Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана B_2,μ

Полный текст

Введение

Теория приближения функций является одной из наиболее интенсивно развивающихся областей математического анализа. Особое место в этой теории занимают экстремальные задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах аналитических функций. Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций и вычисления колмогоровских -поперечников (определенных в [1]) получены в [2–4]. В дальнейшем эта тематика нашла свое отражение в работах [5–7] и многих других. В пространстве Бергмана указанная задача впервые была рассмотрена в [8, 9], результаты были развиты в ряде работ, в частности, в [10–12]. В работе [13] было введено в рассмотрение весовое пространство Бергмана $B_p\left(\gamma \right|z|,D),$ $1\le p<\infty ,$ аналитических в единичном круге D функций $f\left(z\right),$ где $\gamma \left|z\right|$ — положительная в области D функция. В этом пространстве для наилучших приближений аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами получены точные неравенства через усредненные модули непрерывности высшего порядка производных функций в пространстве $B_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{.}$ В дальнейшем вопросы нахождения точных оценок для наилучших приближений аналитических функций через усредненные значения разных характеристик в весовом пространстве Бергмана $B_p\left(\gamma \right|z|,D),$ $1\le p<\infty ,$ рассматривались в работах [14–16] (также см. приведенную в них библиографию). В частности, в работе [16] получено обобщение результатов [13], а также вычислены значения n-поперечников классов аналитических функций.

В настоящей работе для наилучших приближений аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами получены точные неравенства через усредненные значения обобщенного модуля непрерывности высших порядков производных функций в весовом пространстве Бергмана $B_{\mathrm{2,}\mu }.$

1. Основные понятия

Пусть $ℂ$ — комплексная плоскость, $\mathbb{D}=\{z\in ℂ:|z|<1\}$ — единичный круг в этой плоскости и $U\left(\mathbb{D}\right)$ — множество функций аналитических в $\mathbb{D}\mathrm{.}$

Через $B_{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{,}$ $\mu >-\mathrm{1,}$ обозначим банахово пространство Бергмана, которое состоит из всех функций $f\in U\left(\mathbb{D}\right),$ для которых норма

$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{2,}\mu }\stackrel{def}{=}\parallel f{\parallel }_{{\mathfrak{B}}_{\mathrm{2,}\mu }}={\left(\underset{D}{\int }\right|f\left(z\right){|}^{2}d{A}_{\mu }\left(z\right))}^{1/2},$(1.1)

конечна, где

$d{A}_{\mu }\left(z\right)=(\mu +1){(1-|z{|}^2)}^{\mu }dA\left(z\right),$

$dA\left(z\right)=\frac{1}{\pi }dxdy$ — элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.

Введем обозначение $z=x+iy=\rho e^{it},$ $0<\rho \le \mathrm{1,}$ $0<t\le 2\pi ,$ норму (1.1) запишем в виде

$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{2,}\mu }={\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\right(\mu +1\left){(1-{\rho }^2)}^{\mu }{\mathcal{L}}_2^2\right(\rho ,f\left)\rho d\rho \right)}^{1/2},$

где

${\mathcal{L}}_2(\rho ,f)={\left(\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\right|f\left(\rho e^{it}\right){|}^{2}dt)}^{1/2}.$

Отметим, что если $\mu =\mathrm{0,}$ то пространство ${\mathcal{B}}_{\mathrm{2,0}}\stackrel{def}{=}{\mathcal{B}}_2$ является известным пространством Бергмана.

Через $P_{n-1}$ обозначим множество всех комплексных алгебраических полиномов степени $\le n-1$

$P_{n-1}=\left\{p_n\right(z):p_n(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k(f)z^k,a_k(f)\in ℂ\}.$ 

Величина

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }=\inf \{\parallel f-p_{n-1}{\parallel }_{\mathrm{2,}\mu }:p_{n-1}\in P_{n-1}\}$ (1.2)

называется наилучшим приближением функции $f\in B_{\mathrm{2,}\mu }$ множеством $P_{n-1}\mathrm{.}$ Равенством

${\Omega }_m{(f,t)}_{\mathrm{2,}\mu }={\{\frac{1}{t^m}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\cdots {\int }_0^t\parallel {\Delta }_{\overline{h}}^{m}f(\rho e^{i\theta }){\parallel }_{\mathrm{2,}\mu }^{2}d{h}_1\dots d{h}_m\}}^{1/2}\text{},t>\mathrm{0,}$ (1.3)

