Alpha sets and their hulls: analytical relationships in the plane case

Full Text

Введение

Сфера приложений выпуклых множеств обширна и многообразна. Между тем в приложениях, в частности, в теории математического управления зачастую приходится иметь дело с невыпуклыми множествами. В ряде случаев такие множества могут рассматриваться в качестве обобщений выпуклых множеств. Среди обобщений понятия выпуклого множества выделим понятие альфа-множества ($\alpha$-множества) [1]. Следует различать это понятие с понятием $$$\alpha$-выпуклого множества, которое введено в работе [2]. Возникновение понятия альфа-множества связано с изучением свойств множеств достижимости управляемых динамических систем. Присущая множествам достижимости невыпуклость имеет разную степень выраженности. Для конкретного множества в качестве числовой характеристики его степени невыпуклости в [1] предложена неотрицательная константа $\alpha \mathrm{,}$ являющаяся супремальным значением характеристической функции, определенной на дополнении множества до всего пространства. Значения функции имеют смысл угловых величин, вычисляемых между векторами, порожденными ближайшими точками на множестве. Нарушение единственности метрической проекции точки из дополнения множества на само множество указывает на его принадлежность семейству нечебышевских множеств [3].

Обзор обобщений понятия выпуклого множества приведен в монографии [4]. Свойства оператора метрической проекции рассмотрены для класса слабо выпуклых по Виалю множеств и класса сильно выпуклых множеств в [5, 6]. В частности, показано, что такие множества обладают чебышевскими слоями, в которых оператор непрерывен и для него в рамках каждого класса множеств найдена константа Липшица. Оператор метрической проекции также используется при описании свойств классического (дифференцируемого) решения уравнения эйконала для случая, когда краевое множество является солнцем [7]. В упомянутых здесь работах существенным условием является единственность значений оператора метрической проекции.

Конструкции теории альфа-множеств позволяют исследовать ситуации множественности значений оператора метрической проекции. К настоящему времени выявлены и описаны характерные признаки и особенности замкнутых множеств евклидова пространства в терминах характеристической функции, введены в рассмотрение основные структурные элементы развиваемой теории (биссектриса множества, псевдовершина множества, крайняя точка биссектрисы) [8]. Осуществлена классификация невыпуклых множеств по признакам регулярности и мажорируемости (в силу введенных определений), а для некоторых классов невыпуклых множеств сформулированы и доказаны утверждения, аналогичные теоремам из выпуклого анализа о существовании опорной гиперплоскости выпуклого множества и об отделимости выпуклых множеств в евклидовом пространстве [9].

Конструкции теории альфа-множеств приложены к построению негладких решений задач управления по быстродействию и задач геометрической оптики (см., например, [10, 11]), применены при исследовании свойств множеств достижимости нелинейных управляемых динамических систем (см. [12]).

В настоящей работе для плоских замкнутых и в классическом смысле невыпуклых множеств получены аналитические соотношения, позволяющие в ряде случаев находить точно меру невыпуклости $\alpha \mathrm{.}$ Также выявлены аналитические взаимосвязи между плоскими альфа-множествами и их оболочками в силу определений [2].

1. Основные определения, понятия и предварительные результаты

Ключевым в настоящей работе является понятие $\alpha$-множества, введенное в статье [1].

Пусть М — замкнутое множество в евклидовом пространстве ${ℝ}^n$ и $z\in {ℝ}^n\backslash M.$ Под проекцией $\pi \left(z\right)$ точки z на M понимается ближайшая к z точка из M в евклидовой метрике.

Полагаем

${\Omega }_M\left(z\right)=\left\{\pi \right(z\left)\right\}$ — множество всех проекций $\pi \left(z\right)$ точки z на M;

$co{\Omega }_M\left(z\right)$ — выпуклая оболочка множества ${\Omega }_M\left(z\right);$  

$con\left(co{\Omega }_M\right(z)-z)=\{h=\lambda (s-z):\lambda ⩾\mathrm{0,}s\in co{\Omega }_M(z\left)\right\}$ — конус в ${ℝ}^n\mathrm{,}$ натянутый на $co{\Omega }_M\left(z\right)-z;$  

$H_M\left(z\right)$ — множество всевозможных пар $(h_{\ast },h^{\ast })$ ненулевых векторов $h_{\ast }\mathrm{,}{h}^{\ast }$ из конуса $con\left(co{\Omega }_M\right(z)-z);$ 

