A Simplest Differential Game on a Plane with Four Participants

Texto integral

Введение

Процессы преследования являются типичными примерами дифференциальных игр. Различные методы поведения сторон в конфликтных ситуациях со многими участниками и в играх с неполной информацией моделируются прежде всего на примерах простого преследования. Несмотря на внешнюю простоту постановки, многие задачи простого преследования сами по себе являются серьезными математическими проблемами.

Одним из подходов к изучению таких дифференциальных игр является использование кооперативной теории, когда они рассматриваются как кооперативные дифференциальные игры. С учетом того, что движения игроков описываются дифференциальными уравнениями, возникает вопрос об устойчивости (состоятельности во времени) рассматриваемых принципов оптимальности. Отказ от данной концепции содержит в себе возможность отклонения от первоначально выбранного оптимального поведения в состояниях, в которых появляется новое оптимальное решение, не являющееся таковым в первоначальном смысле, что приводит к нарушению устойчивости процесса в целом.

В статье рассматривается простейшая дифференциальная игра с четырьмя участниками. Игроки совершают простое движение¹ [1; 2], т. е. перемещаются на плоскости с ограниченной или постоянной по величине скоростью, при этом направление движения может меняться произвольным образом. Исследуется неантагонистическая кооперативная дифференциальная игра четырех лиц ${\Gamma }_v(z_0,{\rm T}-t_0)$  из начального состояния $z_0$  и продолжительностью T ‒ t₀. Уравнения движения имеют вид:

$\stackrel{\cdot }{z}=u_1+u_2+u_3+u_4$ ,           (1)

$z\left(t_0\right)=z_0$ .                  (2)

В равенстве (1) $z=z\left(x;y\right)\text{, }{u}_i=\left(u_i^{\left(1\right)};u_i^{\left(2\right)}\right),$ $‖u_i‖\le \mathrm{1,}i\in N=\left\{\mathrm{1,2,3,4}\right\}$  .

Функция выигрыша игрока i определяется следующим образом:

$K_{t_0,z_0}^i\left(z\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}{h}_i}\left(z\left(t\right)\right)dt$

где $z\left(t\right)=z\left(t,t_0,u_1,u_2,u_3,u_4\right)$  – решение системы (1)–(2) при допустимых управлениях u₁, u₂, u₃, u₄, $h_i\left(z\left(t\right)\right)=a_{i}x\left(t\right)+b_{i}y\left(t\right)+c_i,a_i,b_i,c_i=const;a_i,b_i,c_i\ge \mathrm{0,}{a}_i^2+b_i^2+c_i^2\ne \mathrm{0,}i\in N.$  

Обзор литературы

Задачи простого преследования рассматривались в ряде работ²; ³ [1–5]. Так, в исследованиях Л. А. Петросяна, В. Д. Ширяева и Р. Р. Бикмурзиной⁴ [1; 2] решение задачи было найдено в предположении о том, что очередность встреч выбирается в начальный момент времени (программно), а игроки движутся по прямым линиям. В статье Т. Г. Абрамянц, В. П. Маслова и Е. Я. Рубиновича [4] рассмотрены возможности выбора очередности встреч как программно, так и позиционно, а в работе И. И. Шевченко [5] приведено решение поставленной задачи с использованием подхода Р. Айзекса. В исследовании В. Д. Ширяева, Н. М. Куляшовой и О. О. Виноградовой⁵ при решении задачи в основном использовались геометрические методы. При изучении таких игр часто используется методология кооперативной теории игр⁶ [6–8]. В качестве принципа оптимальности в основном рассматривается С-ядро. Однако вопрос исследования выбранного принципа оптимальности осложняется тем, что в таких задачах необходимо учитывать его динамическую устойчивость.