где

$\overline{h}=(h_1,h_2,\dots ,h_m),{\Delta }_{\overline{h}}^m={\Delta }_{h_1}^1\circ \cdots \circ {\Delta }_{h_m}^1,$ 

${\Delta }_{h_j}^{1}f\left(\rho e^{i\theta }\right)=f\left(\rho e^{i(\theta +h_j)}\right)-f\left(\rho e^{i\theta }\right),j=\overline{\mathrm{1,}m},$ (1.4)

будем определять обобщенный модуль непрерывности m-го порядка функции $f\in B_{\mathrm{2,}\mu }$ (см., например, [17, 18]).

Для любых $r\in {\mathbb{Z}}_{+}$ обычную производную r-го порядка функции $f\left(z\right)$ обозначим через $f^{\left(r\right)}\left(z\right)=d^{r}f/d{z}^r.$

Так как функция $f\in B_{\mathrm{2,}\mu }$ аналитична в $\mathbb{D}\mathrm{,}$ то из разложения f в ряд Маклорена

$f\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k\left(f\right)z^k$

следует, что

$f^{\left(r\right)}\left(z\right)=\sum _{k=r}^{\infty }{\alpha }_{k,r}{c}_k\left(f\right)z^{k-r},$

где

${\alpha }_{k,r}=k(k-1)(k-2)\cdots (k-r+1)=k!{\left\{\right(k-r)!\}}^{-1},k\ge r,k\in \mathbb{N},r\in {\mathbb{Z}}_{+},$

$c_k\left(f\right)$ — коэффициенты Маклорена функции f.

Через $B_{\mathrm{2,}\mu }^r\mathrm{,}$ $r\in {\mathbb{Z}}_{+}$ обозначим множество функций $f\in U\left(\mathbb{D}\right)$ таких, что $z^r{f}^{\left(r\right)}\in B_{\mathrm{2,}\mu }.$

Символ

${\left(u\right)}_n=u(u+1)(u+2)\cdots (u+n-1)$ (1.5)

называется символом Похгаммера [19].

2. Наилучшее приближение функций в пространстве $B_{\mathrm{2,}\mu }$

Лемма 2.1. Среди произвольных полиномов $p_{n-1}\in P_{n-1}$ наименьшее значение величине (2) в пространстве $B_{\mathrm{2,}\mu }$ доставляет частная сумма Тейлора $T_{n-1}(f;z)=\sum _{k=0}^{n-1}{c}_k\left(f\right)z^k$ — разложения функции $f\left(z\right)$ в круге $\left|z\right|<1.$ При этом

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }={\left\{\sum _{k=n}^{\infty }\right|c_k\left(f\right){|}^2\frac{k!}{{(\mu +2)}_k}\}}^{1/2}.$ (2.1)

Доказательство. Полагая $p_{n-1}\left(z\right)=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{z}^k,$ получим

$L_2^2(\rho ,f-p_{n-1})=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\left|f\left(\rho e^{it}\right)-p_{n-1}\left(\rho e^{it}\right)\right|}^{2}dt$

$=\sum _{k=0}^{n-1}\left|c_k\right(f)-a_k(f){|}^2\cdot {\rho }^{2k}+\sum _{k=n}^{\infty }|c_k\left(f\right){|}^2\cdot {\rho }^{2k}.$

Поскольку

$\inf \left\{L_2^2(\rho ,f-p_{n-1}):p_{n-1}\left(z\right)\in P_{n-1}\right\}=L_2^2\left(\rho ,f-T_{n-1}(f,z)\right)=\sum _{k=n}^{\infty }\left|c_k\right(f){|}^2{\rho }^{2k},$

то из равенства (1.2), с учетом (1.5) будем иметь

$E_n{\left(f\right)}_{B_{\mathrm{2,}\mu }}=\inf \left\{\parallel f-p_{n-1}{\parallel }_{\mathrm{2,}\mu }:p_{n-1}\in P_{n-1}\right\}$

$={\left\{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\right(\mu +1\left){(1-{\rho }^2)}^{\mu }{L}_2^2\left(\rho ,f-T_{n-1}(f;z)\right)d\rho \right\}}^{1/2}$