$(h_{\ast }\wedge h^{\ast })=\arccos \frac{⟨h_{\ast },h^{\ast }⟩}{\parallel h_{\ast }\parallel \cdot \parallel h^{\ast }\parallel }\in \left[\mathrm{0,}\pi \right]$ — угол между векторами $h_{\ast }$ и $h^{\ast }\mathrm{,}$ $(h_{\ast },h^{\ast })\in H_M\left(z^{\ast }\right);$ 

$⟨h_{\ast },h^{\ast }⟩$ — скалярное произведение векторов $h_{\ast }$ и $h^{\ast }$ в ${ℝ}^n\mathrm{,}$ $\parallel h_{\ast }\parallel ={⟨h_{\ast },h_{\ast }⟩}^{\frac{1}{2}};$

$\alpha \left(z\right)=\underset{(h_{\ast },h^{\ast })\in H_M\left(z\right)}{msx}(h_{\ast }\wedge h^{\ast })\in \left[\mathrm{0,}\pi \right].$

Определение 1.1. Множество M называется $\alpha$-множеством в ${ℝ}^n\mathrm{.}$ Величина

 $\alpha =\underset{z\in {ℝ}^n\backslash M}{sup}\alpha \left(z\right)\in \left[\mathrm{0,}\pi \right]$

называется мерой невыпуклости множества  M.

Приведем определения ряда конструктивных элементов теории $\alpha$-множеств, сконцентрировавшись на плоском случае, когда $M\subset {ℝ}^2\mathrm{.}$ В дальнейшем предполагается, что граница $\Gamma =\partial M$ замкнутого множества $M\subset {ℝ}^2$ задается непрерывным отображением $\gamma :T\to {ℝ}^2$ числового отрезка $T=\left[\stackrel{⌣}{t},\widehat{t}\right],$ $-\infty <\stackrel{⌣}{t}<\widehat{t}<+\infty ,$ $\gamma \left(\stackrel{⌣}{t}\right)=\gamma \left(\widehat{t}\right),$ или же числовой прямой $T=ℝ,$ на плоскость, которое, вообще говоря, может иметь конечное число точек разрыва производных начальных порядков (до третьего порядка включительно) от координатных функций. Следует подчеркнуть, что дифференциальные свойства $\Gamma$ существенным образом влияют на структуру носителя $\text{supp\hspace{0.17em}}\alpha =\overline{\left\{z\in {ℝ}^2\backslash M:\alpha \left(z\right)\ne 0\right\}}$ функции $\alpha (\cdot )$ и, как следствие, определяют сложность вычисления меры невыпуклости множества M. Здесь $\overline{A}$ — замыкание A.

Задача отыскания меры невыпуклости множества решается с помощью уравнения, связывающего носитель функции $supp\alpha$ с границей множества:

$Q(t_1,t_2)=0.$   (1.1)

Структура уравнения конкретизирована ниже. Предварительно укажем на то, что $Q=Q(t_1,t_2)$ — симметрическая функция двух переменных в плоскости параметров $(t_1,t_2)\in {ℝ}^2.$ Важная роль в теории отводится решениям (1.1) со специальными свойствами. Зафиксируем $t_0\in T\mathrm{,}$ параметры малости ${\delta }_1>\mathrm{0,}$${\delta }_2>0.$  Под решениями этого уравнения понимаются локальные диффеоморфизмы [13, §1], определенные с одной стороны от точки рассмотрения. Будем говорить, что локальный диффеоморфизм $t_2=t_2\left(t_1\right),$ определенный уравнением (1.1), полунепрерывен слева в точке $t_1=t_0$ и отображает левую полуокрестность точки $t_1=t_0$ в ее правую полуокрестность, если выполняются условия:

(A1) $t_2\left((t_0-{\delta }_1,t_0)\right)=(t_0,t_0+{\delta }_2),$ ${\delta }_1>\mathrm{0,}$ ${\delta }_2>\mathrm{0,}$   

(A2) $\underset{t_1\to t_0-0\text{}}{lim}{t}_2\left(t_1\right)=t_0.$

Наряду с полунепрерывностью функции $t_2=t_2\left(t_1\right)$ условия (A1), (A2) выделяют неподвижные точки в пространстве параметров. Существование таких точек и их определяющих локальных диффеоморфизмов показано на примерах множеств с разным порядком гладкости их границ [14].

