On an approximate solution to an ill-posed mixed boundary value problem for the Laplace equation in a cylindrical domain with homogeneous conditions of the second kind on the lateral surface of the cylinder

Full Text

Введение

Задача Коши для уравнения Лапласа — классический пример некорректно поставленной задачи. К этой задаче приводят разнообразные математические модели, используемые в приложениях, и интерес к построению ее устойчивых решений не ослабевает даже для задач Коши для областей с простыми границами [1, 2].

В работе [3] М. М. Лаврентьевым для задачи Коши для уравнения Лапласа в трехмерной области рассматривается обобщение «гасящей» функции Карлемана [4], которое, с одной стороны, дает интегральное представление (приближенного) решения задачи Коши для уравнения Лапласа, аналогично функции Грина для корректно поставленных краевых задач, с другой — выполняет регуляризирующие функции.

В работе [5] предложен метод построения решения смешанной краевой задачи в цилиндрической области прямоугольного сечения с данными Коши на поверхности общего вида. При этом на боковых гранях цилиндра заданы однородные условия первого рода. Решение поставленной задачи, в том числе точное, построено в виде ряда Фурье по собственным функциям первой краевой задачи в прямоугольнике. С использованием формул Грина задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, устойчивое приближенное решение которого строится на основе метода регуляризации Тихонова [6]. Как следствие, из этого приближенного решения в явном виде выделена функция Карлемана–Лаврентьева и доказано, что она является таковой и по определению [3].

Предложенный в [5] метод в настоящей работе с соответствующими модификациями применен к некорректно поставленной смешанной задаче с условиями второго рода.

1. Постановка задачи

В цилиндре прямоугольного сечения

$D^{\infty }=\left\{\right(x,y,z):0<x<l_x,0<y<l_y,-\infty <z<\infty \}$

рассмотрим область $D(F,H),$ т. е. часть цилиндра, ограниченную с одной стороны плоскостью $z=H,$ с другой — поверхностью

$S=\left\{\right(x,y,z):0<x<l_x,0<y<l_y,z=F(x,y)<H\},F\in C^2.$

В области $D(F,H)$ рассмотрим следующую смешанную краевую задачу

$\begin{array}{ll}\Delta u\left(M\right)=\mathrm{0,}M\in D(F,H),& \\ u{|}_S=f,\frac{\partial u}{\partial n}{|}_S=g,& \\ \frac{\partial u}{\partial n}{|}_{x=\mathrm{0,}{l}_x}=\mathrm{0,}\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{y=\mathrm{0,}{l}_y}=0.& \end{array}$(1.1)

Будем считать, что функции f и g непрерывны на S и обеспечивают существование решения $u\in C^2\left(D\right(F,H\left)\right)\cap C^1\left(\overline{D(F,H)}\right)$ задачи (1.1).

Как задача Коши для уравнения Лапласа задача (1.1) имеет единственное решение [7].

Так как граница $z=H$ свободна, смешанная задача (1.1) с условиями Коши некорректно поставлена. Решение задачи неустойчиво по отношению к погрешности в данных f и g. Получим явное выражение для точного решения задачи.

2. Явное представление точного решения задачи

В бесконечном цилиндре $D^{\infty }$ рассмотрим функцию источника задачи Неймана для уравнения Лапласа, то есть — решение задачи

$\begin{array}{ll}\Delta w\left(P\right)=-{\delta }_{MP},P\in D^{\infty },& \\ \frac{\partial w}{\partial n}{|}_{x=\mathrm{0,}{l}_x}=\mathrm{0,}\frac{\partial w}{\partial n}{|}_{y=\mathrm{0,}{l}_y}=\mathrm{0,}& \\ \frac{\partial w}{\partial z}\to \pm \frac{1}{2l_x{l}_y}приz\to \pm \infty ,& \end{array}$ (2.1)

для которой выполнено необходимое условие разрешимости

$\underset{D^{\infty }}{\int }{\delta }_{MP}d{V}_P=2l_x{l}_y\frac{1}{2l_x{l}_y}=1.$

Функция источника $\phi (M,P)$ задачи (2.1) может быть представлена в виде

$\phi (M,P)=\frac{1}{4\pi r_{MP}}+W(M,P),$  (2.2)

где $r_{MP}$ — расстояние между точками M и P, $W(M,P)$ — гармоническая функция по P.