Впервые понятие динамической устойчивости решений в дифференциальных играх как с интегральными, так и с терминальными выигрышами ввел Л. А. Петросян [6; 9–11]; он же предложил и пути преодоления динамической неустойчивости принципов оптимальности [8; 10–13]. Несколько позже в западных странах независимо от вышеназванных исследований возник интерес к указанным вопросам, и проблема получила название «time-consistency problem» (проблема состоятельности во времени) [14–16]. Однако в большинстве случаев подобный интерес ограничивался лишь констатацией проблемы, и в упомянутых работах не рассматривались вопросы, связанные с решением вопроса несостоятельности во времени, что крайне важно для практических приложений.

Материалы и методы

В статье при переходе к рассмотрению исследуемой дифференциальной игры с простым движением как кооперативной дифференциальной игры при построении характеристической функции был предложен общепринятый принцип максимина. Для нахождения оптимальных траекторий и оптимальных управлений (стратегий) игроков использовался принцип максимума Понтрягина. При исследовании С-ядра на устойчивость использовался явный вид условий непустоты игры четырех лиц.

Результаты исследования

Введем следующие обозначения:

$u_S^{\left(j\right)}={\displaystyle \sum _{i\in S}{u}_i^{\left(j\right)}},u_j^S=u_S^{\left(j\right)}+u_{N\backslash S}^{\left(j\right)},j=\mathrm{1,2};a_S={\displaystyle \sum _{i\in S}{a}_i},b_S={\displaystyle \sum _{i\in S}{b}_i},c_S={\displaystyle \sum _{i\in S}{c}_i},S\subset N.$

Вычислим значение характеристической функции:

$v\left(S;T-t_0,z_0\right)=\left\{\begin{array}{l} \underset{\begin{array}{l}\\ {\left|z\right|}^2\le {\left(\left|S\right|-\left|N\backslash S\right|\right)}^2{\left(T-t_0\right)}^2\end{array}}{\underset{u_S}{1) max}}\sum _{i\in S}\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}{h}_i\left(z\left(\tau \right)\right)d\tau \\ \text{при\hspace{0.33em}}\left|S\right|>\left|N\backslash S\right|\\ \underset{\begin{array}{l}\\ {\left|z\right|}^2\le {\left(\left|N\backslash S\right|-\left|S\right|\right)}^2{\left(T-t_0\right)}^2\end{array}}{\underset{u_S}{2) min}}\sum _{i\in S}\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}{h}_i\left(z\left(\tau \right)\right)d\tau \\ \text{при\hspace{0.33em}}\left|S\right|<\left|N\backslash S\right|\\ 3)\left(T-t_0\right)\sum _{i\in S}{c}_i\text{ при\hspace{0.33em}}\left|S\right|=\left|N\backslash S\right|\end{array}\right.$

Для нахождения $v\left(S;T-t_0,z_0\right)$  воспользуемся принципом максимума [17]. Для рассматриваемой задачи $H=pu-{\displaystyle \sum _{i=1}^4{h}_i\left(z\left(t\right)\right)}.$ 

Сопряженное уравнение примет вид: $\dot{p}={\left[h_1\left(z\left(t\right)\right)+h_2\left(z\left(t\right)\right)+h_3\left(z\left(t\right)\right)+h_4\left(z\left(t\right)\right)\right]}^{\prime }{}_x.$ 

Т. к. рассматривается задача со свободным правым концом и, следовательно, p(T) = 0, то $p=\left\{a_N\left(t-T\right);b_N\left(t-T\right)\right\}.$ 

Тогда

$\begin{array}{l}H=a_N\left(t-T\right)u_N^{\left(1\right)}+b_N\left(t-T\right)-\left\{a_N\left[\left(t-t_0\right)u_N^{\left(1\right)}+x_0\right]+b_N\left[\left(t-t_0\right)u_N^{\left(2\right)}+y_0\right]\right\}=\\ =-\left[a_N\left(T-t_0\right)u_N^{\left(1\right)}+b_N\left(T-t_0\right)u_N^{\left(2\right)}+c_N\right]-a_N{x}_0-b_N{y}_0.\end{array}$ 

Итак, следует найти

$\underset{u_N^{\left(1\right)},u_N^{\left(2\right)}}{\max }{H}_1=\underset{{\left(u_N^{\left(1\right)}\right)}^2+{\left(u_N^{\left(2\right)}\right)}^2\le 16}{\max }\left(a_N{u}_N^{\left(1\right)}+b_N{u}_N^{\left(2\right)}\right)$ ;

max H₁ достигается при ${\overline{u}}_1^N=\frac{4a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}},{\overline{u}}_2^N=\frac{4b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}$ .

