overset{l}{\int }}{X}_1^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)X_2^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)dx=0.$

Пример 1.1. При $X_1\left(x\right)=\cos \frac{\pi n}{l}x,$ $X_2\left(x\right)=\sin \frac{\pi n}{l}x,$ $n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ имеем $X\left(x\right)=e^{i\frac{\pi n}{l}x},$ и условие (1.8) из теоремы 1.1 выполнено.

1. Основные результаты. Явное решение.

Теперь определим точный вид решения задачи (1.1)–(1.3). Воспользуемся подходом, предложенным в работе [12].

Пусть $u=T\left(t\right)e^{\lambda x}.$ После подстановки этой функции в уравнение (1.1), сокращения на общий множитель и группировки слагаемых получаем

$T^{\text{'}\text{'}}+(2c+\gamma \alpha {\lambda }^3)\lambda T^{\text{'}}+(c^2-1+\alpha {\lambda }^2+\gamma \alpha c{\lambda }^3){\lambda }^{2}T=0.$(2.1)

Уравнение (2.1) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции $T\left(t\right).$ Составим для этого уравнения характеристическое уравнение

${\mu }^2+(2c+\gamma \alpha {\lambda }^3)\lambda \mu +(c^2-1+\alpha {\lambda }^2+\gamma \alpha c{\lambda }^3){\lambda }^2=0.$

Корни этого уравнения определяются формулой

${\mu }_{\mathrm{1,2}}=\lambda (-c-\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\pm \sqrt{1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)}^2}).$ (2.2)

Рассмотрим нерезонансный случай, а именно, ${\mu }_1\ne {\mu }_2\mathrm{.}$ Тогда можно выписать решение для уравнения (2.1) в виде линейной комбинации экспонент

$\begin{array}{c}T\left(t\right)=e^{\lambda \left(-c-\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)t}(C_1{e}^{\lambda \sqrt{1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)}^2}t}+C_2{e}^{-\lambda \sqrt{1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)}^2}t}),\end{array}$

и функция $u(x,t)$ определяется формулой

$u(x,t)=(C_1{e}^{\lambda \sqrt{1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)}^2}t}+C_2{e}^{-\lambda \sqrt{1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)}^2}t})e^{\lambda \left(x-\left(c+\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)t\right)}.$ (2.3)

Положим

$\sigma \left(\lambda \right)=\sqrt{1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)}^2},$ (2.4)

и в частном случае при $\lambda =i\frac{\pi n}{l},$ $n\in \mathbb{N}$ обозначим

${\sigma }_n=\sigma \left(i\frac{\pi n}{l}\right)=\sqrt{1+\alpha {\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^2(1-\frac{\alpha {\gamma }^2}{4}{\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^4)}.$ (2.5)

С учетом обозначения (2.4) искомое решение определяется формулой

$u(x,t)=\left(C_1{e}^{\lambda \sigma \left(\lambda \right)t}+C_2{e}^{-\lambda \sigma \left(\lambda \right)t}\right)e^{\lambda \left(x-\left(c+\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3\right)t\right)}.$ (2.6)

Пример 2.1. Используя пример 1.1, по формуле (2.6) при $\lambda =i\frac{\pi n}{l},$ $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ получим

$u(x,t)=\left(C_1{e}^{-\frac{\pi n}{l}{\sigma }_{n}t}+C_2{e}^{\frac{\pi n}{l}{\sigma }_{n}t}\right)e^{i\frac{\pi n}{l}\left(x-\left(c-\frac{\gamma \alpha }{2}{\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^3\right)t\right)}.$

Обратим внимание на выражения в показателях экспонент в примере 2.1. Заметим, что лишь конечное число значений ${\sigma }_n$ будут вещественными, то есть существует такое $N\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ что при всех $n>N$ число ${\sigma }_n\in ℂ$ будет чисто мнимым. Этот факт позволяет сделать вывод о качественном поведении колебательного процесса. Для действительной части $\Re$ коэффициента при $t\mathrm{,}$ когда ${\sigma }_n$ — чисто мнимое комплексное число, имеем