Функция источника может быть получена методом отражений в виде суммы функций точечных источников с периодом $2l_x$ по x и $2l_y$ по y

$\phi (M,P)=\frac{1}{4\pi }\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(\frac{1}{r_{\mathrm{1,}nm}}+\frac{1}{r_{\mathrm{2,}nm}}+\frac{1}{r_{\mathrm{3,}nm}}+\frac{1}{r_{\mathrm{4,}nm}}),$

где

$\begin{array}{lll}{r}_{\mathrm{1,}nm}={[{(x_M-x_P+2l_{x}n)}^2+{(y_M-y_P+2l_{y}m)}^2+{(z_M-z_P)}^2]}^{1/2},& & \\ r_{\mathrm{2,}nm}={[{(x_M+x_P+2l_{x}n)}^2+{(y_M-y_P+2l_{y}m)}^2+{(z_M-z_P)}^2]}^{1/2},& & \\ r_{\mathrm{3,}nm}={[{(x_M-x_P+2l_{x}n)}^2+{(y_M+y_P+2l_{y}m)}^2+{(z_M-z_P)}^2]}^{1/2},& & \\ r_{\mathrm{4,}nm}={[{(x_M+x_P+2l_{x}n)}^2+{(y_M+y_P+2l_{y}m)}^2+{(z_M-z_P)}^2]}^{1/2},& & \\ & & \end{array}$

 так что $r_{\mathrm{1,00}}=r_{MP}.$

Функция источника может быть также получена в виде ряда Фурье 

$\phi (M,P)=-\frac{1}{2l_x{l}_y}|z_M-z_P|+\frac{2}{l_x{l}_y}\sum _{n,m=\mathrm{0,}{n}^2+m^2\ne 0}^{\infty }{\int }_n{\int }_m\frac{e^{-k_{nm}|z_M-z_P|}}{k_{nm}}$

$\times \cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}\cos \frac{\pi n{x}_P}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_P}{l_y},$ (2.3)

где

$k_{nm}=\pi \sqrt{\frac{n^2}{l_x^2}+\frac{m^2}{l_y^2}},{\int }_n=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{1,}& n>\mathrm{0,}\\ \mathrm{0.5,}& n=0.\end{array}\right.$

Наряду с функцией источника (2.3) будем рассматривать функцию вида 

$\tilde{\phi }(M,P)=\frac{1}{2l_x{l}_y}(z_M-z_P+C)+\phi (M,P),C=const,$

которая при фиксированной точке $M\in D^{\infty }$ по переменной P есть решение задачи 

$\begin{array}{l}\Delta w\left(P\right)=-{\delta }_{MP},P\in D^{\infty },\\ \frac{\partial w}{\partial n}{|}_{x=\mathrm{0,}{l}_x}=\mathrm{0,}\frac{\partial w}{\partial n}{|}_{y=\mathrm{0,}{l}_y}=\mathrm{0,}\\ \frac{\partial w}{\partial z}\to \frac{1}{l_x{l}_y}приz\to +\infty ,\frac{\partial w}{\partial z}\to 0приz\to -\infty .\end{array}$

Заметим, что при условии $z_M<\underset{(x,y)}{min}F(x,y)<z_P$ функция $\tilde{\phi }$ представляется в виде ряда 

$\tilde{\phi }(M,P)=\frac{1}{2l_x{l}_y}C+\frac{2}{l_x{l}_y}\sum _{n,m=\mathrm{0,}{n}^2+m^2\ne 0}^{\infty }{\int }_n{\int }_m\frac{e^{-k_{nm}|z_M-z_P|}}{k_{nm}}$

$\times \cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}\cos \frac{\pi n{x}_P}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_P}{l_y}.$