Следовательно,

$\begin{array}{c}\overline{x}\left(t\right)=\frac{4a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(t-t_0\right)+x_0,\\ \overline{y}\left(t\right)=\frac{4b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(t-t_0\right)+y_0.\end{array}$

Аналогично находим, что  ${\overline{u}}_1^S=\frac{2a_S}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}},{\overline{u}}_2^S=\frac{2b_S}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}},S=\left\{i,j,l\right\},i\ne j\ne l,i,j,l\in N;$  ${\overline{u}}_1^S=\mathrm{0,}{\overline{u}}_2^S=\mathrm{0,}\text{\hspace{0.33em}где }S=\left\{i,j\right\},i\ne j,i,j\in N;$${\overline{u}}_1^S=-\frac{2a_S}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}},{\overline{u}}_2^S=-\frac{2b_S}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}},S=\left\{i\right\},i\in N.$  

Тогда  

$\begin{array}{l}{\overline{x}}^{\left(S\right)}\left(t\right)={\overline{u}}_1^S\left(t-\overline{t}\right)+\frac{4a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+x_0\\ {\overline{y}}^{\left(S\right)}\left(t\right)={\overline{u}}_2^S\left(t-\overline{t}\right)+\frac{4b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+y_0\\ \overline{t}\in \left[t_0,T\right],t\in \left[\overline{t},T\right].\end{array}$  

И, следовательно,

$\begin{array}{l}v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=\underset{t}{\overset{T}{\int }}{h}_N\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau =\underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[\frac{4a_N^2}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\tau -t_0\right)\right.+a_N{x}_0+\left.\frac{4b_N^2}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\tau -t_0\right)+b_N{y}_0+c_N\right]d\tau =\\ =\underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[4\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(\tau -t_0\right)+a_N{x}_0+b_N{y}_0+c_N\right]d\tau =2\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2t_0\right)+\left(a_N{x}_0+b_N{y}_0+c_N\right)\left(T-t\right)\end{array}$

 

$\begin{array}{l}v\left(S;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}{h}_S}\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau ={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[\frac{2a_S^2}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}}\left(\tau -\overline{t}\right)\right.}+4\frac{a_S{a}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+\\ +a_S{x}_0+\frac{2b_S^2}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}}\left(\tau -\overline{t}\right)\left.+4\frac{b_S{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+b_S{y}_0+c_S\right]d\tau =\\ ={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[2\sqrt{a_S^2+b_S^2}\right.}\left(\tau -\overline{t}\right)+4\left(\left(a_S{a}_N+b_S{b}_N\right)/\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(\overline{t}-t_0\right)+\left.a_S{x}_0+b_S{y}_0+c_S\right]d\tau =\\ =\sqrt{a_S^2+b_S^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+\left[4\left(\left(a_S{a}_N+b_S{b}_N\right)/\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(\overline{t}-t_0\right)\right.\left.+a_S{x}_0+b_S{y}_0+c_S\right]\left(T-t\right)\end{array}$

 

если  $S=\left\{i,j,l\right\},i\ne j\ne l,i,j,l\in N;$ 

 

$\begin{array}{l}v\left(S;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[4\frac{a_S{a}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)\right.}+a_S{x}_0+\left.4\frac{b_S{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+b_S{y}_0+c_S\right]d\tau =\\ =\left[4\frac{a_S{a}_N+b_S{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+a_S{x}_0+b_S{y}_0+c_S\right]\left(T-t\right)=\\ =\sqrt{a_S^2+b_S^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+\left[4\frac{a_S{a}_N+b_S{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+a_S{x}_0+b_S{y}_0+c_S\right]\left(T-t\right)\end{array}$

