Mathematical modeling of physical processes in composition media

Full Text

Введение

На практике достаточно часто используются слоистые композиционные материалы (композиты), представляющие собой набор слоев из однонаправленных композитов. Каждый слой содержит длинные волокна (армирующие элементы), расположенные параллельно друг другу, и является однонаправленным волокнистым композитом. Математическое описание однонаправленных волокнистых композитов представлено в монографии [1, с. 320] с помощью формализмов периодической среды, использующих в некотором смысле предельный специальный оператор. В данном исследовании представлен анализ напряженно-деформированного состояния материала с обладающими различными свойствами слоями. Рассматривается иной подход, не связанный с периодичностью композиционной среды, при этом определены условия, описывающие законы перемещения элементов композиционной среды. Вводимая слоистая область определяет модель слоистой упругой композиционной среды в пространстве ${ℝ}^3\mathrm{.}$

Работа состоит из трех частей. Первая часть посвящена математическому описанию структуры композиционной среды, в ней представлены основные понятия и даны определения пространств функций с носителем в слоистой области. Вторая часть содержит подход к построению вспомогательных пространств для математического описания краевых задач процессов переноса и волнового процесса, при этом получены достаточные условия разрешимости этих задач. Третья часть содержит описание упругих свойств композиционной среды, формируется задача о напряженно-деформированном состоянии композиционной среды, для этой задачи строится пространство допустимых решений, удовлетворяющих соотношениям, описывающим законы перемещения точек в местах примыкания слоев, устанавливаются условия слабой разрешимости указанной задачи.

1. Основные понятия и определения

1.1. Описание структуры композиционной среды

Сложносочлененные структуры областей (например, сетеподобные области [2]) достаточно удобны для математического описания носителей различного типа сетевых процессов [3]. Слоистая область $\Im \subset {ℝ}^3$ ($\partial \Im$ — граница $\Im$), являясь частным случаем сетеподобной области, имеет аналогичное описание и состоит из двух совокупностей: совокупность подобластей ${\Im }_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N}$ — слоев области $$ ($\partial {\Im }_j$ — граница ${\Im }_j$) и совокупность поверхностей $S_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{1,}N}.$ Последние являются общими границами попарных подобластей — слоев ${\Im }_j\mathrm{.}$ Поверхности $S_j$ называют поверхностями примыкания слоев ${\Im }_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N}.$ Таким образом, слоистая область $\Im$ и ее граница $\partial \Im$ определяются соотношениями

$\Im =\left(\underset{j=0}{\overset{N}{\cup }}{\Im }_j\right)\cup \left(\underset{j=1}{\overset{N}{\cup }}{S}_j\right),\partial \Im =(\underset{j=0}{\overset{N}{\cup }}\partial {\Im }_j)\backslash \left(\underset{j=1}{\overset{N}{\cup }}{S}_j\right).$

Рассмотрения в статье проводятся в предположениях липшицевости подобластей ${\Im }_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ и гладкости поверхностей $S_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{1,}N}.$ Также предполагается, что ${\Im }_j$ — звездная относительно шара из ${\Im }_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N}.$ Допустимо различие характеристик и свойств изучаемых тепловых или волновых процессов на ${\Im }_j\mathrm{,}$ описание физических явлений изучаемого процесса на $S_j$ подчинено определенным соотношениям, представленным ниже.

1.2. Пространства функций с носителем в слоистой области

Используются классические пространства действительных измеримых по Лебегу функций $u\left(x\right), x=(x_1,x_2,x_3)\in \Omega , \Omega \subset {ℝ}^3$:  

$L_2\left(\Omega \right)$ — пространство функций $u\left(x\right),$ суммируемые с квадратом в $\Omega \mathrm{,}$ скалярное произведение и норма определены соотношениями

${(u,v)}_{\Omega }=\underset{\Omega }{\int }u\left(x\right)v\left(x\right)dx,\parallel u{\parallel }_{\Omega }=\sqrt{{(u,u)}_{\Omega }};$   (1.1)

$W_2^1\left(\Omega \right)$ — пространство функций $u\left(x\right)\in L_2\left(\Omega \right)$ с обобщенными производными $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}\in L_2\left(\Omega \right),$ $\iota =\mathrm{1,2,3,}$ скалярное произведение и норма определены соотношениями

${(u,v)}_{\Omega }^1=\underset{\Omega }{\int }\left(u\right(x\left)v\right(x)+\sum _{\iota =1}^3\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}\frac{\partial v\left(x\right)}{\partial x_{\iota }})dx,\parallel u{\parallel }_{\Omega }^1=\sqrt{{(u,u)}_{\Omega }^1};$   (1.2)

$W_{\mathrm{2,0}}^1\left(\Omega \right)\subset W_2^1\left(\Omega \right)$ — ядро $W_2^1\left(\Omega \right):W_{\mathrm{2,0}}^1\left(\Omega \right)=\{u:u\in W_2^1(\Omega ),u{|}_{x\in \partial \Omega }=0\}.$

Для слоистой области $\Im :$ $\underset{\Im }{\int }u\left(x\right)dx=\sum _{j=0}^N\underset{{\Im }_j}{\int }u\left(x\right)dx,$ пространства $L_2\left(\Im \right)$ и $W_2^1\left(\Im \right)$ аналогичны указанным выше, скалярные произведения и нормы определяются формулами

${(u,v)}_{\Im }=\sum _{j=1}^N\underset{{\Im }_j}{\int }u\left(x\right)v\left(x\right)dx,\parallel u{\parallel }_{\Im }=\sqrt{{(u,u)}_{\Im }},$   (1.3)

${(u,v)}_{\Im }^1=\sum _{j=0}^N\underset{{\Im }_j}{\int }\left(u\right(x\left)v\right(x)+\sum _{\iota =1}^3\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}\frac{\partial v\left(x\right)}{\partial x_{\iota }})dx,$   (1.4)

$\parallel u{\parallel }_{\Im }^1={\left(\sum _{j=0}^N{\int }_{{\Im }_j}\right(u^2\left(x\right)+\sum _{\iota =1}^3{\left(\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}\right)}^2\left)dx\right)}^{1/2}=\sqrt{{(u,u)}_{\Im }^1},$   (1.5)

вытекающими из соотношений (1.1) и (1.2): (1.3) для $L_2\left(\Im \right)$ и (1.4), (1.5) для $W_2^1\left(\Im \right),$ $W_{\mathrm{2,0}}^1\left(\Im \right).$

2. Процессы переноса и волновые процессы в композиционной среде

В соответствии с подходом анализа начально-краевых задач, описывающих математические модели физических процессов в композиционных средах [3], определим пространство допустимых решений таких задач со свойствами, характеризующими закономерности физических явлений на поверхностях $S_j\mathrm{,} j=\overline{\mathrm{1,}N},$  примыкания слоев ${\Im }_j\mathrm{,} j=\overline{\mathrm{0,}N}.$  При описании таких пространств используются два подхода: классическое описание физической сути процесса, в основе которого лежат априорные соображения [4], и математическое описание при использовании обобщенной постановки краевой задачи — слабая постановка задачи [3].