Пусть $M\in D(F,H).$ Применяя формулы Грина в области $D(F,H)$ к функции $u\left(P\right)$ — решению задачи (1.1) и функциям $\frac{1}{4\pi r_{MP}},$ $\frac{z_M-z_P+C}{4\pi }$ и $W(M,P)$ в (2.2), получим 

$u\left(M\right)=\underset{\partial D(F,H)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P)\frac{1}{4\pi r_{MP}}-u(P\left)\frac{\partial }{\partial n_P}\frac{1}{4\pi r_{MP}}\right]d{\sigma }_P,M\in D(F,H)$   (2.4)

$0=\underset{\partial D(F,H)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P)\frac{z_M-z_P+C}{4\pi }-u(P\left)\frac{\partial }{\partial n_P}\frac{z_M-z_P+C}{4\pi }\right]d{\sigma }_P,M\in D(F,H)$   (2.5)

и

$0=\underset{\partial D(F,H)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P\left)W\right(M,P)-u(P\left)\frac{\partial W}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P,M\in D(F,H).$   (2.6)

Сумма (2.4), (2.5) и (2.6) с учетом (2.2) дает

$u\left(M\right)=\underset{\partial D(F,H)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-u(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P,M\in D(F,H).$   (2.7)

Учитывая однородные граничные условия для $\tilde{\phi }$ и $u$ на боковых гранях цилиндрической области $D(F,H),$ получим

$u\left(M\right)=\underset{S}{\int }\left[g\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-f(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P$

$+\underset{\Pi \left(H\right)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-u(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P,$

где

$\Pi \left(H\right)=\left\{\right(x,y,z):0<x<l_x,0<y<l_y,z=H\}.$   (2.8)

Вводя обозначения

$\Phi \left(M\right)=-\underset{S}{\int }\left[g\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-f(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P,M\in D(-\infty ,H),$   (2.9)

$v\left(M\right)=\underset{\Pi \left(H\right)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-u(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P,M\in D(-\infty ,H),$  (2.10)

 решение задачи (1.1) получим в виде 

$u\left(M\right)=v\left(M\right)-\Phi \left(M\right),M\in D(F,H),$   (2.11)

где функция $\Phi$ вычисляется по известным функциям f и g и может рассматриваться как известная функция.

Гармоническую в области 

$D(-\infty ,H)=\left\{\right(x,y,z):0<x<l_x,0<y<l_y,-\infty <z<H\}$

функцию v вида (2.10), в области $D(F,H)\subset D(-\infty ,H)$ можно представить согласно (2.11), при условии существования решения задачи (1.1), как $v=u+\Phi$ и доопределить ее на границе $\Pi \left(H\right)$ как непрерывную функцию

$v{|}_{z=H}=u{|}_{z=H}+\Phi {|}_{z=H}=v_H.$   (2.12)

Кроме того, так как функция $\tilde{\phi }(M,P)$ и ее производные ограничены при $z_M\to -\infty ,$ функция $v\left(M\right)$ также ограничена $z_M\to -\infty .$ Таким образом, функцию v можно рассматривать как решение задачи 

$\begin{array}{l}\Delta v\left(M\right)=\mathrm{0,}M\in D(-\infty ,H),\\ v{|}_{z=H}=v_H,\frac{\partial v}{\partial n}{|}_{x=\mathrm{0,}{l}_x}=\mathrm{0,}\frac{\partial v}{\partial n}{|}_{y=\mathrm{0,}{l}_y}=\mathrm{0,}\\ vограниченаприz\to -\infty .\end{array}$  (2.13)

Очевидно, задача (2.13) может быть решена методом Фурье, и функция  может быть выражена через $v_H$

$v\left(M\right)=\sum _{n,m=0}^{\infty }{\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}{e}^{k_{nm}(z_M-H)}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y},$   (2.14)