$\Re \left(\lambda {\sigma }_n-\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^4-ic\lambda \right)=\frac{\pi n}{l}\sqrt{\left|1+\alpha {\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^2(1-\frac{\alpha {\gamma }^2}{4}{\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^4)\right|}-\frac{\gamma \alpha }{2}{\left(\frac{\pi n}{l}\right)}^4.$

А так как вещественная функция $G\left(z\right)=z\sqrt{|1+\alpha z^2(1-\frac{\alpha {\gamma }^2}{4}{z}^4\left)\right|}-\frac{\gamma \alpha }{2}{z}^4$ при больших значениях аргумента z положительна, то решение дифференциального уравнения содержит растущую по модулю экспоненту при увеличении аргумента t.

Далее, для уравнения (1.1) с начальными условиями экспоненциального вида построим решения в виде функционального ряда. Пусть $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}a$ — некоторые числа, быть может, и комплексные. Начальные условия (1.3) определим выражениями

$u{|}_{t=0}=A_1{e}^{ax},u_t{|}_{t=0}=A_2{e}^{ax}.$(2.7)

Корни характеристического уравнения (2.2) обозначим ${\mu }_1={\mu }_1\left(\lambda \right),$ ${\mu }_2={\mu }_2\left(\lambda \right).$ Согласно формуле (2.3)

$u(x,t)=C_1{e}^{{\mu }_{1}t+\lambda x}+C_2{e}^{{\mu }_{2}t+\lambda x}.$

Определим неизвестные параметры $C_1\mathrm{,}{C}_2$ таким образом, чтобы условие (2.7) было выполнено. Положим $\lambda =a.$ Тогда $u\left(x\mathrm{,0}\right)=(C_1+C_2)e^{ax}$ и $u_t\left(x\mathrm{,0}\right)=(C_1{\mu }_1+C_2{\mu }_2)e^{ax}.$ Далее, получим систему уравнений для нахождения параметров $C_1$ и $C_2$

$\left\{\begin{array}{c}{C}_1+C_2=A_1\\ C_1{\mu }_1+C_2{\mu }_2=A_2\end{array}\right.\text{},$  

решив которую, получаем

$C_1=\frac{A_1{\mu }_2-A_2}{{\mu }_2-{\mu }_1},C_2=\frac{A_2-A_1{\mu }_1}{{\mu }_2-{\mu }_1}.$

Итак, решение уравнения (1.1) с начальными условиями (2.7) определяется формулой

$u(x,t)=\frac{e^{ax}\left(\left(A_1{\mu }_2\right(a)-A_2)e^{{\mu }_1\left(a\right)t}+(A_2-A_1{\mu }_1(a\left)\right)e^{{\mu }_2\left(a\right)t}\right)}{{\mu }_2\left(a\right)-{\mu }_1\left(a\right)}.$

Если начальные условия представляют собой линейную комбинацию экспонент

$u{|}_{t=0}=\sum _n{A}_{1n}{e}^{a_{n}x},u_t{|}_{t=0}=\sum _n{A}_{2n}{e}^{a_{n}x},$ (2.8)

то в силу линейности уравнения (1.1) решение определяется формулой

$u(x,t)=\sum _n\frac{e^{a_{n}x}\left(\left(A_{1n}{\mu }_2\left(a_n\right)-A_{2n}\right)e^{{\mu }_1\left(a_n\right)t}+\left(A_{2n}-A_{1n}{\mu }_1\left(a_n\right)\right)e^{{\mu }_2\left(a_n\right)t}\right)}{{\mu }_2\left(a_n\right)-{\mu }_1\left(a_n\right)}.$ (2.9)

Рассмотрим неоднородное уравнение с правой частью специального вида

$Lu=F\left(t\right)e^{\rho x},$ (2.10)

здесь выражение $Lu$ определяется формулой (1.4), а начальные условия (1.3) являются тривиальными