 

если  $S=\left\{i,j\right\},i\ne j,i,j\in N;$ 

 

$\begin{array}{l}v\left(S;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}{h}_S}\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau =\\ ={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[-\frac{2a_S^2}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}}\left(\tau -\overline{t}\right)\right.}+4\frac{a_S{a}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+a_S{x}_0-\frac{2b_S^2}{\sqrt{a_S^2+b_S^2}}\left(\tau -\overline{t}\right)+4\frac{b_S{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+\\ +\left.b_S{y}_0+c_S\right]d\tau ={\displaystyle \underset{t}{\overset{T}{\int }}\left[-2\sqrt{a_S^2+b_S^2}\right.}\left(\tau -\overline{t}\right)+4\left(\left(a_S{a}_N+b_S{b}_N\right)/\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(\overline{t}-t_0\right)+\left.a_S{x}_0+b_S{y}_0+c_S\right]d\tau =\\ =-\sqrt{a_S^2+b_S^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+\left[4\left(\left(a_S{a}_N+b_S{b}_N\right)/\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(\overline{t}-t_0\right)\right.\left.+a_S{x}_0+b_S{y}_0+c_S\right]\left(T-t\right)\end{array}$

 

если  $S=\left\{i,\right\},i\in N.$ 

Таким образом,  $v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=2\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2t_0\right)+\left(a_N{x}_0+b_N{y}_0+c_N\right)\left(T-t\right);$ 

$v\left(\left\{i,j,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+4\frac{a_{ijl}{a}_N+b_{ijl}^{}{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)\left.+a_{ijl}{x}_0+b_{ijl}{y}_0+c_{ijl}\right]\left(T-t\right);$

$v\left(\left\{i,j\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=\left[4\left(\left(a_{ij}{a}_N+b_{ij}{b}_N\right)/\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(\overline{t}-t_0\right)\right.\left.+a_{ij}{x}_0+b_{ij}{y}_0+c_{ij}\right]\left(T-t\right);$

$\begin{array}{c}v\left(\left\{i\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=-\sqrt{a_i^2+b_i^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+\left[4\frac{a_i{a}_N+b_i{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)+a_i{x}_0+b_i{y}_0+c_i\right]\left(T-t\right),\\ i\ne j\ne l,i,j,l\in N.\end{array}$

 

Рассмотрим С-ядро (С_v(T-t₀, z₀)) данной игры.

Теорема 1

 $C_v\left(T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)\ne \varnothing ,t\in \left[t_0,T\right].$ 

Доказательство

Необходимым и достаточным условием непустоты С-ядра в игре четырех лиц является выполнение следующих неравенств⁷:

$\begin{array}{l}{v}_{ijl}+v_{ijk}+v_{ilk}+v_{jlk}\le 3v\left(N\right),\\ v_{ijl}+v_{jlk}+v_{ik}\le 2v\left(N\right),\\ v_{ij}+v_{il}+v_{ik}+2v_{jlk}\le 3v\left(N\right),\\ i,j,l,k\in N,i\ne j\ne k\ne l.\end{array}$

В нашем случае эти неравенства примут вид:

$v\left(\left\{i,j,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,j,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{j,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)\le 3v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right),$

$v\left(\left\{i,j,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{j,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)\le 2v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right),$

$\begin{array}{c}v\left(\left\{i,j\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+2v\left(\left\{j,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)\le 3v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right),\\ i,j,k,l\in N,i\ne j\ne k\ne l,t\in \left[t_{0}T\right].\end{array}$

 

Покажем справедливость этих неравенств.