Приведем первый подход, основанный на классическом описании физической сути тепловых и волновых явлений на границах компонентов (фаз) композиционной среды. Представим условия продолжения функций $u\left(x\right)$ с области $\Im$ на $\overline{\Im }=\underset{j=0}{\overset{N}{\cup }}{\overline{\Im }}_j.$ Пусть $C\left(\overline{\Omega }\right)$ — множество непрерывных функций в $\overline{\Omega }\mathrm{.}$Для функции $u\left(x\right)\in C\left(\overline{\Omega }\right)$ существуют $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }},$ $\iota =\mathrm{1,2,3,}$ в $\overline{\Omega }$ как продолжение по непрерывности с $\Omega$ на $\overline{\Omega }\mathrm{.}$ Отсюда следует, что введено множество $C^1\left(\overline{\Omega }\right)$ с элементами $u\left(x\right),$ для которых определены непрерывные $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }},$ $\iota =\mathrm{1,2,3,}$ в $\overline{\Omega }\mathrm{,}$ при этом соотношениями (1.1) и (1.2) определяются скалярное произведение и норма, соответственно. Таким образом, можно считать, что на $\overline{\Im }$ имеют место множества: $C\left(\overline{\Im }\right)$ — множество непрерывных функций $u\left(x\right)$ со скалярным произведением и нормой (1.3), $C^1\left({\overline{\Im }}_j\right)$ $j=\overline{\mathrm{0,}N}$  — совокупность $N+1$ множеств функций $u\left(x\right)\in C\left(\overline{\Im }\right),$ для которых существуют $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }},$ $\iota =\mathrm{1,2,3,}$ в ${\overline{\Im }}_j$ при любом $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ $C^1\left(\overline{\Im }\right)$ — множество функций $u\left(x\right)\in C^1\left({\overline{\Im }}_j\right)$ $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ допускающих скачок производных $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }},$ $\iota =\mathrm{1,2,3,}$ на поверхностях $S_j$ примыкания слоев и для которых соотношения (1.4) и (1.5) определяют скалярное произведение и норму.

Рассмотрим дифференциальное выражение

$\mathcal{A}u:=-\sum _{\kappa ,\iota =1}^3\frac{\partial }{\partial x_{\kappa }}\left(a_{\kappa \iota }\right(x\left)\frac{\partial u}{\partial x_{\iota }}\right),$

которое определяет эллиптическую часть краевых задач математических моделей тепловых и волновых процессов; $a_{\kappa \iota }\left(x\right)$ — принадлежащие $L_2\left(\Im \right)$ ограниченные функции (подробные описания приведены ниже в соотношении (2.3)). Пусть ${\tilde{C}}^1\left(\overline{\Im }\right)$ — множество функций $u\left(x\right)\in C^1\left(\overline{\Im }\right),$ для которых на $S_j\mathrm{,}$$j=\overline{\mathrm{1,}N},$ выполнены соотношения

$u\left(x\right){|}_{S_j^{+}}=u\left(x\right){|}_{S_j^{-}},{\int }_{S_j^{+}}\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\Lambda }}dS+\underset{S_j^{-}}{\int }\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\Lambda }}dS=\mathrm{0,}$   (2.1)

здесь $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\Lambda }}=\sum _{\kappa ,\iota =1}^3{a}_{\kappa \iota }\left(x\right)\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}\cos (\overline{n},x_{\kappa }),$ $S_j^{+},S_j^{-}$ — односторонние поверхности для $S_j\mathrm{,}$ $\cos (\overline{n},x_{\kappa })$ — -й направляющий косинус внешней нормали к $S_j^{+}$ и $S_j^{-}\mathrm{.}$ Отметим, что условия (2.1) по сути своей являются условиями примыкания смежных слоев композиционной среды, разделенных поверхностью $S_j$: если осуществляется тепловой поток в композиционной среде, то первое соотношение определяет равенство температур на $S_j^{+}$и $S_j^{-}\mathrm{,}$ второе — баланс тепловых потоков через $S_j\mathrm{.}$

Замечание 2.1. Условия (2.1) могут принимать иной вид в соответствии с изменениями закономерностей явлений на поверхностях $S_j\mathrm{,}$ а именно,

 $u\left(x\right){|}_{S_j^{+}}=u\left(x\right){|}_{S_j^{-}},\underset{S_j^{+}}{\int }\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\Lambda }}dS+\underset{S_j^{-}}{\int }\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\Lambda }}dS+\underset{S_j^{-}}{\int }g\left(x\right)dS=\mathrm{0,}j=\overline{\mathrm{1,}N}.$

Слагаемое $\underset{S_j^{-}}{\int }g\left(x\right)dS$ означает влияние сил внешнего воздействия со стороны поверхности $S_j^{-}\mathrm{,}$ $g\left(x\right)$ — плотность распределения этих сил (влияние сил внешнего воздействия возможно и со стороны $S_j^{+}$).

Определение 2.1. Пространство ${\tilde{W}}^1\left(\Im \right)$ — замыкание ${\tilde{C}}^1\left(\overline{\Im }\right)$ в $W_2^1\left(\Im \right).$ 

Из определения 2.1 для $u\left(x\right)\in {\tilde{W}}^1\left(\Im \right)$ следует, что $u{\left(x\right)}_{{\Im }_j}\in W^1\left({\Im }_j\right),$ $j=\overline{\mathrm{0,}N}$ (здесь $u{\left(x\right)}_{{\Im }_j}$ — сужение функции $u\left(x\right)$ на ${\Im }_j$). При этом из существования обобщенных производных $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }},$ $\iota =\mathrm{1,2,3,}$ в $\Im$ следует существование $\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}$ в ${\Im }_j\mathrm{,}$ а значит, $u\left(x\right)\in {\tilde{W}}^1\left(\Im \right)$ и имеет место (2.1).