Определение 1.2. Псевдовершиной кривой $\Gamma$ называется точка

$x^{\left(0\right)}=\left({\gamma }_1\left(t_0\right),{\gamma }_2\left(t_0\right)\right)\triangleq \underset{t_1\to t_0-0}{lim}(x_1^{*},x_2^{*}),$

где $(x_1^{*},x_2^{*})=\left(x_1^{*}(t_1,t_2(t_1\left)\right),x_2^{*}(t_1,t_2(t_1\left)\right)\right)$ — однопараметрическое подмножество решений $(x_1^{*},x_2^{*})=\left(x_1^{*}(t_1,t_2),x_2^{*}(t_1,t_2)\right)$ системы уравнений 

$\left\{\begin{array}{l}(x_1^{*}-{\gamma }_1(t_1\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)=(x_2^{*}-{\gamma }_2(t_1\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right),\\ (x_1^{*}-{\gamma }_1(t_2\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)=(x_2^{*}-{\gamma }_2(t_2\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right),\end{array}\right.$   (1.2)

определяемое локальным диффеоморфизмом $t_2=t_2\left(t_1\right),$ который задается уравнением 

$Q(t_1,t_2)\Delta ={\rho }^2\left(\gamma \left(t_1\right),\left(x_1^{\ast },x_2^{\ast }\right)\right)-{\rho }^2\left(\gamma \left(t_2\right),\left(x_1^{\ast },x_2^{\ast }\right)\right)=0$   (1.3)

и удовлетворяет условиям (A1), (A2). Здесь, $\rho \left(x,y\right)=\parallel x-y\parallel ,x\in {ℝ}^2,y\in {ℝ}^2.$

Уравнение (1.3) конкретизирует (1.1).

Определение псевдовершины допускает естественную переформулировку в терминах обратного к $t_2=t_2\left(t_1\right)$ локального диффеоморфизма $t_1=t_1\left(t_2\right),$ удовлетворяющего условиям (A1), (A2). Поэтому будем называть $t_2=t_2\left(t_1\right)$ и $t_1=t_1\left(t_2\right)$ локальными диффеоморфизмами, порождающими псевдовершину $x^{\left(0\right)}\in \Gamma .$

Рассмотрим оператор метрической проекции $P_M\left(z\right)$ точек $z\in {ℝ}^2\backslash M$ на M. Обозначим $card{P}_M\left(z\right)$ мощность множества проекций точки $z\in {ℝ}^2\backslash M$ на M.

Определение 1.3. Биссектрисой множества $M\subset {ℝ}^2$ называется

$L=\left\{z\in {ℝ}^2\backslash M:card{P}_M\left(z\right)>1\right\}.$

Биссектриса L множества $M\subset {ℝ}^2$ состоит из точек, в которых нарушается гладкость евклидова расстояния до множества. Биссектриса относится к множествам симметрии, топологические свойства которых изучаются в теории особенностей гладких отображений (см., например, [15]).

 Определение 1.4. Ветвью $L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ биссектрисы L кривой $\Gamma \mathrm{,}$ где $x^{\left(0\right)}$ — псевдовершина $\Gamma \mathrm{,}$ называется множество точек $(x_1,x_2)\in {ℝ}^2,$ удовлетворяющих системе уравнений

$\left\{\begin{array}{l}(x_1-{\gamma }_1(t_1\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)+(x_2-{\gamma }_2(t_1\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)=\mathrm{0,}\\ (x_1-{\gamma }_1(t_2\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)+(x_2-{\gamma }_2(t_2\left)\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)=\mathrm{0,}\end{array}\right.$   (1.4)

где $t_2=t_2\left(t_1\right)$ — локальный диффеоморфизм, порождающий псевдовершину $x^{\left(0\right)}.$ Система уравнений (1.4) является сопряженной к системе (1.2). Ее решениями являются точки $x\in {ℝ}^2\backslash \Gamma \mathrm{,}$ имеющие две различные ближайшие точки на $\Gamma =\partial M.$ В силу определения носителя характеристической функции выполнено $L\left(x^{\left(0\right)}\right)\subset supp p\alpha .$