$={\left\{\underset{0}{\overset{1}{\int }}\right(\mu +1\left){(1-{\rho }^2)}^{\mu }\right(\sum _{k=n}^{\infty }\left|c_k\right(f){|}^2\cdot {\rho }^{2k})d\rho \}}^{1/2}={\left\{\sum _{k=n}^{\infty }\right|c_k\left(f\right){|}^2{\frac{k!}{(\mu +2)}}_k\}}^{1/2}.$

Таким образом, установлено равенство (2.1) и лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть $m\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $r\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $n>r,$ $0<h\le \pi /n,$ $\phi \left(t\right)$ — весовая на $\left(\mathrm{0,}h\right)$ функция. Тогда для любого $0<p\le \infty$ справедливо неравенство

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{\Omega }_m^p{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\phi \right(t\left)dt\right\}}^{1/p}}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{mp/2}\phi \right(t\left)dt\right\}}^{1/p}}.$ (2.2)

Неравенство (2.2) является точным в том смысле, что существует функция $f_0\left(z\right)\in B_{\mathrm{2,}\mu }^{\left(r\right)},$ для которой оно обращается в равенство.

Доказательство. Применяя равенство Парсеваля к разности (1.4), получим

$\parallel {\Delta }_{\overline{h}}^{m}f\left(\rho e^{i\theta }\right){\parallel }_{B_{\mathrm{2,}\mu }}^2=2^m\sum _{k=0}^{\infty }\left|c_k\right(f\left){|}^2\prod _{j=1}^m\right(1-\cos k{h}_j)\frac{k!}{{(\mu +2)}_k}.$ (2.3)

Подставим соотношение (2.3) в правую часть равенства (1.3) и запишем его в виде

${\Omega }_m^2{(f,t)}_{\mathrm{2,}\mu }\ge 2^m\sum _{k=1}^{\infty }\left|c_k\right(f){|}^2\frac{k!}{{(\mu +2)}_k}{(1-\frac{\sin kt}{kt})}^m.$ (2.4)

Легко показать, что для произвольной функции $f\left(z\right)\in B_{\mathrm{2,}\mu }$ такой, что $z^r{f}^r\in B_{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{,}$ имеет место неравенство

$E_{n-1}{\left(z^r{f}^{\left(r\right)}\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\ge {\alpha }_{n,r}{E}_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }.$(2.5)

Заменим в соотношении (2.4) $f\left(z\right)$ на $z^r{f}^{\left(r\right)}\left(z\right).$ Используя неравенство (2.5), равенство (2.1), и учитывая тот факт, что (см. [20])

$\max \left\{\left|\sin u\right|/u:u\ge nt\right\}=\sin \left(nt\right)/\left(nt\right),0<nt\le \pi /\mathrm{2,}$

получаем

${\Omega }_m^2{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\ge 2^m{\alpha }_{n,r}^2{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{\text{}m}\text{}{E}_n^2{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }.$ (2.6)

В неравенстве (2.2) для параметра p, удовлетворяющего условию $0<p\le \infty ,$ функционал $\parallel {\Omega }_m{\phi }^{1/p}{\parallel }_p$ определен соотношением

$\parallel {\Omega }_m{\phi }^{1/p}{\parallel }_p=\left\{\begin{array}{c}{\left\{\underset{0}{\overset{h}{\int }}{\Omega }_m^p{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\phi \right(t\left)dt\right\}}^{1/p},0<p<\infty ,\\ \max \{{\Omega }_m{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu },t\in (\mathrm{0,}h\left]\right\},p=\infty ,\end{array}\right.$

и оно лишь при $1\le p\le \infty$ является нормой. Возведем обе части неравенства (2.6) в степень $p/2$ результат умножим на $\phi \left(t\right)$ и проинтегрируем по переменной t от 0 до h, и таким образом получим

$\underset{0}{\overset{h}{\int }}{\Omega }_m^p{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\phi \left(t\right)dt\ge 2^{mp/2}{\alpha }_{n,r}^p{E}_{n-1}^p{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\underset{0}{\overset{h}{\int }}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{mp/2}\phi \left(t\right)dt.$

Отсюда следует неравенство (2.2).