Пусть ${\tilde{C}}_0^1\left(\overline{\Im }\right)$ — подмножество множества ${\tilde{C}}^1\left(\overline{\Im }\right),$ для элементов $u\left(x\right)$ которого имеет место равенство $u\left(x\right){|}_{\partial \Im }=0.$

 Определение 2.2. Пространство ${\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right)$ — замыкание ${\tilde{C}}_0^1\left(\overline{\Im }\right)$ в $W_2^1\left(\Im \right),$ ${\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right)$ является подпространством пространства ${\tilde{W}}^1\left(\Im \right).$ 

 Замечание 2.2. Пространства ${\tilde{W}}^1\left(\Im \right),$ ${\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right)$ определяют допустимые состояния краевой задачи для оператора $\mathcal{A}:$ для краевой задачи Дирихле используется ${\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right),$ для задачи с общими краевыми условиями —  ${\tilde{W}}^1\left(\Im \right).$

Другой подход формирования аналогичных пространств ${\tilde{W}}^1\left(\Im \right), {\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right)$  основан на использовании класса функций $W_2^1\left(\Im \right)$ при описании тепловых и волновых явлений в местах примыкания слоев — соответствующие краевые задачи определяются в слабой постановке [3].

Определим для $u\left(x\right),\eta \left(x\right)\in W_2^1\left(\Im \right)\times W_2^1\left(\Im \right)$ билинейную непрерывную, симметричную форму

$\rho (u,\eta )=\underset{\Im }{\int }\sum _{\kappa ,\iota =1}^3{a}_{\kappa \iota }\left(x\right)\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_{\iota }}\frac{\partial \eta \left(x\right)}{\partial x_{\kappa }}dx,$   (2.2)

порожденную дифференциальным выражением $\mathcal{A}u\mathrm{.}$ При этом для (2.2) считаем выполненными условия

$\begin{array}{l}{a}_{\kappa \iota }\left(x\right)=a_{\iota \kappa }\left(x\right),\\ a_{*}{\xi }^2\le \sum _{\kappa ,\iota =1}^3{a}_{\kappa \iota }\left(x\right){\xi }_{\kappa }{\xi }_{\iota }\le a^{*}{\xi }^2,\\ 0<{\beta }_{*}\le b\left(x\right)\le {\beta }^{*},x\in \Im ,\end{array}$   (2.3)

с положительными постоянными $a_{*},a^{*},\beta$ и $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)\in {ℝ}^3,$ ${\xi }^2=\sum _{\kappa =1}^3{\xi }_{\kappa }^2,$ $a_{\kappa \iota }\left(x\right),b\left(x\right)\in L_2\left(\Im \right);$ соотношения (2.3) имеют место почти всюду на $\Im \mathrm{.}$

Пусть $f\left(x\right)\in L_2\left(\Im \right)$ и L — линейный непрерывный функционал в $W_2^1\left(\Im \right),$ заданный линейной формой

$L\left(\eta \right)=\underset{\Im }{\int }f\left(x\right)\eta \left(x\right)dx,\eta \left(x\right)\in W_2^1\left(\Im \right).$   (2.4)

Имеет место следующее утверждение (лемма Лакса–Мильграма [5] и [1, с. 32]): если $\rho (u,u)\ge a_{*}\parallel u{\parallel }_{W_2^1\left(\Im \right)}^2$ при любом $u\in W_2^1\left(\Im \right),$ то существует единственный элемент $u\in W_2^1\left(\Im \right),$ для которого

$\rho (u,\eta )=L\left(\eta \right)\forall \eta \in W_2^1\left(\Im \right).$   (2.5)

Используя формулу Грина (полное обоснование формулы Грина для слоистой области $\Im$ аналогично приведенному в работе [3]), представим соотношение (2.5) терминами дифференциальных уравнений в слабой постановке. Для этого введем функции ${\eta }_j\left(x\right)\in W_{\mathrm{2,0}}^1\left(\Im \right):$

${\eta }_j\left(x\right)=\eta \left(x\right),x\in {\Im }_j,{\eta }_j\left(x\right)=\mathrm{0,}x\in \Im \backslash {\Im }_j,j=\overline{\mathrm{0,}N}.$

Заменяя $\eta \left(x\right)$ в (2.4), (2.5) на ${\eta }_j\left(x\right)$ и используя формулу Грина на всех подобластях ${\Im }_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ получаем равенства

$\underset{{\Im }_j}{\int }\left(\mathcal{A}u\right)\left(x\right){\eta }_j\left(x\right)dx=-\underset{\partial {\Im }_j}{\int }\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta \left(x\right)dx+\rho (u,{\eta }_j)=\underset{{\Im }_j}{\int }f\left(x\right){\eta }_j\left(x\right)dx,$   (2.6)

где, как и (2.1), при описании условий примыкания 

$\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}=\sum _{\kappa ,\iota =1}^3{a}_{\kappa \iota }\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x_{\iota }}\cos (n_j,x_{\kappa }),$   (2.7)

$\cos (n_j,x_{\kappa })$  — k-й направляющий косинус внешней нормали $n_j$ к сторонам поверхности $S_j$ для каждого фиксированного $j=\overline{\mathrm{1,}N}.$ Отсюда следует, что $u\left(x\right)$удовлетворяет уравнениям

$\mathcal{A}u=f\left(x\right),x\in {\Im }_j,$   (2.8)

в слабой постановке для каждого $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ а значит, $u\left(x\right)$ в силу (2.8) удовлетворяет интегральным тождествам

$\rho (u,{\eta }_j)=\underset{{\Im }_j}{\int }f\left(x\right){\eta }_j\left(x\right)dx\forall {\eta }_j\left(x\right)\in W_{\mathrm{2,0}}^1\left({\Im }_j\right)$

при $j=\overline{\mathrm{0,}N}.$

Пусть функция $\eta \left(x\right)\in W_2^1\left({\Im }_j\right),$ отлична от нуля на поверхностях $S_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{1,}m},$ где $1\le m\le N,$ и равна нулю на всех оставшихся $S_j\mathrm{.}$ Из уравнений (2.8) вытекает

$\sum _{j=1}^m\underset{{\Im }_j}{\int }\mathcal{A}u\left(x\right)\eta \left(x\right)dx=\sum _{j=1}^m\underset{{\Im }_j}{\int }f\left(x\right)\eta \left(x\right)dx.$

