Том 48, № 3 (2024)

В 1978 году в журнале «Дифференциальные уравнения» была опубликована статья А.М. Нахушева, где дана методика правильной постановки краевой задачи для класса уравнений параболо-гиперболического типа второго порядка в произвольной ограниченной области $\Omega$ с гладкой или кусочно-гладкой границей $\Sigma$. Исследованная в отмеченной работе краевая задача в настоящее время называется первой краевой задачей для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка. В рамках данной работы в смешанной области сформулирована и исследована первая краевая задача для модельного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка в том смысле, в котором она сформулирована и исследована А.М. Нахушевым для уравнений второго порядка. В одной части смешанной области рассматриваемое уравнение совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода второго порядка, а в другой части является неоднородным уравнением третьего порядка с кратными характеристиками параболического типа. Для различных значений параметра $\lambda$, входящих в рассматриваемое уравнение, доказаны теоремы существования и единственности регулярного решения исследуемой задачи. Для доказательства теоремы единственности применяется метод интегралов энергии в совокупности с методом А.М. Нахушева. Для доказательства теоремы существования применяется метод интегральных уравнений. В терминах функции Миттаг-Леффлера решение задачи найдено и выписано в явном виде.

В работе рассматривается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с производной дробного порядка, которое содержит оператор инволюции в подчиненном слагаемом. Рассматриваемое уравнение является модельным и относится к классу дифференциальных уравнений, к необходимости исследовать которые приводит изучение краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, содержащих композицию лево- и правосторонних операторов дробного дифференцирования. Последние возникают при моделировании различных физических и геофизических процессов, и, в частности, имеет важное значение при описании диссипативных колебательных систем. Для рассматриваемого уравнения исследуется начальная задача в единичном интервале. Основной результат работы – теорема существования и единственности решения изучаемой задачи. В терминах ограничений на коэффициент и правую часть рассматриваемого уравнения сформулированы достаточные условия, обеспечивающие однозначную разрешимость исследуемой задачи. Построено фундаментальное решение, получены его различные представления, изучены его основные свойства. В терминах фундаментального решения найдено явное представление решения исследуемой задачи.

Работа посвящена классу стохастических двумодовых эредитарных моделей космического динамо. Модели включают в себя два генератора магнитного поля — крупномасштабный и турбулентный ($\alpha$-эффект). Влияние магнитного поля на движения среды представлено через подавление $\alpha$-эффекта функционалом от компонент поля, что вводит в модель память (эредитарность). Модель описывает динамику только крупномасштабных компонент, однако учитывает возможное воздействие мелкомасштабных мод с помощью стохастического члена. Это член моделирует влияние возможной спонтанной синхронизации мелкомасштабных мод. Так же в работе представлена численная схема для решения интегро-дифференциальных уравнений модели. Численная схема состоит из двух частей: для дифференциальной части используется метод «предиктор-корректор»  Адамса четвертого порядка, а для интегральной части — метод Симпсона. Основным результатом работы является обобщенная модель динамо-системы, с аддитивным добавлением случайной поправка в $\alpha$-генератор. Учет такой поправки существенно разнообразит динамические режимы в модели. 

Радон — инертный радиоактивный газ, исследования вариаций которого в сопоставлении с сейсмичностью считаются перспективными для целей разработки методик прогноза землетрясений. На полуострове Камчатка развернута сеть пунктов наблюдения, в которых с помощью накопительных камер с газоразрядными счетчиками ведется мониторинг объемной активности радона (RVA). Анализ данных RVA в рамках радонового мониторинга является одним из методов поиска предвестников сейсмических событий. Это связано с тем, что изменения напряженно-деформированного состояния геосреды, через которую протекает газ, влияют на RVA. Изменение интенсивности переноса радона вследствие изменения напряженно-деформированного состояния геосреды описывается с помощью оператора дробного дифференцирования постоянного вещественного порядка $\alpha$, который связан с проницаемостью геосреды. Известно, что на RVA в накопительной емкости с датчиками влияет также кратность воздухообмена ${\lambda }_0$, эффект которого необходимо учитывать в изучение процесса переноса радона. Целью исследования является изучение накопления радона в камере, которое заключается в идентификации значений параметров ${\lambda }_0$ и $\alpha$ с помощью решения соответствующей обратной задачи. В результате исследований было показано, что для эредитарной $\alpha$-модели переноса радона методом Левенберга-Маквардта с привлечением экспериментальных данных RVA можно определить оптимальные значения ее параметров ${\lambda }_0$ и $\alpha$. Полученные модельные кривые хорошо согласуются с данными RVA, полученными в рамках хорошо известной классической модели переноса радона в накопительной камере.