Introduction to the theory of positional differentional games of systems with aftereffect (based on the i-smooth analisys methodology)

Введение

Теория позиционных дифференциальных игр [1, 2] представляет собой завершенную теорию построения конструктивных позиционных алгоритмов управления конечномерными системами в условиях конфликта и неопределенности. Основы теории позиционных дифференциальных игр систем с последействием

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-\tau \le s\mathrm{<mo><</mo>0,}$ (0.1)

описываемых функционально-дифференциальными уравнениями (ФДУ), разработаны Н. Н. Красовским, Ю. С. Осиповым и А. В. Кряжимским в работах [3-6], в которых для систем с последействием получены аналоги ключевых результатов конечномерной теории позиционных дифференциальных игр [1]. Современные результаты и тенденции развития теории позиционных дифференциальных систем с последействием представлены в статьях [7-13], специальные задачи теории ФДУ дифференциальных игр исследованы и решены в [14-17] (см. также библиографию этих работ).

Однако до сих пор нет работ, которые бы в «замкнутой» форме излагали теорию позиционных дифференциальных игр систем с последействием. Отсутствие таких обобщающих работ, по-видимому, связано с тем, что в рамках обоснованного в [3-6] подхода не были разработаны такие важные для теории разделы, как «Динамическое программирование», «Программные конструкции», «Априори стабильные мосты», «Корректность дифференциальных игр с последействием», «Стабилизация решений дифференциальных игр с последействием», «Смешанные стратегии в дифференциальных играх с последействием», «Эффективные мосты для смешанных стратегий в системах с последействием», «Стохастическое позиционное управление системами с последействием», «Минимаксная дифференциальная игра с последействием», «Информационная игровая задача», «Дифференциальные игры с запаздыванием и запоминанием информации». Некоторые аспекты отмеченных направлений (разделов), естественно, так или иначе, затрагивались в работах различных авторов, однако не были развиты с такой же полнотой, как в конечномерном случае [1]. Только игровые конструкции, основанные на методологии динамического программирования, достаточно полной развиты и представлены в завершенной форме в работах [7-9].

Методология $i$ -гладкого анализа, основывается на:

1) концепции разделения конечномерных и бесконечномерных составляющих в структуре и свойствах функционалов и ФДУ;

2) применении инвариантной производной и соответствующих конструкций.

Автор рассматривал дифференциальные игры систем с последействием как первую область применения $i$ -гладкого анализа. Однако автор «отложил» (в начале 1980-х гг.) исследования в этом направлении по совету А. В. Кряжимского, считавшего что $i$ -гладкий анализ был в начальной стадии разработки, дифференциальными играми занимался не очень широкий круг специалистов, и было целесообразно продемонстрировать сначала эффективность $i$ -гладкого анализа на «более привычных» всем областях теории ФДУ, а затем уже «браться» за дифференциальные игры. К идее изложения теории позиционных дифференциальных игр систем с последействием на основе методологии $i$ -гладкого анализа автор решил вернуться сейчас, когда на основе $i$ -гладкого анализа разработаны - с такой же полнотой и конструктивностью, как и в конечномерном (ОДУ) случае, разделы ФДУ: метод функционалов Ляпунова-Красовского, метод динамического программирования, численные методы, теория АКОР - аналитического конструирования оптимальных регуляторов, и дифференциальные игры входят в число приоритетных математических направлений исследований РАН до 2030 года.

Применяемый в настоящей статье подход позволяет конструктивно перенести на системы с запаздыванием все результаты теории [1]. При этом, если запаздывание «исчезает», то результаты и формулы статьи «переходят» (совпадают) в соответствующие результаты и формулы книги [1]. Поэтому статья имеет структуру и нумерацию формул соответствующих разделов первой главы книги [1]. Автор также придерживался методики изложения, применяемой в [1], в частности, если стандартные («легко восстанавливаемые») доказательства некоторых утверждений не включены в книгу [1], то и в настоящей статье доказательства аналогичных (соответствующих) утверждений оставляются читателю в качестве несложных упражнений, позволяющих «прочувствовать» (понять) используемые конструкции.