Пользуясь формулой Грина в левой части этого равенства (см. соотношения (2.6)), а также учитывая представление (2.5) формы $L\left(\eta \right),$ получаем

$-\sum _{j=1}^m\int S_j^{+}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta \left(x\right)dx-\sum _{j=1}^m\underset{S_j^{-}}{\int }\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta \left(x\right)dx+\rho (u,{\eta }_j)=\underset{\Im }{\int }f\left(x\right)\eta \left(x\right)dx,$

или

$-\sum _{j=1}^m\left(\underset{S_j^{+}}{\int }\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta \right(x)dx+\underset{S_j^{-}}{\int }\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta (x\left)dx\right)+\rho (u,\eta )=\underset{\Im }{\int }f\left(x\right)\eta \left(x\right)dx,$   (2.9)

пояснения для $S_j^{+}\mathrm{,}$ $S_j^{-}$ и $\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}$ установлены соотношениями (2.1) и (2.7), соответственно. Фиксируя в (2.9) поочередно $m=\mathrm{1,}\text{}$ $m=\mathrm{2,}\text{}$ $m=N$  и учитывая (2.4), приходим к соотношениям

$\underset{S_j^{+}}{\int }\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta \left(x\right)dx+\underset{S_j^{-}}{\int }\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial {\nu }_{\mathcal{A}}}\eta \left(x\right)dx=\mathrm{0,}j=\overline{\mathrm{1,}m},1\le m\le N.$   (2.10)

Добавление условий непрерывности функций $u\left(x\right)$ на поверхностях $S_j$

$u\left(x\right){|}_{S_j^{+}}=u\left(x\right){|}_{S_j^{-}},j=\overline{\mathrm{1,}N},$   (2.11)

характерных для границ слоев композиционных сред при анализе процессов переноса и волновых процессов, приводит к условиям (2.1).

Следуя результатам работы [3], для описания тепловых и волновых процессов в композиционной среде вводятся пространства состояний ${\tilde{W}}_0^{\mathrm{1,0}}\left({\Im }_T\right)$ и ${\tilde{W}}_0^1\left({\Im }_T\right),$ ${\Im }_T=\Im \times \left(\mathrm{0,}T\right),$ $T<\infty :$

1) пространство ${\tilde{W}}_0^{\mathrm{1,0}}\left({\Im }_T\right)$ — замыкание в норме

$\parallel u{\parallel }_{{\Im }_T}^{\mathrm{1,0}}={\left(\sum _{k=1}^N\underset{{\Im }_k\times \left(\mathrm{0,}T\right)}{\int }\right(u^2+\sum _{\iota =1}^n{u}_{x_l}^2\left)dxdt\right)}^{1/2},$

функций $u(x,t)\in L_2\left(\Im \right),$ следы которых $u(x,t_0)\in {\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right),$ $t_0\in \left(\mathrm{0,}T\right),$ непрерывно зависят от $t_0$ в норме $W_2^1\left(\Im \right)$;

2) если норму $\parallel u{\parallel }_{{\Im }_T}^{\mathrm{1,0}}$ заменить на

$\parallel u{\parallel }_{{\Im }_T}^1={\left(\sum _{k=1}^N\underset{{\Im }_k\times \left(\mathrm{0,}T\right)}{\int }\right(u^2+y_t^2+\sum _{\iota =1}^n{u}_{x_l}^2\left)dxdt\right)}^{1/2},$

получим пространство ${\tilde{W}}_0^1\left({\Im }_T\right),$ ${\tilde{W}}_0^1\left({\Im }_T\right)\subset {\tilde{W}}_0^{\mathrm{1,0}}\left({\Im }_T\right).$ 

Математическое описание тепловых и волновых процессов в композиционных материалах осуществляется с использованием дифференциальных систем

$\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial }{\partial x_{\kappa }}\left(a_{\kappa \iota }\right(x\left)\frac{\partial u}{\partial x_{\iota }}\right)=f(x,t),u{|}_{t=0}=\vartheta \left(x\right),x\in \Im ,$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-\frac{\partial }{\partial x_{\kappa }}\left(a_{\kappa \iota }\right(x\left)\frac{\partial u}{\partial x_{\iota }}\right)=f(x,t),u{|}_{t=0}=\vartheta \left(x\right),\frac{\partial u}{\partial t}{|}_{t=0}={\vartheta }_1\left(x\right),$

где $f(x,t)\in L_{\mathrm{2,1}}\left({\Im }_T\right)$ ($\parallel u{\parallel }_{L_{\mathrm{2,1}}\left({\Im }_T\right)}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\left(\underset{\Im }{\int }{u}^2\right(x,t\left)dx\right)}^{1/2}dt$), $\vartheta \left(x\right),{\vartheta }_1\left(x\right)\in L_2\left(\Im \right).$ Устанавливается слабая разрешимость в пространствах ${\tilde{W}}_0^{\mathrm{1,0}}\left({\Im }_T\right)$ и ${\tilde{W}}_0^1\left({\Im }_T\right),$ соответственно [3]. При этом используется метод Галеркина со специальным базисом, каковым является множество обобщенных собственных функций оператора $\mathcal{A}$ в пространстве ${\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right).$

3. Основные результаты

3.1. Описание упругих свойств композиционной среды

Далее изучается задача о напряженно-деформированном состоянии композиционных сред. При ее анализе используются полученные выше результаты, при этом учитываются особенности, порождаемые размерностью пространств функций, описывающие количественные характеристики композиционных сред.

Замечание 3.1. В монографии [1, с. 321] рассматривается сплошная композиционная среда с периодической структурой. В данном исследовании представлен анализ напряженно-деформированного состояния среды со слоями, обладающими различными свойствами.