$\begin{array}{l}v\left(\left\{i,j,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,j,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{j,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)-3v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=\\ =\left(\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}\right.+\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}+\sqrt{a_{ilk}^2+b_{ilk}^2}+\left.\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}\right)\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+\\ +\left(4\left(\frac{\left(a_{ijl}+a_{ijk}+a_{ilk}+a_{jlk}\right)a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\right.\right.\left.+\frac{\left(b_{ijl}+b_{ijk}+b_{ilk}+b_{jlk}\right)b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\right)\left(\overline{t}-t_0\right)+\left(a_{ijl}+a_{ijk}+a_{ilk}+a_{jlk}\right)x_0+\left(b_{ijl}+b_{ijk}+b_{ilk}+b_{jlk}\right)y_0+\\ \left.+\left(c_{ijl}+c_{ijk}+c_{ilk}+c_{jlk}\right)\right)\left(T-t\right)-6\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2t_0\right)-3\left(a_N{x}_0+b_N{y}_0+c_N\right)\left(T-t\right)=\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}\right.+\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}+\left.\sqrt{a_{ilk}^2+b_{ilk}^2}+\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}\right)\times \left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)+12\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(T-t\right)\left(\overline{t}-t_0\right)-\\ -6\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(T-t\right)\left(T+t-2t_0\right)=\left(\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}\right.+\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}+\sqrt{a_{ilk}^2+b_{ilk}^2}\left.+\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}-6\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)\le 0.\end{array}$

 

Аналогично доказывается, что

$\begin{array}{l}v\left(\left\{i,j,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{j,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)-2v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=\\ =\left(\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}\right.+\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}-\left.4\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)\le 0;\end{array}$

$\begin{array}{l}v\left(\left\{i,j\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,l\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+v\left(\left\{i,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)+2v\left(\left\{j,l,k\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)-3v\left(N;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)=\\ =\left(2\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}-6\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)\times \left(T-t\right)\left(T+t-2\overline{t}\right)\le \mathrm{0,}\end{array}$

$\overline{t}\in \left[t_0,T\right],t\in \left[\overline{t},T\right],i,j,k,l\in N,i\ne j\ne k\ne l.$

Рассмотрим теперь вектор Шепли. Формулы для нахождения компонентов вектора Шепли примут вид:

${\Phi }_i\left(v\left(S;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)\right)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}S\subset N\\ \left(i\in S\right)\end{array}}\frac{\left(n-1\right)!\left(s-1\right)!}{n!}\times }\left[v\left(S;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)-v\left(S\backslash \left\{i\right\};T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)\right]$  (3)

Подставляя значения $v\left(S;T-t,\overline{z}\left(t\right)\right)$  в выражение (3), получим:

$\begin{array}{l}{\Phi }_i(v)=\frac{(4-1)!(1-1)!}{4!}\left[-\sqrt{a_i^2+b_i^2}\right.(T-t)(T+t-2\stackrel{\_}{t})+4\left(\frac{a_i{a}_N+b_i{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}(\stackrel{\_}{t}-t_0)+a_i{x}_0+b_i{y}_0+c_i\right)\times \\ \times \left.(T-t)-0\right]+\frac{(4-2)!(2-1)!}{4!}\times \left[\left(4\left(\frac{\left(a_{ij}+a_{il}+a_{ik}\right)a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}+\frac{\left(b_{ij}+b_{il}+b_{ik}\right)b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\right)\right.\right.(\stackrel{\_}{t}-t_0)+\\ \left.+\left(a_{ij}+a_{il}+a_{ik}\right)x_0+\left(b_{ij}+b_{il}+b_{ik}\right)y_0+c_{ij}+c_{il}+c_{ik}\right)\times (T-t_0)+\left(\sqrt{a_j^2+b_j^2}+\sqrt{a_l^2+b_l^2}+\sqrt{a_k^2+b_k^2}\right)(T-t)\times \\ \times (T+t-2\stackrel{\_}{t})-\left(4\frac{a_{jlk}{a}_N+b_{jlk}{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\right.(\stackrel{\_}{t}-t_0)\left.+a_{jlk}{x}_0+b_{jlk}{y}_0+c_{jlk}\right)(T-t)\text{]}+\frac{(4-\text{3})!(\text{3}-1)!}{4!}\times \end{array}$