${\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}=\frac{4{\int }_n{\int }_m}{l_x{l}_y}\underset{0}{\overset{l_x}{\int }}\underset{0}{\overset{l_y}{\int }}{v}_H(x,y)\cos \frac{\pi nx}{l_x}\cos \frac{\pi my}{l_y}dxdy.$  (2.15)

Отсюда следует, что если решение задачи (1.1) существует, то функция  может быть представлена в виде ряда Фурье (2.14), причем ряд (2.14) сходится равномерно области $D(-\infty ,H-\epsilon )$ при любом $\epsilon >\mathrm{0,}$ так как 

$\left|{\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}{e}^{k_{nm}(z_M-H)}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}\right|⩽\left|{\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}\right|e^{-\epsilon k_{nm}}.$

Таким образом, из представления (2.11) решения задачи (1.1) и (2.14) следует, что для получения явного выражения для точного решения задачи (1.1) достаточно выразить функцию $v_H$ (2.12) через заданные функции f и g.

Покажем, что функция $v_H$ удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Пусть $M\in D(-\infty ,F),$ где

$D(-\infty ,F)=\left\{\right(x,y,z):0<x<l_x,0<y<l_y,-\infty <z<F(x,y\left)\right\}.$

Применяя формулу Грина в области $D(F,H)$ к функции $u\left(P\right)$ — решению задачи (1.1) и к функции $\tilde{\phi }(M,P)$ вида (2.2), аналогично (2.4), (2.5) и (2.7) получим

$0=\underset{\partial D(F,H)}{\int }\left[\frac{\partial u}{\partial n}\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-u(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P,M\in D(-\infty ,F).$

Отсюда с учетом однородных граничных условий для $\tilde{\phi }$ и $u$ и обозначений (2.9) и (2.10) получим

$v\left(M\right)=\Phi \left(M\right),M\in D(-\infty ,F).$  (2.16)

Пусть $a<\underset{(x,y)}{min}F(x,y)$ и $M\in \Pi \left(a\right),$ где $\Pi \left(a\right)$ — область вида (2.8) при $z=a,$ тогда из (2.16) и (2.14) получим систему уравнений относительно коэффициентов Фурье функции $v_H$

$\sum _{n,m=0}^{\infty }{\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}{e}^{k_{nm}(a-H)}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}=-\Phi \left(M\right).$  (2.17)

Используя (2.15), уравнение (2.17) можно также записать как интегральное уравнение первого рода

$\underset{\Pi \left(H\right)}{\int }G(M,P)v_H\left(P\right)d{x}_{P}d{y}_P=\Phi \left(M\right),M\in \Pi \left(a\right),$  (2.18)

где ядро интегрального оператора имеет вид

$G(M,P)=\frac{4}{l_x{l}_y}\sum _{n,m=0}^{\infty }{\int }_n{\int }_m{e}^{-k_{nm}(H-a)}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}\cos \frac{\pi n{x}_P}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_P}{l_y}.$   (2.19)

Уравнение (2.18) будем также записывать в виде

$G{v}_H=\Phi \left(a\right).$  (2.20)

Из уравнения (2.18) с учетом разложения (2.19) при $z_M=a$ получаем соотношение между коэффициентами Фурье единственного решения $v_H$ и коэффициентами Фурье правой части  

${\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}{e}^{-k_{nm}(H-a)}={\tilde{\Phi }}_{nm}\left(a\right),$  (2.21)

где ${\tilde{\Phi }}_{nm}\left(a\right)$ — коэффициенты Фурье функции $\Phi \left(M\right){|}_{M\in \Pi \left(a\right)}:$

${\tilde{\Phi }}_{nm}\left(a\right)=\frac{4{\int }_n{\int }_m}{l_x{l}_y}\underset{\Pi \left(a\right)}{\int }\Phi (x,y,a)\cos \frac{\pi nx}{l_x}\cos \frac{\pi my}{l_y}dxdy.$