Введем векторную функцию $u=\{u_1,u_2,u_3\}\in {\left(W_2^1\right(\Im \left)\right)}^3$ перемещений точек композиционной среды и через $\sigma :=\left\{{\sigma }_{il}\right\},$ $i,l=\mathrm{1,2,3,}$ обозначим тензорную функцию напряжений [4, с. 103]. Тензорная функция напряжений $\sigma$ и функция перемещения $u$ в композиционной среде связаны между собой законом Гука

${\sigma }_{il}\left(u\right)=\sum _{k,m=1}^3{a}_{ilkm}{\epsilon }_{km}\left(u\right),$   (3.1)

здесь ${\epsilon }_{km}\left(u\right),$ $k,m=\mathrm{1,2,3,}$ — компоненты тензорной функции деформаций 

${\epsilon }_{km}\left(u\right):=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_k}{\partial x_m}+\frac{\partial u_m}{\partial x_k}),k,m=\mathrm{1,2,3.}$   (3.2)

Везде ниже считаем выполненными следующие условия:

$a_{ilkm}\left(x\right)\in L_{\infty }\left(\Im \right),$   (3.3)

$a_{ilkm}\left(x\right)=a_{likm}\left(x\right)=a_{ilmk}\left(x\right)=a_{mkil}\left(x\right),$   (3.4)

$\sum _{i,l,k,m=1}^3{a}_{ilkm}\left(x\right){\xi }_{il}{\xi }_{km}\ge C_0\sum _{i,j=1}^3{\xi }_{i,l}^2\forall {\xi }_{i,l}={\xi }_{l,i},$   (3.5)

где $C_0$ — положительная постоянная; соотношения (3.4), (3.5) имеют место почти всюду в $\Im \mathrm{.}$

3.2. Задача о напряженно-деформированном состоянии композиционной среды в слабой постановке

Для вектор-функций $u=\{u_1,u_2,u_3\}$ из ${\left(W_2^1\right(\Im \left)\right)}^3$ введем необходимые пространства, аналогичные пространствам ${\tilde{W}}^1\left(\Im \right)$ и ${\tilde{W}}_0^1\left(\Im \right)$ раздела 2. Построение таких пространств для формального описания в слабой постановке дифференциальной системы напряженно-деформированного состояния сплошной среды вместе с необходимыми соотношениями на поверхностях примыкания несколько отличается от приведенного выше, где использовались скалярные функции для описания тепловых и волновых процессов, наблюдаемых в композиционных средах.

Относительно $u=\{u_1,u_2,u_3\}$ и $\upsilon =\{{\upsilon }_1,{\upsilon }_2,{\upsilon }_3\}$ из ${\left(W_2^1\right(\Im \left)\right)}^3$ рассмотрим аналогичную (2.2) билинейную форму

$a(u,\upsilon )=\underset{\Im }{\int }\sum _{i,l,k,m=1}^3{a}_{ilkm}\left(x\right){\epsilon }_{km}\left(u\right){\epsilon }_{il}\left(\upsilon \right)dx.$   (3.6)

Введем вектор-функции

$f\left(x\right):=\left(f_1\right(x),f_2(x),f_3(x\left)\right)\in {\left(L_2\right(\Im \left)\right)}^3,$

$F_j\left(x\right):=\left(F_1^j\right(x),F_2^j(x),F_3^j(x\left)\right)\in {\left(L_2\right(S_j\left)\right)}^3,j=\overline{\mathrm{1,}N}$

и обозначим через $\mathfrak{L}$ линейный функционал в ${\left(W_{\mathrm{2,0}}^1\left(\Im \right)\right)}^3$:

$(\mathfrak{L},\upsilon )=\underset{\Im }{\int }\sum _{i=1}^3{f}_i\left(x\right){\upsilon }_{i}dx+\sum _{j=1}^N\underset{S_j}{\int }\sum _{i=1}^3{F}_i^j\left(x\right){\upsilon }_{i}dx.$  (3.7)

Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии композиционной среды в слабой постановке: необходимо определить функцию $u\left(x\right)$такую, что

$a(u,\upsilon )=(\mathfrak{L},\upsilon )$   (3.8)

для любых функций $\upsilon$ из некоторого подпространства пространства ${\left(W_2^1\right(\Im \left)\right)}^3.$

Подставим представления (3.6), (3.7) для $a(u,\upsilon )$ и $(\mathfrak{L},\upsilon )$ в соотношение (3.8). Рассуждения, аналогичные второй части раздела 2., приводят (см. (2.10), (2.11)) к соотношениям на поверхностях примыкания слоев

$u_{S_J^{+}}=u_{S_J^{-}},\underset{S_J^{+}}{\int }\text{}\sum _{i,l=1}^3{a}_{ilkm}\left(x\right){\epsilon }_{km}\left(u\right)ds+\underset{S_J^{-}}{\int }\text{}\sum _{i,l=1}^3{a}_{ilkm}\left(x\right){\epsilon }_{km}\left(u\right)ds+\underset{S_J^{-}}{\int }\text{}\sum _{i=1}^3{F}_i^{j}ds=\mathrm{0,}j=\overline{\mathrm{1,}N},$

которые определяют элементы подпространства ${\left({\tilde{V}}^1\right(\Im \left)\right)}^3$ пространства ${\left(W_2^1\right(\Im \left)\right)}^3.$ Если при этом к соотношениям на поверхностях примыкания слоев добавить еще условие $.u{|}_{\partial \Im }=\mathrm{0,}$ получим пространство ${\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3\subset {\left({\tilde{V}}^1\right(\Im \left)\right)}^3;$ нормы в пространствах ${\left({\tilde{V}}^1\right(\Im \left)\right)}^3$ и ${\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3$ определены нормой ${\left(W_2^1\right(\Im \left)\right)}^3.$

Ниже рассматривается задача (3.8) в пространстве ${\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3$ (пространство ${\left({\tilde{V}}^1\right(\Im \left)\right)}^3$ используется для анализа задач с более общими краевыми условиями). Задача (3.8) порождает систему линейных непрерывных операторов $N_i\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ которые для $\upsilon =\{{\upsilon }_1,{\upsilon }_2,{\upsilon }_3\}\in {\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3$ определим следующим образом:

$\begin{array}{l}{N}_1\left(\upsilon \right)=\frac{\partial {\upsilon }_1}{\partial x_1},N_2\left(\upsilon \right)=\sqrt{2}(\frac{\partial {\upsilon }_1}{\partial x_2}+\frac{\partial {\upsilon }_2}{\partial x_1}),N_3\left(\upsilon \right)=\sqrt{2}(\frac{\partial {\upsilon }_1}{\partial x_3}+\frac{\partial {\upsilon }_3}{\partial x_1}),\\ N_4\left(\upsilon \right)=\sqrt{2}(\frac{\partial {\upsilon }_2}{\partial x_3}+\frac{\partial {\upsilon }_3}{\partial x_2}),N_5\left(\upsilon \right)=\frac{\partial {\upsilon }_2}{\partial x_2},N_6\left(\upsilon \right)=\frac{\partial {\upsilon }_3}{\partial x_3}.\end{array}$   (3.9)