2. Вычисление значений характеристической функции на биссектрисе

Задача вычисления меры невыпуклости множества M по существу требует построения носителя характеристической функции $supp\alpha \mathrm{,}$ т. е. замыкания множества из ее области определения, на котором функция отлична от нуля. Функция ${\alpha }_M\left(z\right),$ $z\in {ℝ}^n\backslash M\mathrm{,}$ полунепрерывна сверху [1], в общем случае она является разрывной. Ниже обоснована формула ее вычисления для ряда случаев. Результат сформулирован в локальных терминах, он справедлив в некоторой окрестности особой точки границы множества. При этом стоит отметить, что результат приобретает нелокальный характер в случае, когда эта точка является единственной особой точкой границы множества. Этот тезис будет проиллюстрирован далее в примере. Содержательно приводимая ниже теорема позволяет находить значения характеристической функции на гладких участках биссектрисы.

Примем ряд обозначений: $\det \left(a,b\right)=\left|\begin{array}{l}{a}_1{a}_2\\ b_1{b}_2\end{array}\right.$ — определитель второго порядка, построенный на векторах $a=(a_1,a_2),$ $b=(b_1,b_2),$ $⟨a,b⟩$ — скалярное произведение этих векторов, $O_0\left(t_0,\Delta \right)=\left(t_0-\Delta ,t_0+\Delta \right)\backslash \left\{t_0\right\}$ — выколотая окрестность точки $t_0\in T$ радиуса $\Delta >0.$ Пусть $K=\left\{\mathrm{1,2,3}\right\}.$

Ограничимся рассмотрением кривых, для которых выполняются следующие условия:

($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{1}\text{}$) $\gamma \left(t\right)=\left({\gamma }_1\left(t\right),{\gamma }_2\left(t\right)\right)$ имеет непрерывную производную k-го порядка, где $k\in K\mathrm{,}$ всюду на $T\subseteq ℝ\mathrm{,}$ при этом допускается существование конечных совокупностей $T_k\subset T$ точек $t_0\in T_k\mathrm{,}$ в которых односторонние производные k-го порядка (левая ${\gamma }^{\left(k\right)}\left(t_0-0\right)$ и правая ${\gamma }^{\left(k\right)}\left(t_0+0\right))$ конечны и при этом ${\gamma }^{\left(k\right)}\left(t_0-0\right)\ne {\gamma }^{\left(k\right)}\left(t_0+0\right);$

($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{2}\text{}$)  ${\gamma }^{\text{'}}\left(t\right)\ne \mathrm{0,}$ $t\in T\backslash T_1\mathrm{.}$

Совокупности кривых $\Gamma$ без точек самопересечения с указанными дифференциальными свойствами ($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{1}\text{}$), ($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{2}\text{}$) обозначим ${\left\{\Gamma \right\}}_T.$ Условие ($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{1}\text{}$) фиксирует наличие точек с разрывами производных координатных функций — особых точек, которые порождают непустые подмножества из $supp\alpha \mathrm{,}$ а ($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{2}$) — это условие регулярности кривой в точках дифференцируемости (подробнее см. в [11, 14]).

Теорема 2.1. Пусть $L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ — ветвь биссектрисы L множества $M\subset {ℝ}^2$ с границей $\Gamma =\partial M\in {\left\{\Gamma \right\}}_T,$ определяемой вектор-функцией $\gamma \left(t\right)=\left({\gamma }_1\right(t),{\gamma }_2(t\left)\right),$ где $x^{\left(0\right)}$— псевдовершина $\Gamma \mathrm{,}$ порожденная локальным диффеоморфизмом $t_2=t_2\left(t_1\right),$ $t_1\in (t_0-{\delta }_1,t_0),$ и выполняется условие

$\det \left({\gamma }^{\text{'}}\right(t),{\gamma }^{\text{'}}(\tau \left)\right)\ne \mathrm{0,}t\in O_0\left(t_0,\Delta \right),\tau \in O_0\left(t_0,\Delta \right),\Delta >\mathrm{0,}t\ne \tau .$   (2.1)

Тогда для точек $z\left(t_1\right)=\left(x_1,x_2\right)\in L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ имеет место формула вычисления угловой величины

$\alpha \left(z\left(t_1\right)\right)=2arctg\left|\frac{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)\right)}{〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}\right|.$   (2.2)