$u{|}_{t=0}=\mathrm{0,}{u}_t{|}_{t=0}=0.$

Будем искать решение в виде $u(x,t)=T\left(t\right)e^{\rho x}.$ Тогда после подстановки в (18) и сокращения на общий множитель получаем

$T^{\text{'}\text{'}}+(2c+\gamma \alpha {\rho }^3)\rho T^{\text{'}}+(c^2-1+\alpha {\rho }^2+\gamma \alpha c{\rho }^3){\rho }^{2}T=F\left(t\right).$

После применения стандартного метода вариации постоянных для этого неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами получаем решение

$T\left(t\right)=\frac{1}{{\mu }_2\left(\rho \right)-{\mu }_1\left(\rho \right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(e^{{\mu }_2\left(\rho \right)(t-\tau )}-e^{{\mu }_1\left(\rho \right)(t-\tau )}\right)F\left(\tau \right)d\tau .$

Теперь можем написать решение уравнения (2.10)

$u(x,t)=\frac{e^{\rho x}}{{\mu }_2\left(\rho \right)-{\mu }_1\left(\rho \right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(e^{{\mu }_2\left(\rho \right)(t-\tau )}-e^{{\mu }_1\left(\rho \right)(t-\tau )}\right)F\left(\tau \right)d\tau$

Если же правая часть уравнения имеет вид $\sum _n{F}_n\left(t\right)e^{{\rho }_{n}x},$ то, в силу линейности оператора $L\mathrm{,}$ решение определяется формулой

$u(x,t)=\sum _n\frac{e^{{\rho }_{n}x}}{{\mu }_2\left({\rho }_n\right)-{\mu }_1\left({\rho }_n\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(e^{{\mu }_2\left({\rho }_n\right)(t-\tau )}-e^{{\mu }_1\left({\rho }_n\right)(t-\tau )}\right)F_n\left(\tau \right)d\tau .$

Далее, рассмотрим случай совпадения корней характеристического уравнения. Будем считать, что ${\mu }_1\equiv {\mu }_2$ и $\lambda \ne 0.$ Тогда дискриминант характеристического уравнения обращается в ноль, то есть

$1-\alpha {\lambda }^2+{\left(\frac{\gamma \alpha }{2}\right)}^2{\lambda }^6=\mathrm{0,}$ (2.11)

а корень характеристического уравнения равен

$\mu =\mu \left(\lambda \right)=-\lambda (c+\frac{\gamma \alpha }{2}{\lambda }^3).$

В этом случае функция $T\left(t\right)$ будет определяться формулой

$T\left(t\right)=(C_1+C_{2}t)e^{\mu t},$

и поэтому решением однородного уравнения (1) будет функция

$u(x,t)=(C_1+C_{2}t)e^{\mu \left(\lambda \right)t+\lambda x}.$ (2.12)

Определим решение начальной задачи для однородного уравнения (1.1) с начальными условиями (2.7), при этом предполагаем параметр a таковым, что при $\lambda =a$ выполняется условие (2.11). Тогда

$u\left(x\mathrm{,0}\right)=C_1{e}^{ax}=A_1{e}^{ax},u_t\left(x\mathrm{,0}\right)=(\mu C_1+C_2)e^{ax}=A_2{e}^{ax}.$

Отсюда сразу получаем, что

$C_1=A_1,C_2=A_2-A_1\mu .$

Подставляя найденные значения в (2.12), получаем точное решение

$u(x,t)=\left(A_1+(A_2-A_1\mu (a\left)\right)t\right)e^{\mu \left(a\right)t+ax}.$

Уравнение (2.11) имеет ровно 6 комплексных корней с учетом их кратностей. Пусть все корни различны. Тогда, если начальные условия представляют собой сумму экспонент

$u{|}_{t=0}=\sum _{n=1}^6{A}_{1n}{e}^{a_{n}x},u_t{|}_{t=0}=\sum _{n=1}^6{A}_{2n}{e}^{a_{n}x},$