С точки зрения теории напряженно-деформированных состояний сплошных сред выражения $N_i\upsilon \mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ определяемые соотношениями (3.9), задают с точностью до постоянных коэффициентов компоненты деформации среды (3.2), формируемые вектор-функцией перемещений $\upsilon =\{{\upsilon }_1,{\upsilon }_2,{\upsilon }_3\}.$ Операторы $N_i$ задают матрицу $\left\{N_{ir}\right(x,\xi \left)\right\}$ с элементами $N_{ir}(x,\xi )=\sum _{\left|k\right|=1}{g}_{irk}\left(x\right){\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3,$ $i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ $r=\mathrm{1,2,3,}$ определяемые посредством соотношений

$\begin{array}{l}{N}_1\left(\xi \right)=2{\xi }_1,N_2\left(\xi \right)=\sqrt{2}({\xi }_2+{\xi }_1),N_3\left(\xi \right)=\sqrt{2}({\xi }_3+{\xi }_1),\\ N_4\left(\xi \right)=\sqrt{2}({\xi }_3+{\xi }_2),N_5\left(\xi \right)=2{\xi }_2,N_6\left(\xi \right)=2{\xi }_3,\end{array}$   (3.10)

для любых комплексных чисел $\xi =\{{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_n\}\ne 0.$

Для анализа слабой разрешимости задачи (3.8), следуя идеям работы [1, с. 59], предварительно введем понятие коэрцитивной системы операторов, установим свойства этой системы и приведем утверждения, базирующиеся на оценках норм ее операторов. Используем определения и основные утверждения для «классических» областей $\Omega \subset {ℝ}^n\mathrm{.}$

Пусть $W={\left(W_2^1\right(\Omega \left)\right)}^m,$ $\parallel \upsilon {\parallel }_W^2=\sum _{r=1}^m\parallel {\upsilon }_r{\parallel }_{W_2^1\left(\Omega \right)}^2.$ Рассмотрим систему линейных непрерывных операторов $N_i:W\to L_2\left(\Omega \right),$ $i=\overline{\mathrm{1,}\nu },$ определяемых выражениями

$N_i\upsilon =\sum _{r=1}^m\sum _{\left|k\right|\le 1}{g}_{irk}{D}^k{\upsilon }_r,i=\overline{\mathrm{1,}\nu },D^k{\upsilon }_r=\frac{{\partial }^k{\upsilon }_r}{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}\partial x_3^{k_3}},$

здесь $g_{irk}\in L_{\infty }\left(\Omega \right).$

Определение 3.1. Система операторов $N_i\mathrm{,}$ $i=\overline{\mathrm{1,}\nu },$ называется $W$-коэрцитивной относительно ${\left(L_2\right(\Omega \left)\right)}^m,$ если существует положительная постоянная $C\mathrm{,}$ для которой выполнено неравенство

$\sum _{i=1}^{\nu }\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Omega \right)}^2+\sum _{r=1}^m\parallel {\upsilon }_r{\parallel }_{L_2\left(\Omega \right)}^2\ge C\parallel \upsilon {\parallel }_W^2\forall \upsilon \in W.$

Пусть $W^{\text{'}}$ — замкнутое подпространство $W\mathrm{,} W^{\text{'}}\subseteq W.$ 

 Определение 3.2. Система операторов $N_i\mathrm{,} i=\overline{\mathrm{1,}\nu },$ называется коэрцитивной в $W^{\text{'}}\mathrm{,}$ если существует положительная постоянная C для которой выполнено

неравенство

$\sum _{i=1}^{\nu }\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Omega \right)}^2\ge C\parallel \upsilon {\parallel }_W^2\forall \upsilon \in W^{\text{'}}.$

Определение 3.3. Открытое множество $\Omega \subset {ℝ}^n$ удовлетворяет условию конуса, если $x+U\left(\epsilon \right(x),h)\in \Omega$ для произвольного $x\in \Omega \mathrm{,}$ где $U\left(\epsilon \right(x),h)$ — прямой круговой конус с вершиной в начале координат, фиксированным раствором, высотой $h<\infty$ и вектором направления оси $e\left(x\right).$ 

Для дальнейшего потребуются следующие утверждения.

Теорема 3.1 ([5, 6]). Для ограниченной области $\Omega \subset {ℝ}^n\mathrm{,}$ удовлетворяющей условию конуса, система дифференциальных операторов $N_i\mathrm{,} i=\overline{\mathrm{1,}\nu },$ $W$-коэрцитивна относительно ${\left(L_2\right(\Omega \left)\right)}^n,$ если ранг матрицы с элементами

$N_{ir}(x,\xi )=\sum _{\left|k\right|=1}{g}_{irk}\left(x\right){\xi }_1^{k_1}\cdot \cdot \cdot {\xi }_n^{k_n},i=\overline{\mathrm{1,}\nu },r=\overline{\mathrm{1,}m},$

определенной операторами $N_i\mathrm{,} i=\overline{\mathrm{1,}\nu },$ равен m любого $x\in \Omega$ и для любых комплексных $\xi =\{{\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n\}\ne 0.$

Теорема 3.2 ([1], с. 60, теорема). Пусть система операторов $N_i\mathrm{,} i=\overline{\mathrm{1,}\nu },$ является $W$-коэрцитивной относительно ${\left(L_2\right(\Omega \left)\right)}^3,$ пусть $a(u,\upsilon )$ — билинейная симметричная, непрерывная форма на $W\times W,$ причем $a(\upsilon ,\upsilon )\ge 0$ для произвольных $\upsilon \in W\mathrm{,}$ и пусть из соотношений

 $\omega \in W,\sum _{i=1}^{\nu }\parallel N_i\omega {\parallel }_{L_2\left(\Omega \right)}^2+a(\omega ,\omega )=0$   (3.11)

следует $\omega =0.$ Тогда существует постоянная $c>0$ такая, что 

$\sum _{i=1}^{\nu }\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Omega \right)}^2+a(\upsilon ,\upsilon )\ge c\parallel \upsilon {\parallel }_W^2\forall \upsilon \in W.$

Далее для слоистой области $\Im$ рассмотрим задачу (3.8) в пространстве ${\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3.$ Для удобства представления результатов также используем обозначение $V={\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3.$

Замечание 3.2. Так как области ${\Im }_j\mathrm{,} j=\overline{\mathrm{0,}N},$  липшицевы, то они удовлетворяют условию конуса, следовательно, $\Im$ также удовлетворяет условию конуса.