Отметим, что формула (2.21) характеризует убывание коэффициентов Фурье ${\tilde{\Phi }}_{nm}\left(a\right)$ с ростом n и m если функции f и g таковы, что обеспечивают существование решения задачи (1.1) и, следовательно, — функции $v_H$ вида (2.12). Подставляя коэффициенты Фурье ${\left({\tilde{v}}_H\right)}_{nm}$ из (2.21) в ряд (2.14), получим функцию v в области $D(-\infty ,H)$ 

$v\left(M\right)=\sum _{n,m=0}^{\infty }{\tilde{\Phi }}_{nm}\left(a\right)e^{k_{nm}(z_M-a)}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}.$   (2.22)

Ряд (2.22), как и ряд (2.14), сходится равномерно в $D(-\infty ,H-\epsilon )$ при любом $\epsilon >\mathrm{0,}$ если решение задачи (1.1) существует при данных f и g.

Формула (2.11), где функции v и $\Phi$ вида (2.22) и (2.9) соответственно, дает явное выражение для решения задачи (1.1).

3. Устойчивое решение задачи при неточных данных Коши

Пусть функции f и g в задаче (1.1) заданы с погрешностью, т. е. вместо f и g заданы функции $f^{\delta }$ и $g^{\delta }\mathrm{,}$ такие что

$\parallel f^{\delta }-f{\parallel }_{L_2\left(S\right)}⩽\delta ,\parallel g^{\delta }-g{\parallel }_{L_2\left(S\right)}⩽\delta .$

Построим приближенное решение задачи (1.1), сходящееся к точному решению при $\delta \to 0.$ Функция $\Phi$ вида (2.9) в этом случае может быть получена приближенно: 

 ${\Phi }^{\delta }\left(M\right)=-\underset{S}{\int }\left[g^{\delta }\right(P\left)\tilde{\phi }\right(M,P)-f^{\delta }(P\left)\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]d{\sigma }_P.$   (3.1)

Применяя неравенство Коши–Буняковского к разности функций (3.1) и (2.9) при $M\in \Pi \left(a\right),$ $a<\underset{(x,y)}{min}F(x,y),$ получим оценку правой части интегрального уравнения (2.18)

$\left|{\Phi }^{\delta }\right(M)-\Phi (M\left)\right|⩽\underset{M\in \Pi \left(a\right)}{max}{\left(\underset{S}{\int }{\tilde{\phi }}^2\right(M,P\left)d{\sigma }_P\right)}^{1/2}\parallel g^{\delta }-g{\parallel }_{L_2\left(S\right)}$

$+\underset{M\in \Pi \left(a\right)}{max}{\left(\underset{S}{\int }{\left[\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]}^{2}d{\sigma }_P\right)}^{1/2}\parallel f^{\delta }-f{\parallel }_{L_2\left(S\right)}⩽C\delta .$ (3.2)

В качестве приближенного решения уравнения (2.18) будем рассматривать экстремаль функционала Тихонова [6, с. 68] с условным стабилизатором [8, с. 35] нулевого порядка

$M^{\alpha }\left[w\right]=\parallel Gw-{\Phi }^{\delta }\left(a\right){\parallel }_{L_2\left(\Pi \right(a\left)\right)}^2+\alpha \parallel w{\parallel }_{L_2\left(\Pi \right(H\left)\right)}^2,\alpha >\mathrm{0,}$  (3.3)

где $G$ — интегральный оператор в (2.20). Экстремаль может быть получена как решение уравнения Эйлера для функционала (3.3), которое в операторной форме имеет вид 

$G^{*}Gw+\alpha w=G^{*}{\Phi }^{\delta }\left(a\right),$

а в коэффициентах Фурье функции w

$e^{-2k_{nm}(H-a)}{\tilde{w}}_{nm}+\alpha {\tilde{w}}_{nm}=e^{-k_{nm}(H-a)}{\tilde{\Phi }}_{nm}^{\delta }\left(a\right),$

где

${\tilde{\Phi }}_{nm}^{\delta }\left(a\right)=\frac{4{\int }_n{\int }_m}{l_x{l}_y}\underset{\Pi \left(a\right)}{\int }{\Phi }^{\delta }(x,y,a)\cos \frac{\pi nx}{l_x}\cos \frac{\pi my}{l_y}dxdy$   (3.4)