Чтобы доказать точность неравенства (2.2), рассмотрим функцию $f_0\left(z\right)=z^n\in B_{\mathrm{2,}\mu }^{\left(r\right)},$ $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $r\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $r<n.$    

Для этой функции из соотношений (1.2) и (1.3) имеем

$E_{n-1}{\left(f_0\right)}_{\mathrm{2,}\mu }={\left\{\frac{n!}{{(\mu +2)}_n}\right\}}^{1/2},$ (2.7)

${\Omega }_m{\left(z^r{f}_0^{\left(r\right)},t\right)}_{\mathrm{2,}\mu }=2^{m/2}{\alpha }_{n,r}{\left\{\frac{n!}{{(\mu +2)}_n}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^m\right\}}^{1/2}.$ (2.8)

С учетом равенств (2.7) и (2.8) запишем

$E_{n-1}{\left(f_0\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{\Omega }_m^p{(z^r{f}_0^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\phi \right(t\left)dt\right\}}^{1/p}}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{mp/2}\phi \right(t\left)dt\right\}}^{1/p}}$

$=\frac{{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{2}^{mp/2}{\alpha }_{n,r}^p{\left\{\frac{n!}{{(\mu +2)}_n}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^m\right\}}^{p/2}\phi \right(t\left)dt\right)}^{1/p}}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{mp/2}\phi \right(t\left)dt\right)}^{1/p}}={\left\{\frac{n!}{{(\mu +2)}_n}\right\}}^{1/2}.$

Из теоремы 2.1 вытекают ряд следствий.

Следствие 2.1. Пусть $m\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $r\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $0<p\le \infty ,$ $0<h\le \pi /n,$ $\phi \left(t\right)\equiv 1.$ Тогда

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{\Omega }_m^p{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\right\}}^{1/p}}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{mp/2}dt\right\}}^{1/p}}.$ (2.9)

В частности, при $p=2/m,$ $m\in \mathbb{N}$ из (2.9) имеем

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{n}{nh-Si\left(nh\right)}\right\}}^{m/2}{\left\{\underset{0}{\overset{h}{\int }}{\Omega }_m^{2/m}{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\right\}}^{m/2}.$ (2.10)

При $h=\pi /n$ из (2.10) получаем

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{n}{\pi -Si\left(\pi \right)}\right\}}^{m/2}{\left\{\underset{0}{\overset{\pi /n}{\int }}{\Omega }_m^{2/m}{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\right\}}^{m/2}.$

Следствие 2.1. Пусть $m\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $r\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$ $0<p\le \infty ,$ $0<h\le \pi /n,$ $\phi \left(t\right)=t.$ Тогда

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}t{\Omega }_m^p{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\right\}}^{1/p}}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}{\left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{h}{\int }}}t{(1-\frac{\sin nt}{nt})}^{mp/2}dt\right\}}^{1/p}}.$ (2.11)

В частности, при $p=2/m,$ $m\in \mathbb{N}$ из (2.11) получаем

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{n^m}{{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{1}{n^2{h}^2-4{{\displaystyle \sin }}^2\frac{nh}{2}}\right\}}^{m/2}{\left\{\underset{0}{\overset{h}{\int }}t{\Omega }_m^{2/m}{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\right\}}^{m/2}.$ (2.12)

При $h=\pi /n$ из (2.12) имеем

$E_{n-1}{\left(f\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le \frac{n^m}{{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{1}{{\pi }^2-4}\right\}}^{m/2}{\left\{\underset{0}{\overset{\pi /n}{\int }}t{\Omega }_m^{2/m}{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }\right\}}^{m/2}.$

3. Значения поперечников классов $W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi )$ в пространстве $B_{\mathrm{2,}\mu }$ 

Пусть S — единичный шар в пространстве $B_{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{,}$ N — выпуклое центрально-симметричное подмножество из $B_{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{,}$ ${\Lambda }_n\subset B_{\mathrm{2,}\mu }$ — n-мерное подпространство, ${\Lambda }^n\subset B_{\mathrm{2,}\mu }$ — подпространство коразмерности n, L: $B_{\mathrm{2,}\mu }\to {\Lambda }_n$ — непрерывный линейный оператор и $L^{\perp }{B}_{\mathrm{2,}\mu }\to {\Lambda }_n$ — непрерывный оператор линейного проектирования.