Следствие 3.1. Из теоремы 3.1 при $n=m=\mathrm{3,}$ $\nu =\mathrm{6,}$ непосредственно вытекает V-коэрцитивность относительно ${\left(L_2\right(\Im \left)\right)}^3$ операторов $N_i\mathrm{,} i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ представленных соотношениями (3.9) и матрицей $\left\{N_{ir}\right(x,\xi \left)\right\},$ определенных посредством соотношений (3.10).

Используя неравенства (3.3)–(3.5), нетрудно получить неравенства, связывающие нормы $\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}$ и $\parallel \upsilon {\parallel }_V$ для операторов $N_i\mathrm{,} i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ как следствие из теоремы 3.2, а именно, справедлива

Теорема 3.3. Пусть $a(u,\upsilon )$ — билинейная симметричная, непрерывная форма на $V\times V\mathrm{,}$ причем $a(\upsilon ,\upsilon )\ge 0$ для произвольных $\upsilon \in V$ и пусть из аналогичных (3.11) соотношений

$\omega \in V,\sum _{i=1}^6\parallel N_i\omega {\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2+a(\omega ,\omega )=0$

следует $\omega =0.$ Тогда существует постоянная $C>0$ такая, что

$\sum _{i=1}^6\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2+a(\upsilon ,\upsilon )\ge C\parallel \upsilon {\parallel }_V^2\forall \upsilon \in V.$   (3.12)

Следствие 3.2. Обозначим через $V^{\text{'}}=\{u:u\in V,a(u,u)=0\}$ замкнутое подпространство пространства V. Тогда в силу (3.12) приходим к неравенству $\sum _{i=1}^6\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2\ge C\parallel \upsilon {\parallel }_V^2$ при любых $\upsilon \in V^{\text{'}}\mathrm{,}$ т. е. система операторов $N_i\mathrm{,} i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ является коэрцитивной в $V^{\text{'}}\mathrm{.}$ 

 Следствие 3.3. Пусть $V^{\text{'}}$ — замкнутое подпространство в V такое, что из условия $\sum _{i=1}^6\parallel N_i\omega {\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2=0$ $\forall \omega \in V^{\text{'}}$ следует $\omega =0.$ Тогда существует постоянная $C_0>\mathrm{0,}$ при которой

$\sum _{i=1}^6\parallel N_i\upsilon {\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2\ge C_0\parallel \upsilon {\parallel }_V^2\forall \upsilon \in V,$   (3.13)

т. е. система операторов $N_i\mathrm{,} i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ является коэрцитивной в $V^{\text{'}}\mathrm{.}$

Действительно, из $V^{\text{'}}\subset V$ вытекает $V^{\text{'}}$-коэрцитивность относительно ${\left(L_2\right(\Im \left)\right)}^3$ системы $N_i$ ($i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6}$). В качестве билинейной симметричной непрерывной формы $a(u,\upsilon )$ на $V\times V$ возьмем нулевую форму ((см. следствие 3.2). Используя утверждение теоремы 3.2 для $V=V^{\text{'}},$ получим неравенство (3.13).

Учитывая представления (3.9) операторов $N_i\mathrm{,} i=\mathrm{1,2,}\dots \mathrm{,6,}$ утверждения теоремы 3.1 и следствие 3.1, в силу определения 2.1 получим

$\underset{\Im }{\int }\sum _{i,l=1}^3{(\frac{\partial u_i}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_i})}^{2}dx+\sum _{i=1}^3\parallel u_i{\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2\ge C\parallel u{\parallel }_V^2\forall u\in V,$   (3.14)

здесь $\parallel u{\parallel }_V^2=\sum _{i=1}^3\parallel u_i{\parallel }_{W_2^1\left(\Im \right)}^2,$ C — положительная постоянная.

Для слоистых композиционных областей $\Im$ неравенство (3.14) является аналогом известного неравенства Корна [1, с. 62] (см. также, [4, с. 110]), где при анализе напряженно-деформированных состояний композитов используются «классические» области $\Omega \mathrm{.}$

Пусть функции $F_j\left(x\right):=\left(F_1^j\right(x),F_2^j(x),F_3^j(x\left)\right),$ $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ описывающие внешние воздействия на композиционную среду в поверхностях примыкания, равны нулю. Определим подпространство $Q\subset V$ соотношением

$Q=\{u\in V:\frac{\partial u_i}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_i}=\mathrm{0,}i,l=\mathrm{1,2,3}\}.$   (3.15)

Элементами этого пространства являются функции, с физической точки зрения определяющие так называемые жесткие смещения среды в малом (см. соотношения (3.1), (3.2)). Элементы $u=(u_1,u_2,u_2)\in Q,$ как следует из (3.15), на каждой подобласти ${\Im }_j\mathrm{,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ имеют вид (см. [5])

$u_1^j=a_1^j-b_3^j{x}_2+b_2^j{x}_3,u_2^j=a_2^j-b_1^j{x}_3+b_3^j{x}_1,u_3^j=a_3^j-b_2^j{x}_1+b_1^j{x}_3,$   (3.16)

открытое подмножество $\partial \Im \mathrm{,}$ определим билинейную симметричную форму на $V\times V\mathrm{.}$ В силу неравенств (3.3)–(3.5) имеем $\parallel a(u,\upsilon )\parallel \le C\parallel u{\parallel }_V\parallel \upsilon {\parallel }_V,$ а значит, форма $a(u,\upsilon )$ непрерывна на $V\times V\mathrm{.}$

Пусть $u=(u_1,u_2,u_3)\in Q$ и

$\underset{\Upsilon }{\int }(u_1{\left(x\right)}^2+u_2{\left(x\right)}^2+u_3{\left(x\right)}^2)ds=0.$  (3.17)

Исходя из соотношений (3.16), функция $u\left(x\right)$ на каждой подобласти ${\Im }_j\mathrm{,} j=\overline{\mathrm{0,}N},$ имеет представление

$u^j\left(x\right)=a^j+A_{j}x(j=\overline{\mathrm{0,}N}),$   (3.18)