Доказательство. Зафиксируем значение параметра $t_1\in (t_0-{\delta }_1,t_0),$ ${\delta }_1>\mathrm{0,}$ и отвечающее ему в силу диффеоморфизма значение $t_2=t_2\left(t_1\right),$ $t_2\in \left(t_0,t_0+{\delta }_2\right),$${\delta }_2>0.$ По построению $t_1<t_0<t_2\left(t_1\right).$ Найдем точку $(x_1^{*},x_2^{*})=\left(x_1^{*}\right(t_1,t_2\left(t_1\right)),x_2^{*}(t_1,t_2\left(t_1\right)\left)\right)$ пересечения касательных, равноудаленную от точек касания $\gamma \left(t_1\right)$ и $\gamma \left(t_2\right).$ Для этого решим соответствующую систему линейных уравнений (1.2), здесь для краткости аргумент в $t_2\left(t_1\right)$ опущен: 

$\begin{array}{l}{x}_1^{\ast }=\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}+\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)},\\ x_2^{\ast }=\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}-\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}.\end{array}$   (2.3)

Перейдем к сопряженной системе (4) и найдем ее решение: 

$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}+\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)},\\ x_2=\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}+\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}.\end{array}$   (2.4)

Формулы (2.3) и (2.4) корректны в силу условия (1.2).

Вычислим значение угловой величины на ветви $L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ биссектрисы, принимая во внимание ортогональность отрезков прямых, задаваемых системами (1.2) и (1.4), и равновеликость тех из них, что являются высотами, и тех, что являются отрезками касательных (поясняющий детали рисунок в [14]). Имеем $tg\frac{\alpha \left(z\left(t_1\right)\right)}{2}=\frac{\rho \left(x^{\ast },\gamma \left(t_1\right)\right)}{\rho \left(x,\gamma \left(t_1\right)\right)}.$ Далее последовательно найдем числитель и знаменатель квадрата тангенса

$t{g}^2\frac{\alpha \left(z\left(t_1\right)\right)}{2}=\frac{{\rho }^2\left(x^{\ast },\gamma \left(t_1\right)\right)}{{\rho }^2\left(x,\gamma \left(t_1\right)\right)}.$  (2.5)

В процессе выкладок опустим часть вычислений, которые громоздки, не представляют математического интереса и при необходимости могут быть легко восстановимы. Числитель дроби

${\rho }^2\left(x^{\ast },\gamma \left(t_1\right)\right)={\left(x_1^{\ast }-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2+{\left(x_2^{\ast }-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2$

$={(-\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}+\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}-{\gamma }_1\left(t_1\right))}^2$

$+{(\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}-\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}-{\gamma }_2\left(t_1\right))}^2$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)({\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\right)}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\right)}^2{\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\right)}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\right)}^2$

$\times {\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2+\left({\gamma }_1^2\left(t_1\right)+{\gamma }_2^2\left(t_1\right)\right){\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}^2+{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}^2$

$+2{\gamma }_2\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|+{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}^2$

$+2{\gamma }_1\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|-$

$\left.-2{||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right)$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)({\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\right)}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\right)}^2{\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\right)}^2$

$\times {\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\right)}^2{\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right)}^2+\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\right(t_1\left){{\gamma }^{\text{'}}}_2\right(t_2)$

$\times \left({\gamma }_1\right(t_1)-{\gamma }_1(t_2\left)\right){)}^2-\left.2{||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right)$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right){||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{\left[{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)-{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right]}^2$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right){||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{\det }^2\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right),\gamma \left(t_2\right)-\gamma \left(t_1\right)\right).$   (2.6)

Знаменатель дроби

${\rho }^2\left(x,\gamma \left(t_1\right)\right)={\left(\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}+\frac{\left|\begin{array}{l}{\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2$

$+{\left(\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}+\frac{\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)}-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)\left({\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\right)}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\right)}^2{\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2\right.+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\right)}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\right)}^2$

$\times {\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2+{\left({\gamma }_2\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|\right)}^2$

$+{\left({\gamma }_1\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|+\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\end{array}\right|\right)}^2$

$\left.-2{||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right)$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\right(t_1),{\gamma }^{\text{'}}(t_2\left)\right)({\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\right(t_1\left){{\gamma }^{\text{'}}}_1\right(t_2\left)\right)}^2{\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\right)}^2$