Величины

$b_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })=\sup \left\{\sup \left\{\epsilon >0;\epsilon S\cap {\Lambda }_{n+1}\subset N\right\}:{\Lambda }_{n+1}\subset B_{\mathrm{2,}\mu }\right\},$

$d_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })=\inf \left\{\sup \left\{\inf \left\{\parallel f-\phi {\parallel }_{B_{\mathrm{2,}\mu }}:\phi \in {\Lambda }_n\right\}:f\in N\right\}:{\Lambda }_n\subset B_{\mathrm{2,}\mu }\right\},$

${\lambda }_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })=\inf \left\{\inf \left\{\sup \left\{\parallel f-Lf{\parallel }_{B_{\mathrm{2,}\mu }}:f\in N\right\}:{\text{\hspace{0.05em}LB}}_{\mathrm{2,}\mu }\subset {\Lambda }_n\right\}:{\Lambda }_n\subset B_{\mathrm{2,}\mu }\right\},$

$d^n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })=\inf \left\{\sup \left\{\parallel f{\parallel }_{B_{\mathrm{2,}\mu }}:f\in N\cap {\Lambda }^n\right\}:{\Lambda }^n\subset B_{\mathrm{2,}\mu }\right\},$

${\Pi }_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })=\inf \left\{\inf \left\{\sup \left\{\parallel f-L^{\perp }f{\parallel }_{B_{\mathrm{2,}\mu }}:f\in N\right\}:L^{\perp }{B}_{\mathrm{2,}\mu }\subset {\Lambda }_n\right\}:{\Lambda }_n\subset B_{\mathrm{2,}\mu }\right\},$

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским и проекционным n-поперечниками в пространстве $B_{\mathrm{2,}\mu }\mathrm{.}$

Поскольку $B_{\mathrm{2,}\mu }$ является гильбертовым пространством, то между перечисленными n-поперечниками выполняются следующие соотношения (см. [21, с. 239]):

$b_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })\le d^n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })\le d_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })={\lambda }_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu })={\Pi }_n(N,B_{\mathrm{2,}\mu }).$ (3.1)

Также полагаем

$E_n\left(N\right):=\sup \left\{E_n\right(f):f\in N\}.$

Пусть $\Phi \left(u\right)$ $(u\ge 0)$ — произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что $\Phi \left(0\right)=0.$ Будем ее называть мажорантой.

Через $W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi ),$ где $m\mathrm{,}r\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $0<p\le \infty ,$ $0<h\le \pi /n,$ обозначим класс функций $f\in B_{\mathrm{2,}\mu }^{\left(r\right)},$ удовлетворяющих условию

$\frac{1}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}t{\Omega }_m^p{(z^r{f}^{\left(r\right)},t)}_{\mathrm{2,}\mu }tdt\le {\Phi }^p\left(u\right).$

Обозначим через ${\tau }_{}$ значение аргумента, при котором функция $\sin \tau /\tau$ достигает на полусегменте $[\mathrm{0,}\infty )$ своего наименьшего значения. Очевидно, ${\tau }_{}$есть минимальный положительный корень уравнения $\frac{tg\tau }{\tau }=1$ и $\mathrm{4,49}<{\tau }_{*}<\mathrm{4,51}$ (см. [18]). Положим

${(1-\frac{\sin \tau }{\tau })}_{*}:=\left\{\begin{array}{ll}& 1-\frac{\sin \tau }{\tau },если0\le \tau \le {\tau }_{*};\\ & 1-\frac{\sin {\tau }_{*}}{{\tau }_{*}},если,\tau \ge {\tau }_{*}.\end{array}\right.$

Эта функция будет играть важную роль при нахождении значения вышеперечисленных поперечников указанных классов функций.

Теорема 3.1. Пусть $m\mathrm{,}n\mathrm{,}r\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ $0<p\le \infty$ и функция $\Phi$ при любых $h\in {ℝ}_{+}$ удовлетворяет условию

${\left(\frac{\Phi \left(h\right)}{\Phi (\pi /n)}\right)}^p\ge {\left(\frac{\pi }{nh}\right)}^{\text{}2}\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{nh}{\int }}{(1-\frac{\sin t}{t})}_{*}^{mp/2}dt}}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt}}.$ (3.2)

Тогда справедливы равенства

${\sigma }_n\left(W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi );B_{\mathrm{2,}\mu }\right)=E_{n-1}\left(W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi )\right)=\frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{1}{{\pi }^2}\text{}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\text{}{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2\text{}}dt\right\}}^{\text{}-1/p}\text{}\Phi (\pi /n),$

где ${\sigma }_n(\cdot )$ — любой из перечисленных выше n-поперечников. Множество мажорант $\Phi \mathrm{,}$ для которых выполняется условие (3.2), не пусто.