коэффициенты Фурье функции ${\Phi }^{\delta }\left(M\right){|}_{M\in \Pi \left(a\right)}.$ Решая уравнение относительно коэффициентов Фурье экстремали и подставляя экстремаль $w_{\alpha }^{\delta }$ вместо $v_H$ в (2.14), найдем приближение $v_{\alpha }^{\delta }$ к функции v в области $D(-\infty ,H):$

$v_{\alpha }^{\delta }\left(M\right)=\sum _{n,m=0}^{\infty }\frac{{\tilde{\Phi }}_{nm}^{\delta }\left(a\right)e^{k_{nm}(z_M-a)}}{1+\alpha e^{2k_{nm}}(H-a)}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}.$  (3.5)

Отметим, что функция (3.5) отличается от точной функции (2.22) множителем ${(1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)})}^{-1},$ обеспечивающим сходимость ряда.

В соответствии с (2.11) приближенное решение задачи (1.1) получим в виде

$u_{\alpha }^{\delta }\left(M\right)=v_{\alpha }^{\delta }\left(M\right)-{\Phi }^{\delta }\left(M\right),M\in D(F,H),$   (3.6)

где $v_{\alpha }^{\delta }$ и ${\Phi }^{\delta }$ — функции вида (3.5) и (3.1).

Для приближенного решения (3.6) имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть решение задачи (1.1) существует. Тогда для любого $\alpha =\alpha \left(\delta \right)$ такого, что

$\alpha \left(\delta \right)\to 0и\delta /\sqrt{\alpha \left(\delta \right)}\to 0при\delta \to \mathrm{0,}$

функция $u_{\alpha \left(\delta \right)}$ вида (3.6) равномерно сходится при $\delta \to 0$ к точному решению в области $DF+\epsilon \mathrm{,}H-\epsilon$, $0<\epsilon <\mathrm{0,5}(H-\underset{(x,y)}{max}F(x,y\left)\right)$

Доказательство. В области $D(F+\epsilon ,H-\epsilon )$ в соответствии с (3.6) и (2.11) оценим разность

 $|u_{\alpha }^{\delta }-u|⩽|v_{\alpha }^{\delta }-v|+|{\Phi }^{\delta }-\Phi |.$   (3.7)

Для разности $v_{\alpha }^{\delta }-v$ получаем

$|v_{\alpha }^{\delta }-v|⩽|v_{\alpha }^{\delta }-v_{\alpha }|+|v_{\alpha }-v|,$   (3.8)

где $v_{\alpha }$ — функция вида (3.5) при точных f и g

$v_{\alpha }\left(M\right)=-\sum _{n,m=0}^{\infty }\frac{{\tilde{\Phi }}_{nm}\left(a\right)e^{k_{nm}(z_M-a)}}{1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}\cos \frac{\pi n{x}_M}{l_x}\cos \frac{\pi m{y}_M}{l_y}.$

Оценим разность $v_{\alpha }^{\delta }-v_{\alpha }$ в (3.8) при $z_M<H-\epsilon ,$ используя (3.2),

$\left|v_{\alpha }^{\delta }\right(M)-v_{\alpha }(M\left)\right|⩽\left|\sum _{n,m=0}^{\infty }\frac{e^{k_{nm}(z_M-a)}}{1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}\right|\cdot 4\underset{P\in \Pi \left(a\right)}{max}\left|{\Phi }^{\delta }\right(P)-\Phi (P\left)\right|$

$⩽C_1\delta \sum _{n,m=0}^{\infty }\frac{e^{k_{nm}(H-\epsilon -a)}}{1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}⩽C_1\delta \underset{x}{max}\left[\frac{e^x}{1+\alpha e^{2x}}\right]\sum _{n,m=0}^{\infty }{e}^{-k_{nm}\epsilon }⩽C_2\frac{\delta }{\sqrt{\alpha }}.$ (3.9)