1. Стратегии и движения

В дальнейшем будем использовать условную запись [18, 19] системы (0.1)

$\dot{x}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.1)

и предполагать отображение $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ инвариантно непрерывным, а управления во всей области определения стесненными геометрическими ограничениями

$u\in P\mathrm{,}v\in G$

( $P$ и $G$ - замкнутые множества, характеризующие возможности игроков). Здесь и далее в статье используются понятия и обозначения из [18, 19].

Стратегия $U$ первого игрока отождествляется с отображениями $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times H\to P\mathrm{.}$ Соотношение между стратегией $U$ и ее отображением $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначается символом $U\doteq u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Пусть дана начальная позиция $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и выбрана стратегия $U\doteq u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Покроем полуось $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ системой $\Delta$ полуинтервалов ${\eta }_i\le t\le {\eta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ ( $i\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}$ ${\eta }_0\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ ). Пусть далее $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in Q$ ( $t\ge t_0$ ) - какая-то кусочно-непрерывная функция $v\mathrm{,}$ развертывающаяся во времени $t$ на основании тех или иных соображений, которыми захочет воспользоваться противник. Ломаной Эйлера $x^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{x}^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ называется абсолютно непрерывное решение дифференциального уравнения

$\dot{x}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_t^{\Delta }\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_i\mathrm{,}{x}_{{\eta }_i}^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_i\le t\mathrm{<mo><</mo>}{\eta }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1.2)

удовлетворяющее начальному условию $x_{t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}^{\Delta }\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$ для которого равенство (1.2) выполняется при почти всех значениях $t$ из интервала существования. Существование такого решения устанавливается известными теоремами анализа (см. [21, с. 120]). Если при всех возможных значениях аргументов $t\mathrm{,}h\mathrm{,}u$ и $v$ выполняется неравенство

$\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\parallel h{\parallel }_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k\mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{,}$ (1.3)

то при любом выборе $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ $U\mathrm{,}$ $\Delta$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ существует решение $x^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ продолжимое на всю полуось $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Всюду в дальнейшем, если не будет оговорено противное, будем предполагать условие (1.3) выполненным.

Движением $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ порожденным из позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ стратегией $U\text{}\doteq u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ будем называть всякую функцию $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ для которой на всяком отрезке $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\le \vartheta$ найдется последовательность ломаных $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ равномерно сходящаяся к $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ на отрезке $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\le \vartheta$ при условиях $\lim \underset{i}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_{i+1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\eta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ когда $k\to \infty \mathrm{.}$ Отметим, что, как и в конечномерном случае [1], стратегия $U\mathrm{,}$ при фиксированной начальной позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ порождает, вообще говоря, не одно движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ а целое множество таких движений в соответствии с многообразием последовательностей реализаций $v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ ${\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ $h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ которые могут случиться при построении ломаных Эйлера $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ определяющих $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ От движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ не требуется, чтобы оно было решением дифференциального уравнения $\dot{x}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которое можно получить из уравнения (1.1), подставляя вместо $u$ функционал $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ а вместо $v$ - какую-либо подходящую функцию $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ просто определяется как предельная функция для какой-нибудь подходящей последовательности ломаных Эйлера $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Лемма 1.1 Выберем произвольную стратегию $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Зафиксируем некоторую ограниченную область $\Omega$ в пространстве позиций $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и число $\vartheta \mathrm{.}$ Тогда для любого числа $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ найдется такое число $\delta \mathrm{<mo>></mo>0,}$ что при всяком выборе позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \Omega$ ( $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le \vartheta$ ) для всякой ломаной Эйлера $x^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (1.2), удовлетворяющей условию $\parallel {\eta }_{i+1}-{\eta }_i\parallel \le \delta$ ( $i\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots$ ), найдется по крайней мере одно движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ такое, что

$\parallel x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-x^{\Delta }\parallel \le \epsilon \mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\le \vartheta \mathrm{.}$ (1.4)

Доказательство. В силу условия (1.3) любая последовательность ломанных Эйлера $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ ( $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ ), где $\lim \underset{i}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_{i+1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\eta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ $\lim h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ при $j\to \infty \mathrm{,}$ образует на всяком конечном отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ множество равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Отсюда, на основании известных теорем функционального анализа (см. [18, с. 100]) вытекает возможность выбора из последовательности $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ подпоследовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ ( $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ ), которая будет сходиться равномерно на каждом конечном отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ к некоторой функции $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Эта функция $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и явится движением $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ При этом условие (5) очевидным образом следует из равномерной сходимости.