Доказательство. Из неравенства (2.11) при $h=\pi /n,$ для любого $f\in B_{\mathrm{2,}\mu }^{\left(r\right)}$ имеем

$E_{n-1}\left(f\right)\le \frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{1}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt\right\}}^{-1/p}\cdot {\left\{\frac{n^2}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi /n}{\int }}t{\Omega }_m^p{\left(z^r{f}^{\left(r\right)},t\right)}_{\mathrm{2,}\mu }dt\right\}}^{1/p}.$

Отсюда, согласно определению класса $W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi )$ и в силу соотношения (18), получаем оценку сверху для проекционного n-поперечника

${\Pi }_n\left(W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi );B_{\mathrm{2,}\mu }\right)\le E_{n-1}\left(W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi )\right)$

$\le \frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left(\frac{1}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt\right)}^{-1/p}\Phi (\pi /n).$ (3.3)

Для получения оценки снизу бернштейновского n-поперечника введем в рассмотрение шар

$S_{n+1}=\{p_n\in P_{n-1}:\parallel p_n\parallel \le \frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left[\frac{1}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt\right]}^{-1/p}\Phi (\pi /n\left)\right\}$

и покажем, что $S_{n+1}\subset W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi ).$ Действительно, для любого $p_n\left(z\right)\in P_n$ из соотношения (9) имеем

${\Omega }_m^p{\left(z^r{p}_n^{\left(r\right)},t\right)}_{\mathrm{2,}\mu }\le 2^{mp/2}{\alpha }_{n,r}^p{(1-\frac{\sin nt}{nt})}_{*}^{mp/2}\parallel p_n{\parallel }^p.$ (3.4)

Из неравенства (3.4) для произвольного полинома $p_n\in S_{n+1}$ и любого $h\in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$ с учетом условия (3.2), получаем

$\frac{1}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}t{\Omega }_m^p{\left(z^r{p}_n^{\left(r\right)},t\right)}_{\mathrm{2,}\mu }dt\le 2^{mp/2}\cdot {\alpha }_{n,r}^p\parallel p_n{\parallel }^p\cdot \frac{1}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}t{(1-\frac{\sin nt}{nt})}_{*}^{mp/2}dt$

$\le {\left\{\frac{1}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt\right\}}^{-1}{\Phi }^p(\pi /n)\cdot \frac{1}{{\left(nh\right)}^2}\underset{0}{\overset{nh}{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}_{*}^{mp/2}dt\le {\Phi }^p\left(h\right),$

а это и значит, что $S_{n+1}\subset W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi ).$ Используя определение бернштейновского n-поперечника, с учетом соотношения (18), будем иметь

$b_n\left(W_{m,p}^{\left(r\right)}(h,\Phi );B_{\mathrm{2,}\mu }\right)\ge b_n(S_{n+1};B_{\mathrm{2,}\mu })$

$\ge \frac{1}{2^{m/2}{\alpha }_{n,r}}{\left\{\frac{1}{{\pi }^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt\right\}}^{-1/p}\Phi (\pi /n).$(3.5)

Из сопоставления оценки сверху (3.3) и оценки снизу (3.5) вышеперечисленных n-поперечников получаем утверждение теоремы 3.1.

Условие (3.2) выполняется, например, для функции (см. [22]) ${\Phi }_0\left(t\right)=t^{\lambda /p},$ где

$\lambda :=\frac{{\pi }^2}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}t{(1-\frac{\sin t}{t})}^{mp/2}dt}}-\mathrm{2,}mp/2<\alpha <mp.$

Об авторах

Мухтор Рамазонович Лангаршоев

ФГБВОУ ВО «Академия гражданской защиты МЧС России»

Автор, ответственный за переписку.
Email: mukhtor77@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3278-4781

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

Россия, 141435, Московская область, Химки, мкр. Новогорск, ул. Соколовская, 1А

Список литературы

Дополнительные файлы