$\times {\left({\gamma }_2\left(t_1\right)-{\gamma }_2\left(t_2\right)\right)}^2+{\left(\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|-{\gamma }_1\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|\right)}^2$

$+{\left(\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|-{\gamma }_2\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|\right)}^2$

$+2{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\left({\gamma }_2\left(t_1\right)-{\gamma }_2\left(t_2\right)\right)\left(\left|\begin{array}{l}{\gamma }_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {\gamma }_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|-{\gamma }_1\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|\right)$

$+2{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)\left(\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){\gamma }_2\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){\gamma }_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|-{\gamma }_2\left(t_1\right)\left|\begin{array}{l}{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\\ {{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\end{array}\right|\right)$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\right(t_1),{\gamma }^{\text{'}}(t_2\left)\right){\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\right(t_1\left){{\gamma }^{\text{'}}}_1\right(t_2\left)\right)}^2{\left({\gamma }_1\right(t_2)-{\gamma }_1(t_1\left)\right)}^2+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\right(t_1\left){{\gamma }^{\text{'}}}_2\right(t_2\left)\right)}^2{\left({\gamma }_2\right(t_1)-{\gamma }_2(t_2\left)\right)}^2$

$+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\right)}^2{\left({\gamma }_1\left(t_1\right)-{\gamma }_1\left(t_2\right)\right)}^2+{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\right)}^2{\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2$

$+2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_1\right)\right)}^2{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_2\left(t_1\right)-{\gamma }_2\left(t_2\right)\right)\left({\gamma }_1\left(t_1\right)-{\gamma }_1\left(t_2\right)\right)+$

$+\left.2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_1\right)\right)}^2{{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right)$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right)\left({||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\right)}^2{\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)}^2+\right.{\left(s\left(t_1\right)\right)}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\right)}^2$

$\times {\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)}^2+\left.2{||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right){{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_2\left(t_1\right)-{\gamma }_2\left(t_2\right)\right)\left({\gamma }_1\left(t_1\right)-{\gamma }_1\left(t_2\right)\right)\right)$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right){||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{\left({{\gamma }^{\text{'}}}_1\left(t_2\right)\left({\gamma }_1\left(t_2\right)-{\gamma }_1\left(t_1\right)\right)+{{\gamma }^{\text{'}}}_2\left(t_2\right)\left({\gamma }_2\left(t_2\right)-{\gamma }_2\left(t_1\right)\right)\right)}^2$

$={\det }^{-2}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right){||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right),\gamma \left(t_2\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}^2.$   (2.7)

Подставим выражения (2.6) и (2.7) в (2.5), памятуя о том, что здесь $t_2=t_2\left(t_1\right):$

$t{g}^2\frac{\alpha \left(z\left(t_1\right)\right)}{2}=\frac{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right)\right){||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{\det }^2\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)\right)}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right)\right){||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}^2}.$

Сократим числитель и знаменатель на произведение общих отличных от нуля в силу условий ($\mathbf{\text{}}\mathit{\Gamma }\mathbf{2}\text{}$) и (2.1) сомножителей $\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right)\right),$ ${||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2,$ затем извлечем квадратный корень:

$tg\frac{\alpha \left(z\left(t_1\right)\right)}{2}=\left|\frac{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)\right)}{〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}\right|.$   (2.8)

 Из равенства (2.8) получаем требуемую формулу (2.2). 

3. Аналитические взаимосвязи альфа-множества и его r-оболочки в плоском случае

В работе [2], посвященной изучению свойств чебышевских множеств, введено в рассмотрение понятие r-оболочки множества банахового пространства и изучены опорные свойства таких оболочек, здесь число $r>0.$ Вообще говоря, в упомянутой статье авторами используется термин «альфа-оболочка», который в настоящей работе вынужденно скорректирован в его буквенной части, поскольку буква альфа уже использована выше в ином контексте. Заметим также, что в монографии [4] оболочку из [2] предложено называть «множеством, слабо выпуклым по Ефимову–Стечкину с константой альфа».