Таким образом, мы видим, что при всяком выборе $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $U÷u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет существовать по крайней мере одно движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ продолжимое на всю полуось $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$ В то же время данное абстрактное определение стратегии $U$ и движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ допускает разумный переход к реализуемым на практике процедурам управления. Этот переход осуществляется обращением к ломаным Эйлера $x^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (1.2), ибо, как следует из леммы 1.1, эти ломаные хорошо аппроксимируют движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Аналогичным образом определяется класс стратегий $V÷v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ второго игрока и порождаемые этими стратегиями движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Пусть выбрана пара стратегий $U÷u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $V÷v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ и реализации управления $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ в уравнении (1.2) строятся по закону $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\eta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ где $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\eta }_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$ - какое-либо разбиение полуоси $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}$ избранное вторым игроком. Тогда уравнение (1.2) будет определять также и ломаные Эйлера $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{x}^{{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}V\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ для второго игрока, для которых первый игрок выбирает реализации своего управления $u$ по закону $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\eta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_i\mathrm{,}{x}_{{\eta }_i}^{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Обозначим символом $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ любую непрерывную функцию $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ ), которая на всяком конечном отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ является равномерным пределом для некоторой подходящей последовательности таких ломаных Эйлера $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{x}^{{\Delta }^{\mathrm{<mo>*</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при условии, что, $\lim \underset{i}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }_{i+1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\eta }_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ $\lim \underset{i}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{}_{i+1}-{\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $k\to \infty \mathrm{.}$

В силу того, что состоянием системы с последействием мы считаем конечномерный вектор ^{${}^{\mathrm{<mo>"</mo>1<mo>"</mo>}}$[}1] $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in R^n\mathrm{,}$ многие свойства движений системы (1.1) аналогичны свойствам движений конечномерных систем [1]. В частности, справедливо следующее утверждение, которое, как и в [1], приводится без доказательства.

Лемма 1.2. Каковы бы ни были позиция $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и пара стратегий $\mathrm{<mo>\{</mo>}U\mathrm{,}V\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ множество движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ содержит все движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ и множество движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ также содержит все движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

2. Свойства движений

Зафиксируем начальную позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и остановимся на какой-то стратегии $U\mathrm{.}$ Тогда можно построить пучок всех возможных движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_0\le t\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ ), которые получаются как пределы при переборе всех возможных сходящихся последовательностей $x^{{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}^k\mathrm{,}U\mathrm{,}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ причем перебор всех возможных реализаций $v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}{v}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ $t_0\le t\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{<mo>\}</mo>}$ отражает всевозможные действия противника. Таким образом, множество всех движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при данных $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $U$ отражает в нашей формализации всевозможные реализации $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ процесса, стесненные только условием $v\in G\mathrm{.}$ Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.1. Пусть $\Xi$ - некоторая ограниченная область в пространстве позиций $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ и фиксировано число $\vartheta \mathrm{.}$ Тогда множество всех движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ отвечающих всем всевозможным стратегиям $U$ и начальным позициям $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \Xi \mathrm{,}$ $t_0\le \vartheta \mathrm{,}$ образует совокупность равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Под расстоянием $\rho {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}$ между двумя непрерывными вектор-функциями $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ определенными на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ будем понимать их расстояние в метрике пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ т. е. величину

$\rho {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{t_0\le t\le \vartheta }{{\displaystyle \max }}\parallel x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\parallel \mathrm{.}$

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.2. На всяком отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ пучок всех движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при всяком выборе $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $U$ образует замкнутое множество в метрике пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