$\begin{array}{l}\times \left[\left(\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}+\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}+\sqrt{a_{ilk}^2+b_{ilk}^2}\right)\right.(T-t)(T+t-2\stackrel{\_}{t})+\left(4\frac{\left(a_{ijl}+a_{ijk}+a_{ilk}\right)a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}+\frac{\left(b_{ijl}+b_{ijk}+b_{ilk}\right)b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}(\stackrel{\_}{t}-t_0)+\right.\\ +\left(a_{ijl}+a_{ijk}+a_{ilk}\right)x_0+\left(b_{ijl}+b_{ijk}+b_{ilk}\right)y_0+\left.\left(c_{ijl}+c_{ijk}+c_{ilk}\right)\right)(T-t)-\left(4\frac{\left(a_{jl}+a_{jk}+a_{lk}\right)a_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}+\frac{\left(b_{jl}+b_{jk}+b_{lk}\right)b_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}(\stackrel{\_}{t}-t_0)+\right.\\ +\left.\left(a_{jl}+a_{jk}+a_{lk}\right)x_0+\left(b_{jl}+b_{jk}+b_{lk}\right)y_0+c_{jl}+c_{jk}+c_{lk}\right)\left.\times (T-t)\right]+\frac{(4-4)!(4-1)!}{4!}\times \\ \times \left[2\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right.(T-t)(T+t-2t_0)+\left(a_N{x}_0+b_N{y}_0+c_N\right)(T-t)-\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}(T-t)(T+t-2\stackrel{\_}{t})-\end{array}$

$\begin{array}{l}-\left(4\frac{a_{jlk}{a}_N+b_{jlk}{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\right.(\stackrel{\_}{t}-t_0)\left.+a_{jlk}{x}_0+b_{jlk}{y}_0+c_{jlk}\right)(T-t)\text{]}=\\ =\frac{1}{12}\text{[}\left(-\text{3}\right.\sqrt{a_i^2+b_i^2}+\sqrt{a_j^2+b_j^2}+\sqrt{a_l^2+b_l^2}+\sqrt{a_k^2+b_k^2}+\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}+\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}+\\ +\sqrt{a_{ilk}^2+b_{ilk}^2}\left.+\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}\right)(T-t)(T+t-2\stackrel{\_}{t})+6\sqrt{a_N^2+b_N^2}(T-t)(T+t-2t_0)+\\ +\left(36\frac{a_i{a}_N+b_i{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}(\stackrel{\_}{t}-t_0)(T-t)-\right.12\frac{a_{jlk}{a}_N+b_{jlk}{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}(\stackrel{\_}{t}-t_0)(T-t)+\left.\left.12\left(a_i{x}_0+b_i{y}_0+c_i\right)\right)(T-t)\right]\text{,}\end{array}$

$i\text{,}j\text{,}l\text{,}k\in N\text{,}i\ne j\ne k\ne l\text{,}\stackrel{\_}{t}\in \text{[}{t}_0\text{,}T\text{]}\text{,}t\in \text{[}\stackrel{\_}{t}\text{,}T\text{]}$

 

В случае кооперативной дифференциальной игры характеристическая функция зависит от времени, поэтому решение кооперативной дифференциальной игры изменяется в каждый момент времени. В связи с этим естественным является вопрос о динамической устойчивости рассматриваемых принципов оптимальности [6; 9–11].

Перейдем к формальному определению принципа динамической устойчивости в игре ${\Gamma }_v\left(z_0,T-t_0\right)$  .

Пусть $\overline{z}\left(\cdot \right)$  – условно-оптимальная траектория в игре ${\Gamma }_v\left(z_0,T-t_0\right)$  , ${\Gamma }_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t_0\right),t_0\le t\le T,$  – текущие игры с решениями $W_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\subset E_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right),$

 где

 $\begin{array}{l}{E}_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right)=\left\{\xi =\left({\xi }_1,{\xi }_2\mathrm{,...,}{\xi }_n\right)\right.\in R^n\left|{\xi }_i\ge v\left(\left\{i\right\},\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\right.,i\in N,\\ \left.{\displaystyle \sum _{i\in N}{\xi }_i=v\left(N,\overline{z}\left(t\right),T-t\right)}\right\}.\end{array}$ 

Предположим, что $W_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\ne \varnothing$  для всех t₀ ≤ t ≤ T.