Определение 3.1. Пересечение дополнений всех открытых шаров $E_r\left(z\right)\triangleq \left\{z^{\ast }\in {ℝ}^n:||z-z^{\ast }||<r\right\},$ $r>\mathrm{0,}$ не пересекающихся с M называется r-оболочкой множества $M\subset {ℝ}^n$ и обозначается ${\left(M\right)}_r.$ Множества M называется r-выпуклым, если $M={\left(M\right)}_r.$

Определение 3.2. Замкнутый шар ${\overline{E}}_r\left(z\right)\triangleq \left\{z^{\ast }\in {ℝ}^n:||z-z^{\ast }||⩽r\right\}$ называется опорным к множеству $M\subset {ℝ}^n$ в точке $z^{\left(0\right)}\in M,$ если внутри шара ${\overline{E}}_r\left(z\right)$ нет точек M и $z^{\left(0\right)}$ лежит на границе ${\overline{E}}_r\left(z\right).$

В этом разделе класс рассмотрения множеств тот же, что и в предыдущем разделе. Изучаются плоские альфа-множества $M\subset {ℝ}^2\mathrm{,}$ границы $\Gamma =\partial M$ которых принадлежат семейству кривых ${\left\{\Gamma \right\}}_T.$ Доказанная выше теорема позволяет в частном случае установить количественную связь числовых характеристик альфа-множества с его оболочкой.

Утверждение 3.1. Если в условиях теоремы 2.1 $x^{\left(0\right)}$ — псевдовершина множества M, порожденная локальным диффеоморфизмом $t_2=t_2\left(t_1\right),$ $t_1\in (t_0-{\delta }_1,t_0),$граница $\Gamma =\partial M\in {\left\{\Gamma \right\}}_T$ определяется вектор-функцией $\gamma \left(t\right)=\left({\gamma }_1\left(t\right),{\gamma }_2\left(t\right)\right)$ и $L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ — отвечающая псевдовершине ветвь биссектрисы, то радиус опорного шара к M в точке $z\left(t_1\right)=\left(x_1,x_2\right)\in L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ вычисляется по формуле

$r\left(z\left(t_1\right)\right)=||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||\left|\frac{〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}{\det \left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)\right)}\right|.$   (3.1)

Доказательство. Отправной точкой в обосновании формулы (3.1) является равенство (2.5). В знаменателе правой части этого равенства стоит квадрат расстояния от точки $z\left(t_1\right)=\left(x_1,x_2\right)\in L\left(x^{\left(0\right)}\right)$ до точки $\gamma \left(t_1\right)$ — одной из двух проекций $z\left(t_1\right)=\left(x_1,x_2\right)$ на множество M, т. е. ${\rho }^2\left(x^{\ast },\gamma \left(t_1\right)\right)$ — это квадрат радиуса опорного шара (здесь опорного круга) ${\overline{E}}_r\left(z\left(t_1\right)\right)$ к M в точке $\gamma \left(t_1\right).$ Примем обозначение $r=r\left(z\left(t_1\right)\right),$ подчеркивая тем самым зависимость радиуса опорного шара от выбора точки на биссектрисе. Тогда

$r^2\left(z\left(t_1\right)\right)=\frac{{\rho }^2\left(x^{\ast },\gamma \left(t_1\right)\right)}{t{g}^2\frac{\alpha \left(z\left(t_1\right)\right)}{2}}.$

Воспользуемся представлением (2.6) для числителя и формулой (2.8) для знаменателя этой дроби, сократим на общие отличные от нуля сомножители:

$r^2\left(z\left(t_1\right)\right)=\frac{{||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2\stackrel{2}{{\displaystyle det}}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)\right){〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}^2}{\stackrel{2}{{\displaystyle det}}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right)\right)\stackrel{2}{{\displaystyle det}}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)\right)}$

$=\frac{{||{\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right)||}^2{〈{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right),\gamma \left(t_2\right(t_1\left)\right)-\gamma \left(t_1\right)〉}^2}{\stackrel{2}{{\displaystyle det}}\left({\gamma }^{\text{'}}\left(t_1\right),{\gamma }^{\text{'}}\left(t_2\right(t_1\left)\right)\right)}.$

После извлечения квадратного корня получим (3.1). 

4. Пример вычисления меры невыпуклости, радиуса опорного шара и радиуса чебышевского слоя для невыпуклого множества с разрывной кривизной границы

Пример 4.1. В качестве множества M рассмотрим подграфик гладкой склейки двух скалярных функций

$f\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}{t}^2,t<\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}t⩾0.\end{array}\right.$