Из лемм 2.1 и 2.2 вытекает, что пучок всех движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_0\le t\le \vartheta$ ) образует в пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ компактное в себе множество. Следуя общепринятой терминологии [2, с. 222], некоторый функционал $\mathfrak{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ параметра $z\mathrm{,}$ значения которого суть множества $\mathfrak{x}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}p{\mathrm{<mo>\}</mo>}}_z\mathrm{,}$ состоящие из элементов $p$ метрического пространства $\tilde{P}\mathrm{,}$ полунепрерывен сверху по включению в точке $z\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ (в метрике $\tilde{P}$ ), если для всякой последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{z}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ сходящейся в метрике пространства $\mathrm{<mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>\}</mo>}$ к точке $z_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$ и любой сходящейся в метрике $\tilde{P}$ последовательности

$P^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\in {\mathrm{<mo>\{</mo>}p\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{z^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

предельная точка $p_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{p}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ будет удовлетворять условию $p_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in {\mathrm{<mo>\{</mo>}p\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{z_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{.}$ В таких ситуациях принято именовать полунепрерывными сами множества $\mathfrak{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Если помимо интересующего нас аргумента (здесь $z$ ), множества $\mathfrak{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ зависят от других параметров, то, там где это требуется, указывается, относительно какого аргумента имеет место полунепрерывность.

Обозначим пучок всех движений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_0\le t\le \vartheta$ ), отвечающих выбранной стратегии $U$ и некоторой начальной позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ символом $\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ так как будем далее менять только параметр $h_0\mathrm{.}$ Справедливо следующее утверждение.

Лемма 2.3. При всяком выборе $t_0\mathrm{,}$ $\vartheta \ge t_0$ и $U$ пучки $\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ полунепрерывны сверху по включению в каждой точке $h_0\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}$ относительно параметра $h_0$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и в метрике $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ При этом для любого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ можно указать $\delta \mathrm{<mo>></mo>0,}$ такое, что при условии

$\parallel h_0-h_{\mathrm{<mo>*</mo>}}{\parallel }_H\le \delta$

для всякого движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ найдется хотя бы одно движение $x_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ удовлетворяющее условию

$\rho {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{x}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}\epsilon \mathrm{.}$

Доказательство. Предположим противное, что лемма 2.3 неверна. Тогда при некотором выборе $t_0\mathrm{,}$ $\vartheta \ge t_0$ и $U$ найдутся число $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ и последовательность движений $x^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_0\le t\le \vartheta \mathrm{,}$ $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ ) такие, что $\lim x_{t_0}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ при $k\to \infty \mathrm{.}$ Но в пучке $\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всякое движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ будет удовлетворять условию

$\rho {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\ge \epsilon$ (2.1)

при всяком значении $k\mathrm{.}$ В то же время множество $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ ( $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$ ), согласно лемме 2, состоит из равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций $x^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{x}_t^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_0\le t\le \vartheta$ ), поэтому из последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$ можно выбрать подпоследовательность $x^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ равномерно сходящуюся к некоторой функции $x^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ так, что

$\rho \left(x^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{x}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\right)\mathrm{<mo><</mo>}\epsilon$ (2.2)

при всех достаточно больших значениях $j\mathrm{.}$ Однако, опираясь на определение движений $x^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ нетрудно построить последовательность ломаных Эйлера $x^{{\Delta }^j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\le t\le \vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая также будет сходиться равномерно к функции $x^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t_0\le t\le \vartheta$ ). Стало быть, опять по определению движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ функция $x^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ будет таким движением на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Но в таком случае условия (2.1) и (2.2) оказываются противоречивыми. Полученное противоречие доказывает лемму 2.3.