Для разности $v_{\alpha }-v$ в (3.8) при $z_M<H-\epsilon$ имеем оценку 

$|v_{\alpha }-v|⩽\sum _{n,m=0}^{\infty }\frac{\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}{e}^{k_{nm}(H-\epsilon -a)}}{1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}\left|{\tilde{\Phi }}_{nm}\right(a\left)\right|.$

Используя (2.21) и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем 

$|v_{\alpha }-v|=\sum _{n,m=0}^{\infty }\frac{\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}{e}^{-k_{nm}\epsilon }}{1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}\left|{\widetilde{(}{v}_H)}_{nm}\right|$

$⩽{\left[\sum _{n,m=0}^{\infty }{\left(\frac{\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}{1+\alpha e^{2k_{nm}(H-a)}}\right)}^2{e}^{-2k_{nm}\epsilon }\right]}^{1/2}\cdot \frac{2}{\sqrt{l_x{l}_y}}\parallel v_H{\parallel }_{L_2}.$

Так как ряд, зависящий от параметра  мажорируется сходящимся числовым рядом $\sum e^{-2\epsilon k_{nm}},$ то возможен предельный переход по $\alpha$ и, таким образом,

$|v_{\alpha }-v|\to 0при\alpha \to 0.$   (3.10)

Из (3.8), (3.9) и (3.10) и условий теоремы следует, что 

$|v_{\alpha \left(\delta \right)}^{\delta }-v|\to 0при\delta \to 0.$  (3.11)

Вторая разность в правой части (3.7) оценивается аналогично (3.2), т. е., применяя к этой разности неравенство Коши–Буняковского при $M\in D(F+\epsilon ,H-\epsilon ),$ получаем

$\left|{\Phi }^{\delta }\right(M)-\Phi (M\left)\right|\le \underset{M\in D(F+\epsilon ,H-\epsilon )}{}{\left(\underset{S}{\int }{\tilde{\phi }}^2\right(M,P\left)d{\sigma }_P\right)}^{1/2}\parallel g^{\delta }-g{\parallel }_{L_2\left(S\right)}$

$+\underset{M\in D(F+\epsilon ,H-\epsilon )}{max}{\left(\underset{S}{\int }{\left[\frac{\partial \tilde{\phi }}{\partial n_P}\right(M,P\left)\right]}^{2}d{\sigma }_P\right)}^{1/2}\parallel f^{\delta }-f{\parallel }_{L_2\left(S\right)}⩽C_3\delta .$

Отсюда, а также из (3.7) и (3.11) следует утверждение теоремы.

4. Заключение

Доказанная в предыдущем разделе теорема является обоснованием для использования формул (3.6), (3.1), (3.5), (3.4) для построения приближенного решения задачи (1.1). Аналогично [5] из приближенного решения может быть выделена функция Карлемана. Другие методы построения функции Карлемана предложены в [9, 10].

Формулы (3.6), (3.1), (3.5), (3.4) могут быть использованы для построения эффективных вычислительных алгоритмов численного решения задачи. При этом при вычислении коэффициентов Фурье по формулам (3.4) может быть использован метод [11], причем при построении приближенного решения используются дискретные ряды Фурье, суммировать которые можно, используя модифицированный метод Хемминга [12].

Построенное решение задачи (1.1) может быть использовано для решения обратной задачи термографии (см. [13]) в приложении к задачам математической обработки термограмм в тепловизионных исследованиях в медицине.

Аналогичный метод может быть применен к задаче продолжения потенциального поля в геофизике (см. [14]).

About the authors

Evgeniy B. Laneev

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Author for correspondence.
Email: elaneev@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4255-9393

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematical Institute named after S. M. Nikolsky

Russian Federation, 6 Miklukho-Maklay St., Moscow 117198

Alexander V. Klimishin

Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)

Email: sa-sha-02@yandex.ru

Post-Graduate Student, Mathematical Institute named after S. M. Nikolsky

Russian Federation, 6 Miklukho-Maklay St., Moscow 117198

References

Supplementary files