где $a_n$ — корни уравнения (2.11), то аналогично (2.9) получаем

$u(x,t)=\sum _{n=1}^6\left(A_{1n}+(A_{2n}-A_{1n}\mu (a_n\left)\right)t\right)e^{\mu \left(a_n\right)t+a_{n}x}.$

Рассмотрим далее неоднородное уравнение (2.10) с тривиальными начальными условиями. Будем считать, что $\rho$ — корень уравнения (2.8). Применим метод вариации постоянных. Пусть

$T\left(t\right)=\left(C_1\right(t)+C_2(t\left)t\right)e^{\mu t},$

где

$C_1\left(t\right)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\tau F\left(\tau \right)d\tau ,C_2\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}F\left(\tau \right)d\tau .$

Искомая функция определяется формулой

$u(x,t)=e^{\mu \left(\rho \right)t+\rho x}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-\tau )F\left(\tau \right)d\tau .$

Теперь, если правая часть уравнения (2.10) имеет вид $\sum _{n=1}^6{F}_n\left(t\right)e^{{\rho }_{n}x},$ где ${\rho }_n$ — корни уравнения (2.11), то

$u(x,t)=\sum _{n=1}^6{e}^{\mu \left({\rho }_n\right)t+{\rho }_{n}x}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-\tau )F_n\left(\tau \right)d\tau .$

Пример 2.2. Рассмотрим набор функций $X_j\left(x\right)=\sin \left(\frac{\pi j}{l}x\right),$ где $j\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ Легко проверяется, что они удовлетворяют краевым условиям (2). Пусть, далее, функции в начальном условии (3) разлагаются в сходящийся ряд Фурье, то есть

$u_0\left(x\right)=\sum _{j=1}^{\infty }{u}_{0_j}{X}_j\left(x\right),u_1\left(x\right)=\sum _{j=1}^{\infty }{u}_{1_j}{X}_j\left(x\right),$ (2.13)

 где $u_{0_j}=\frac{\left(u_0\left(x\right),X_j\left(x\right)\right)}{\parallel X_j\left(x\right){\parallel }^2},$ $u_{1_j}=\frac{\left(u_1\left(x\right),X_j\left(x\right)\right)}{\parallel X_j\left(x\right){\parallel }^2}.$ В силу формулы Эйлера из (21) получаем

$u_0\left(x\right)=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{u_{0_j}}{2i}{e}^{\frac{\pi j}{l}x}-\sum _{j=1}^{\infty }\frac{u_{0_j}}{2i}{e}^{-\frac{\pi j}{l}x},u_1\left(x\right)=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{u_{1_j}}{2i}{e}^{\frac{\pi j}{l}x}-\sum _{j=1}^{\infty }\frac{u_{1_j}}{2i}{e}^{-\frac{\pi j}{l}x}.$                                       

Для функции такого вида можно предъявить решение уравнения (1.2) в виде ряда.

В случае неоднородного уравнения (см. (1.3)), если $F(x,t)=\sum _{j=1}^{\infty }{F}_j\left(t\right)X_j\left(x\right),$ то также правую часть можно представить в виде

$F(x,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\frac{F_j\left(t\right)}{2i}{e}^{\frac{\pi j}{l}x}-\sum _{j=1}^{\infty }\frac{F_j\left(t\right)}{2i}{e}^{-\frac{\pi j}{l}x},$

для которой можно предъявить частное решение $u(x,t).$

3. Заключение.

Описанный в работе метод построения решений начально-краевых задач может быть использован для построения решений в виде рядов Фурье линейных задач математической физики, которые содержат смешанные производные по временной и пространственным переменным. Также, в дальнейшем, с использованием найденного в работе решения можно исследовать задачу оптимального управления колебаниями, возникающими в вязкоупругом полотне.

 

About the authors

Alexandr M. Romanenkov

Moscow Aviation Institute (National Research University); FRC “Informatics and management” of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: romanaleks@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0700-8465

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the 916 Mathematics Department

Russian Federation, 4 Volokolamskoye shosse, Moscow 125993; 44/2 Vavilov St., Moscow 119333

References

Supplementary files