Лемма 2.3 утверждает, что при приближении точки $h_0$ к точке $h_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ все движения пучка $\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равномерно приближаются к совокупности движений, составляющих пучок $\mathfrak{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Наряду с определенными выше конструктивными идеальными движениями $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ получаемыми предельным переходом от ломаных Эйлера, удобно рассматривать во вспомогательных построениях некоторые обобщенные идеальные движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которые определяются следующим образом. Зафиксируем некоторую позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и выберем какую-то стратегию $U÷u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Выберем число $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$ и построим множество $F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которое является выпуклой замкнутой оболочкой совокупности всех векторов $f$ вида

$f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\in Q\mathrm{,}$

$\parallel \mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}-\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}{\parallel }_H\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i-x_{\mathrm{<mo>*</mo>}i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\displaystyle \sum _{-\tau \le s\mathrm{<mo><</mo>0}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{{\mathrm{<mo>*</mo>}}_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\le \delta \mathrm{.}$                         (2.3)

Такие выпуклые замкнутые оболочки $\tilde{F}$ какого-либо множества векторов $f$ будем обозначать символом $\tilde{F}\mathrm{<mo>=</mo>}co\mathrm{<mo>\{</mo>}f\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Итак,

$F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}co\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo>:</mo>}f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\in Q\mathrm{,}\parallel \mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}-\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}{\parallel }_H\le \delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

При всяком выборе позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ стратегии $U$ и числа $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$ множество $F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оказывается ограниченным. Кроме того, очевидно, справедливо вложение

$F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\delta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\delta }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

при ${\delta }_1\le {\delta }_2\mathrm{.}$ Далее можно построить множества

${\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\delta \mathrm{<mo>></mo>0}}{\cap }}{F}_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

являющиеся, стало быть, пересечениями множеств $F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ ( $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$ ). Из построения множеств $F_v^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ вытекает, что множества ${\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничены, выпуклы, замкнуты и содержат в себе выпуклую оболочку множества всех векторов $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q\mathrm{.}$ Более того, можно проверить, что множества $F_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ отвечающие одной и той же стратегии $U÷u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ оказываются полунепрерывными сверху по включению в каждой позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (относительно позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и в евклидовой метрике пространства $\mathrm{<mo>\{</mo>}f\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ). Именно, какой бы ни была стратегия $U$ и какой бы ни была позиция $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ для всякого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ можно указать $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$ такое, что при выполнении условия (2.3) множество ${\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ такое, что при выполнении условия (2.3) множество $\tilde{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет содержаться в евклидовой $\epsilon$ -окрестности множества ${\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Рассмотрим дифференциальное уравнение в контингенциях

$\dot{x}\in {\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2.4)

Его решением $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется всякая абсолютно непрерывная функция $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая удовлетворяет начальному условию $x_{t_0}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_0$ и производная которой при почти всех значений $t\ge t_0$ удовлетворяет включению

$\dot{x}\in {\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{x}_t\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Так как множества ${\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{x}_t\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при всяком выборе стратегии $U$ во всякой возможной позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ограничены, выпуклы и замкнуты, при изменении позиции меняются полунепрерывно сверху по включению и, кроме того, согласно (1.3), удовлетворяют условию

$\parallel f\parallel \le \kappa \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\parallel x_t{\parallel }_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}приf\in F_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

то уравнение (2.4) при всяком выборе стратегии $U$ и начальной позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ имеет решения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ продолжимые для всех значений $t\ge t_0\mathrm{.}$ Эти решения будем называть идеальными обобщенными движениями $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (1.1).

Аналогичным образом с переменой ролями символов $u$ и $v$ определяются идеальные обобщенные движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которые являются решениями дифференциального уравнения в контингенциях

$\dot{x}\in {\tilde{F}}_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

аналогичного уравнению (2.4).

Между идеальными конструктивными движениями $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ которые получаются предельным переходом от ломаных Эйлера (1.2), и идеальными обобщенными движениями $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которые определены как решения дифференциальных уравнений в контингенциях (2.4), существует такая же связь, как и в конечномерном случае [1]. Оказывается, что при всяком выборе стратегии $U$ и начальной позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ всякое конструктивное движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t\ge t_0$ ) является одновременно обобщенным движением $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $t\ge t_0$ ). Иначе говоря, пучок всех конструктивных движений

${\mathfrak{X}}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{t}_0\le t\le \vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$

обязательно содержится в соответствующем пучке всех обобщенных движений

${\mathfrak{X}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{t}_0\le t\le \vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Таким образом, имеем