Определение 1 [6; 7; 11]

Дележ $\xi \in W_v\left(z_0,T-t_0\right)$  будем называть устойчивым в игре ${\Gamma }_v\left(z_0,T-t_0\right)$ , если существует интегрируемая на [t₀, T] вектор-функция β(t) и такая дифференцируемая на [t₀, T] вектор-функция ξ (t), что дележ ξ представим в виде:

$\xi =\xi \left(t\right),{\xi }_i\left(t\right)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{\beta }_i\left(\tau \right)h_i\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau$

и для всех $t\in \left[t_0,T\right]$  существует такое подмножество ${W^{\prime }}_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right)$  множества $W_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right),$  что

$\xi \left(t\right)+{W^{\text{'}}}_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\subset W_v\left(z_0,T-t_0\right)$

Определение 2

Решение $W_v\left(z_0,T-t_0\right)$ называется устойчивым, если устойчивы все входящие в него дележи. В таком случае условно-оптимальная траектория $\overline{z}\left(\cdot \right)$  называется оптимальной.

Данный способ реализации дележа зависит от выбора функции β(τ) и, следовательно, является неоднозначным. Однако он обладает важным свойством: в каждый момент времени $t\in \left[t_0,T\right]$  игроки ориентируются на один и тот же принцип оптимальности, придерживаются выбранного оптимального управления и поэтому не имеют оснований для нарушения ранее принятого соглашения.

В качестве решения $W_v\left(z_0,T-t_0\right)$  рассмотрим С-ядро игры ${\Gamma }_v\left(z_0,T-t_0\right)$ , которое обозначим через $C_v\left(z_0,T-t_0\right)$ .
Как было показано выше, $C_v\left(\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\ne \varnothing ,t_0\le t\le T,$  где $\overline{z}\left(\cdot \right)$  – условно оптимальная траектория. Выведем необходимое условие динамической устойчивости С-ядра $C_v\left(z_0,T-t_0\right)$  в кооперативной дифференциальной игре с интегральными выигрышами.

Теорема 2

Для того чтобы С-ядро $C_v\left(z_0,T-t_0\right)$  кооперативной дифференциальной игры ${\Gamma }_v\left(z_0,T-t_0\right)$  с интегральными выигрышами было динамически устойчивым, необходимо, чтобы для каждого дележа $\xi \in C_v\left(z_0,T-t_0\right)$  имело место представление

$\xi =\underset{t_0}{\overset{T\text{;}}{\int }}\beta \left(\tau \right)h\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau$

где вектор-функция β(t) в каждый момент $t\in \left[t_0,T\right]$  удовлетворяет условиям:

$\begin{array}{l}1) v\left(S;z_0,T-t_0\right)+v\left(N\backslash S;\overline{z}\left(t\right),T-t\right)-v\left(N;\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\le \sum _{i\in S}\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_i\left(\tau \right)h_i\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau \le \\ \le v\left(N;z_0,T-t_0\right)+v\left(N\backslash S;z_0,T-t_0\right)-v\left(S;\overline{z}\left(t\right),T-t\right)\text{ при всех }S\subset N;\end{array}$

$2)\sum _{i\in N}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{\beta }_i\left(\tau \right)h_i\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau =\sum _{i\in N}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{h}_i\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau$

 

Доказательство теоремы аналогично доказательству из работ Л. А. Петросяна, Н. Н. Данилова и Д. В. Кузютина [9; 12].

Исследуем теперь динамическую устойчивость вектора Шепли.

Теорема 3

В рассматриваемой игре вектор Шепли динамически устойчив.