где $x=(x_1,x_2,x_3),$ $u^j\left(x\right)=col\left(u_1^j\right(x),u_2^j(x),u_3^j(x\left)\right),$ $a^j=col(a_1^j,a_2^j,a_3^j),$ элементы матриц $A_j$ в (3.18) определяются постоянными $b_i^j\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,2,3,}$ $j=\overline{\mathrm{0,}N},$ из соотношений (3.16). Нетрудно убедиться, что в силу (3.15) и выполнения условий примыкания, выполнено $a^j=a=(a_1,a_2,a_3)$ и $u^j\left(x\right)=u\left(x\right)=a,$ $j=\overline{\mathrm{0,}N}.$ А значит, учитывая соотношения ${\epsilon }_{il}\left(u\right)=\frac{\partial u_i}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_i}=\mathrm{0,}$ $i,l=\mathrm{1,2,3,}$ и (3.17), приходим к соотношению $a=\mathrm{0,}$ т. е. $u\left(x\right)=0.$ Таким образом, показано, что при $u\in Q$ из соотношения (3.17) (напомним, что $.u{|}_{\Upsilon \subset \partial \Im }=0$ и $Q\subset V={\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3$) следует $u\left(x\right)=0.$ Поэтому из неравенства (3.14) согласно теореме 3.2 вытекает неравенство

$\underset{\Im }{\int }\sum _{i,l=1}^3{(\frac{\partial u_i}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_i})}^{2}dx+\underset{\Upsilon }{\int }(u_1{\left(x\right)}^2+u_2{\left(x\right)}^2+u_3{\left(x\right)}^2)ds\ge C\parallel u{\parallel }_V^2\forall u\in V,$   (3.19)

где $C=const>0.$

В соответствии со сказанным, введем пространство

$V^{\text{'}}=\{u:\underset{\Upsilon }{\int }(u_1{\left(x\right)}^2+u_2{\left(x\right)}^2+u_3{\left(x\right)}^2)ds=0\},$

которое замкнуто в V так как отображение $u\mapsto \underset{\Upsilon }{\int }(u_1{\left(x\right)}^2+u_2{\left(x\right)}^2+u_3{\left(x\right)}^2)ds$ является непрерывным из V в $\left\{0\right\}\subset {ℝ}^1.$ Тогда из неравенства (3.19) и представления пространства V вытекает неравенство

$\underset{\Im }{\int }\sum _{i,l=1}^3{(\frac{\partial u_i}{\partial x_l}+\frac{\partial u_l}{\partial x_i})}^{2}dx\ge C\parallel u{\parallel }_V^2\forall u\in V.$

3.3. Достаточные условия слабой разрешимости задачи (3.8)

Сохраняя обозначения пунктов 3.1 и 3.2, рассмотрим в ${\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3$ задачу (3.8) о напряженно-деформированном состоянии композиционной среды в слабой постановке.

Теорема 3.4. Пусть для коэффициентов $a_{ijkm}\left(x\right)$ функций ${\sigma }_{ij}\left(u\right)\left(x\right)$ выполнены условия (3.3)–(3.5), билинейная $a(u,\upsilon )$ и линейная $\mathfrak{L}$ формы заданы соотношениями (3.6) и (3.7), соответственно. Тогда существует единственное слабое решение u задачи (3.8), и для него справедлива оценка

$\parallel u{\parallel }_V^2\le c,c>0-const.$   (3.20)

Доказательство. Из представления (3.6) билинейной формы $a(u,\upsilon ),$ учитывая соотношение (3.5), получаем

$a(u,u)=\underset{\Im }{\int }\sum _{i,j,k,m=1}^3{a}_{ijkm}\left(x\right){\epsilon }_{km}\left(u\right){\epsilon }_{ij}\left(u\right)dx\ge c_0\parallel u{\parallel }_H^2,c_0>0-const,$

для произвольного элемента $u\in {\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3,$ где через $\parallel u{\parallel }_H^2$ обозначено

$\parallel u{\parallel }_H^2=\underset{\Im }{\int }\sum _{i,j=1}^3{\epsilon }_{ij}^2\left(u\right)dx.$   (3.21)

Исходя из неравенства (3.14) и в силу следствия 3.2 теоремы 3.2, можно показать, что выражение (3.21) задает норму $\parallel \cdot {\parallel }_H$ в пространстве $V={\left({\tilde{V}}_0^1\right(\Im \left)\right)}^3,$эквивалентную введенной в пункте 3.2 Это вытекает из неравенства

$\underset{\Im }{\int }\sum _{i,j=1}^3{\left({\epsilon }_{i,j}\right(u\left)\right)}^{2}dx+\sum _{i=1}^3\parallel u_i{\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2\le \alpha \parallel u{\parallel }_V$

(здесь используется очевидное соотношение ) ${(\theta +\vartheta )}^2\le 2({\theta }^2+{\vartheta }^2)$ и, учитывая неравенство (3.14),

$\underset{\Im }{\int }\sum _{i,j=1}^3{\left({\epsilon }_{i,j}\right(u\left)\right)}^{2}dx+\sum _{i=1}^3\parallel u_i{\parallel }_{L_2\left(\Im \right)}^2\ge \beta \parallel u{\parallel }_V^2\forall u\in V,$

с положительными постоянными $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{.}$ Доказательство завершает использование теоремы Лакса–Мильграма [7]: из существования на $V\times V$ билинейной формы $a(u,\upsilon )$ со свойствами непрерывности и коэрцитивности вытекает существование единственного слабого решения задачи (3.8) и справедливость оценки (3.20).

Заключение

Представлены описание структуры композиционной среды, основные свойства и описание пространств функций с носителем в слоистой области для математического описания и анализа краевых задач процессов переноса и волнового процесса. Работа содержит описание упругих свойств композиционной среды, формируется задача о напряженно-деформированном состоянии среды, для которой строится пространство допустимых решений, удовлетворяющих соотношениям, описывающим законы перемещения точек в местах примыкания слоев, и устанавливаются условия слабой разрешимости этой задачи. Результаты пункта 3.1 можно эффективно использовать при решении задач оптимального управления, представленных в работах [8–10]. Результаты пунктов 3.2 и 3.3 распространяются на более общие чем (3.2) представления компонентов тензорной функции деформаций, являющиеся основополагающими в анализе различного типа задач оптимизации деформируемых композиционных материалов.

About the authors

Vyacheslav V. Provotorov

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: wwprov@mail.ru

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Partial Differential Equations and Probability Theory Department

Russian Federation, 1 Universitetskaya Sq., Voronezh 394018

Sergey M. Sergeev

Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University

Email: sergeev2@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-0195-4589

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Institute of Industrial Management, Economics and Trade

Russian Federation, 29 Polytechnicheskaya St., St.Petersburg 195251

References

Supplementary files