${\mathfrak{X}}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset X_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Аналогичным образом справедливо включение

${\mathfrak{X}}_K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset X_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

3. Постановка задачи

После определения стратегий и движений мы можем перейти к формализованной постановке игровых задач. Будем предполагать, что в пространстве «точечных» состояний $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>\}</mo>}$ заданы множества $M$ и $N$ и задан функционал

$\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{t}_0\le t\le \eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.1)

 который должен минимизироваться первым игроком и максимизироваться вторым. Ограничимся сначала функционалом $\phi$ (3.1). К более общему случаю

$\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}{t}_0\le t\le \eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (3.2)

обратимся позднее. Начальную позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$ будем полагать выбранной произвольно в пределах ее допустимых значений, но будем полагать ее затем зафиксированной. Множество $M$ удобно предполагать замкнутым, а функционал $\phi$ - имеющим смысл на непрерывных функциях $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Рассматриваемая задача сближения состоит в приведении конечномерного фазового вектора $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (характеризующего физическое состояние системы) на целевое множество $M\mathrm{.}$ Будем сначала считать союзником первого игрока и сформулируем задачу для него.

Задача 3.1. Требуется найти стратегию $U^0÷u^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая обеспечивает встречу

$\mathrm{<mo>\{</mo>}\eta \mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}\in M\mathrm{,}$ (3.3)

$\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}\notin M\mathrm{,}\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}\in N\mathrm{,}{t}_0\le t\le \eta \mathrm{,}$ (3.4)

для всякого движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Обратим внимание на то, что момент $\eta \mathrm{,}$ фигурирующий в условиях задачи, не является, вообще говоря, заданным априори, но получает для всякого движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ свое значение (3.3). Стратегию $U÷u^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ разрешающую задачу 3.1, будем называть оптимальной минимаксной стратегией.

Будем считать союзником второго игрока и сформулируем задачу для него.

Задача 3.2. Требуется найти стратегию $V^0÷v^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая исключает встречу (3.3) для всякого движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}{V}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Совокупность двух задач 3.1 и 3.2 будем именовать игрой. Игра в нашей формализации складывается из двух задач.

4. Игра сближения-уклонения

Изучение задач 3.1 и 3.2, поставленных в предыдущем параграфе, мы начнем с одного частного случая, который будем именовать в дальнейшем игрой сближения-уклонения. Эта игра будет складываться из следующих двух задач. Множество $N\mathrm{,}$ фигурирующее в задаче 3.1, равно как и множество $M$ из этой задачи, будем полагать замкнутыми множествами в пространстве $R^n\mathrm{,}$ т. е. конечномерными множествами. Однако, учитывая бесконечномерность систем с последействием и эффективность функциональных методов, целесообразно решать рассматриваемую задачу в функциональной постановке. Для применения функционального подхода, целевое множество и фазовые ограничения будем рассматривать в виде $M_c\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in M\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $N_c\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in N\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ соответственно. Так как из условия $x_t\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}\in M$ ( $x_t\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t+\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in N_c$ ) следует, что $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in M$ ( $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in N$ ), то, решив формулируемые ниже задачи, мы фактически решаем и задачи 3.1 и 3.2 из предыдущего раздела.

Таким образом, далее рассматриваем следующие задачи.

Задача 4.1. Требуется найти стратегию $U_c÷u_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая обеспечивает встречу

$\mathrm{<mo>\{</mo>}\eta \mathrm{,}{x}_{\eta }\mathrm{<mo>\}</mo>}\in M_c\mathrm{,}\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}\notin M_c\mathrm{,}\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}\in N_c\mathrm{,}{t}_0\le t\le \eta \mathrm{,}$ (4.1)

для всякого движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Будем обозначать символами $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ некоторые окрестности замкнутых множеств $N_c$ и $M_c$ в пространстве позиций $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Иначе говоря, $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ суть некоторые открытые множества в пространстве позиций $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ содержащие $N_c$ и $M_c$ соответственно.