Доказательство

Взяв β_i(τ) равным

$\begin{array}{l}\frac{1}{6}\left(\overline{t}-\tau \right)\left(\left(-3\sqrt{a_i^2+b_i^2}\right.+\sqrt{a_j^2+b_j^2}\right.+\sqrt{a_l^2+b_l^2}+\sqrt{a_k^2+b_k^2}+\sqrt{a_{ijl}^2+b_{ijl}^2}+\\ +\sqrt{a_{ijk}^2+b_{ijk}^2}+\sqrt{a_{ilk}^2+b_{ilk}^2}\left.-3\sqrt{a_{jlk}^2+b_{jlk}^2}\right)+\sqrt{a_N^2+b_N^2}\left(t_0-\tau \right)+\frac{a_{jlk}{a}_N+b_{jlk}{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)-\\ \left.-3\frac{a_i{a}_N+b_i{b}_N}{\sqrt{a_N^2+b_N^2}}\left(\overline{t}-t_0\right)-a_i{x}_0-b_i{y}_0-c_i\right)/\left(4\left(a_i{a}_N+b_i{b}_N\right)/\sqrt{a_N^2+b_N^2}\right)+h_i\left(z_0\right)\end{array}$

получим, что

${\Phi }_i\left(T-t_0,z_0\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}{\beta }_i\left(\tau \right)h_i\left(\overline{z}\left(\tau \right)\right)d\tau .$

Теорема доказана

Обсуждение и заключение

В работе в явном виде найдены оптимальные стратегии и траектории движения игроков. В качестве принципов оптимальности рассмотрены С-ядро и вектор Шепли. Выбранные принципы оптимальности оказались динамически устойчивыми, и, следовательно, у игроков нет оснований для завершения игры. Исследованная задача показала реализуемость идеи устойчивости рассматриваемых принципов оптимальности.

Попытки применить динамически неустойчивые принципы оптимальности при решении практических задач приводят, как правило, к грубым ошибкам, в результате которых «оптимальные» решения оказываются нереализованными. Именно динамическая неустойчивость была причиной невыполнения многих долгосрочных проектов и нарушения многосторонних договоренностей.

 

¹           Ширяев В. Д., Бикмурзина Р. Р. Простое преследование на плоскости с четырьмя участниками // В мире науки и инноваций : сб. науч. ст. междунар. науч.-практ. конф. В 3 ч. Ч. 3. Уфа : АЭТЕРНА, 2016. С. 6–8.

²           Ширяев В. Д., Куляшова Н. М., Виноградова О. О. Геометрический подход к решению игр простого преследования со многими участниками. Деп. ВИНИТИ № 1254 – В 98 от 22.04.1998 г. 26 с.

³           Ширяев В. Д., Бикмурзина Р. Р. Простое преследование на плоскости с четырьмя участниками.

⁴           Там же.

⁵           Ширяев В. Д., Куляшова Н. М., Виноградова О. О. Геометрический подход к решению игр простого преследования со многими участниками.

⁶           Ширяев В. Д., Нестерова Т. Н, Боткина И. А. Простейшая дифференциальная игра четырех лиц. Деп ВИНИТИ № 954 – В 2005 от 07.07.2005. 14 с.

⁷           Ширяев В. Д. С-ядро в играх четырех лиц // Сборник научных трудов SWorld. 2013. T. 4, № 4. С. 79–85.

 

Sobre autores

Viktor Shiryayev

National Research Mordovia State University

Email: shiryaevvd@mail.ru
ORCID ID: 0000-0003-0497-3769
Researcher ID: B-8540-2019

Professor, Chair of Fundamental Informatics, Ph.D. (Physics and Mathematics),
Associate Professor

Rússia, 68/1 Bolshevistskaya St., Saransk 430005

Elena Shagilova

National Research Mordovia State University

Autor responsável pela correspondência
Email: shagilova_elena@mail.ru
ORCID ID: 0000-0003-0267-6082
Researcher ID: B-8524-2019

Associate Professor, Chair of Fundamental Informatics, Ph.D. (Pedagogy), Associate Professor

Rússia, 68/1 Bolshevistskaya St., Saransk 430005

Bibliografia

Arquivos suplementares