Задача 4.2. Требуется найти какие-либо окрестности $\text{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и стратегию $V_c÷v_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая исключает встречу

$\mathrm{<mo>\{</mo>}\eta \mathrm{,}{x}_{\eta }\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \text{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{t}_0\le t\mathrm{<mo><</mo>}\eta \mathrm{,}$ (4.2)

для всякого движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}{V}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ 

В частности, нас будут особенно интересовать случаи задач 4.1 и 4.2, когда множество $M_c$ будет обрываться на некоторой гиперплоскости $t\mathrm{<mo>=</mo>}\vartheta \mathrm{,}$ т. е. когда это множество $M_c$ будет лежать целиком в области $t\le \vartheta \mathrm{.}$ В таких случаях мы будем говорить о задаче 4.1 сближения к моменту $\vartheta$. О стратегии $U_c\mathrm{,}$ разрешающей тогда задачу 4.1, будем говорить, что она гарантирует сближение позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}$ с $M_c$ внутри $N_c$ к моменту $\vartheta \mathrm{,}$ а о стратегии $V_c\mathrm{,}$ разрешающей задачу 4.2, будем говорить, что она гарантирует уклонение позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}$ от $\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ внутри $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вплоть до момента $\vartheta \mathrm{.}$

5. Несколько важных замечаний

В следующем параграфе аналогично конечномерному случаю будет введено понятие стабильного моста. Для систем с последействием мосты удобно строить в пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ так как это пространство является банаховым. В силу свойства сглажи-вания решений ФДУ, для любого решения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{,}U\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ справедливо включение $x_t\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при $t\ge t_0+\tau \mathrm{.}$ Поэтому, не нарушая общности, в дальнейшем можно предполагать $\vartheta -t_0\ge \tau \mathrm{,}$ что обеспечивает включение $x_t\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Случай $\vartheta -t_0\mathrm{<mo><</mo>}\tau$ можно считать «вырожденным», так как тогда задача становится фактически конечномерной. Например, рассмотрим дифференциально-разностную игру

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (5.1)

при условии $\vartheta -t_0\mathrm{<mo><</mo>}\tau \mathrm{.}$ Подставляя функцию $y^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-\tau \le s\mathrm{<mo><</mo>0}$ из начального условия $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{x}^0\mathrm{,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в правую часть уравнения (5.1) (так как $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $t_0\le t\le \vartheta \mathrm{<mo><</mo>}{t}_0+\tau$ ), получаем конечномерную дифференциальную игру на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ для обыкновенного дифференциального уравнения $\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{y}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $t_0\le t\le \vartheta \mathrm{<mo><</mo>}{t}_0+\tau \mathrm{.}$

6. Стабильный мост

Для решения задачи 4.1 о сближении достаточно построить некоторое множество $W_u\mathrm{,}$ называемое мостом, которое обладало бы следующими свойствами:

1-u) мост $W_u$ содержит начальную позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo><mo>;</mo>}$ 

2-u) в какой-то момент $\vartheta \ge t_0$ мост $W_u$ обрывается на $M_c\mathrm{,}$ т. е. сечение $W_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ моста $W_u$ гиперплоскостью $t\mathrm{<mo>=</mo>}\vartheta$ содержится в $M_c\mathrm{<mo>;</mo>}$ 

3-u) мост $W_u$ содержится целиком в $N_c\mathrm{<mo>;</mo>}$ 

4-u) существует некоторая стратегия $U_c÷u_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая удерживает всякое движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{U}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $t\mathrm{<mo>></mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ ) при любом выборе начальных условий $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le \vartheta \mathrm{,}$ $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in W_u$ на мосту $W_u$ вплоть до встречи с $M_c\mathrm{.}$ 

Стратегия $U\mathrm{,}$ удовлетворяющая условию 4-u, обозначается $U_c\mathrm{,}$ так как она решает задачу 4.1 и гарантирует сближение состояния $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}$ с $M_c$ к моменту $\vartheta \mathrm{.}$ Для решения задачи 4.2 об уклонении достаточно построить мост $W_v\mathrm{,}$ который обладал бы следующими свойствами:

1-v) мост $W_v$ содержит начальную позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}{h}_0\mathrm{<mo>\}</mo><mo>;</mo>}$ 

2-v) мост $W_v$ не пересекается с $M_c\mathrm{<mo>;</mo>}$ 

3-v) существует некоторая стратегия $V_c÷v_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ которая удерживает всякое движение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{V}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in W_v$ на мосту $W_v$ вплоть до выхода позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{<mo>\}</mo>}$ из области $N_c\mathrm{.}$ 

Стратегия $V\mathrm{,}$ удовлетворяющая условию 3-v для задачи 4.2, обозначается $V_c\mathrm{,}$ так как она решает задачу 4.2. Важным свойством, которым могут обладать мосты, является стабильность. В дальнейшем будем предполагать, что отображение $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в правой части уравнений движения (1.1) в каждой ограниченной области $\Omega$ пространства $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}$ удовлетворяет условию Липшица по $h\mathrm{,}$ т. е.

$\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le \parallel h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-h^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }_H$

при всех $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ из $\Omega$ и при всех $u\in P\mathrm{,}$ $v\in G\mathrm{.}$

Обратимся сначала к задаче 4.1 о сближении. Пусть $W$ - некоторое множество в пространстве $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_0\mathrm{,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\tau \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Выберем какую-нибудь позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Предположим на время, что второй игрок на некоторый будущий интервал времени $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\mathrm{<mo><</mo>}{t}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ выбрал некоторое управление $V÷v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$ характеризуемое постоянным вектором $v_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in Q\mathrm{.}$ Рассмотрим обобщенные движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $x_{t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}$ которые, согласно материалу из раздела 2, являются решениями $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ следующего дифференциального уравнения в контингенциях:

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\tilde{F}}_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{,}{v}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (6.1)

где

${\tilde{F}}_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{,}{v}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}co\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo>:</mo>}f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}u\mathrm{,}{v}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\in P\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Множество $W$ является $u$ -стабильным, если при всяком выборе позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in W\mathrm{,}$ значения $t^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>></mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и вектора $v_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in Q$ среди решений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (6.1) найдется по крайней мере одно решение, удовлетворяющее условию

$\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{x}_{t^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in Wили\mathrm{<mo>\{</mo>}{\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{x}_{{\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in M_c$

при каком-то значении ${\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{t}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Обратимся теперь к задаче 4.2 об уклонении. Пусть опять $W$ - некоторое множество в пространстве позиций $\mathrm{<mo>\{</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in W\mathrm{.}$ Пусть первый игрок выбрал на некоторый будущий полуинтервал времени $t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\le t\mathrm{<mo><</mo>}{t}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ некоторое управление $U÷u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ характеризуемое постоянным вектором $u_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in P\mathrm{.}$ Рассмотрим обобщенные движения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ т. е. решения $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $x_{t_{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ ) следующего дифференциального уравнения в контингенциях:

$\dot{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{,}{u}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (6.2)

где

${\tilde{F}}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_t\mathrm{,}{u}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}co\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo>:</mo>}f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}h\mathrm{,}{u}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}v\in Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Множество $W$ является $v$ -стабильным, если при всяком выборе позиции $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in W\mathrm{,}$ $t^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>></mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ и $u_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in P$ среди решений $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (18) найдется по крайней мере одно решение, удовлетворяющее условию

$\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{x}_{t^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in Wили\mathrm{<mo>\{</mo>}{\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{{\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}}\mathrm{<mo>\}</mo>}\notin N_c$

при каком-то ${\eta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{t}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

7. Маленькая игра

Зафиксируем какую-нибудь позицию $\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и вектор $s_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{.}$ Составим скалярное произведение ${s^{\prime }}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\xi$ (верхний штрих - транспонирование).

Задача 7.1. Требуется найти вектор $u^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\in P\mathrm{,}$ который удовлетворяет условию

$\underset{v\in Q}{{\displaystyle \max }}{s^{\prime }}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{u\in P}{{\displaystyle \min }}\underset{v\in Q}{{\displaystyle \max }}{s^{\prime }}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}{h}_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\xi }^0\mathrm{.}$ (7.1)