The classical mathematical model of S.V. Dubovsky and some of its modifications for describing K-waves

Full Text

Введение

Проблема прогнозирования экономических циклов и кризов с помощью математических методов является важной практической задачей. Первые исследования экономических циклов с позиции системного подхода в описании причин их возникновения были отражены в работах английского инженера Хайда Кларка, который в 1847 году указал на наличие экономического цикла с периодом 54 года [1]. Далее развивая работы Х. Кларка, английский математик и экономист Уильям Джевонс с помощью математической статистики установил корреляции экономических циклов перепроизводства и связал их с солнечной активностью [2].

На наш взгляд, существенный вклад в исследование экономических циклов внес российский экономист Н.Д. Кондратьев, который в 20-х годах 20 века с помощью математического моделирования исследовал большие циклы конъектуры, основываясь на анализе большого числа экономических показателей за промежуток времени 100-150 лет. Основные труды Н.Д. Кондратьева можно изучить в монографии [3], а приложения его теории к длинным волнам (К-волнам) различных экономик мира – в монографии [4]. Описание научной школы Н.Д. Кондратьева, ее становления, методологические подходы, а также математические модели достаточно хорошо раскрываются в монографии автора [5].

Мы же в настоящей работе остановимся на математических моделях К-волн. Большой вклад в развитие математических моделей в описание К-волн внесли математики Меньшиков С.М., Клименко Л.А. [6], С.В. Дубовский [7], Хироока М. [8], А.А. Акаев [9], И.П. Гладких [10]. В монографии [5] дается описание различных математических моделей, приводятся их достоинства и недостатки. Основу таких моделей составляют в основном нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, которые решаются с помощью численных методов.

В настоящей работы в качестве объекта исследований выберем классическую математическую модель С.В. Дубовского, которая была предложена в статье [7]. Этот выбор обусловлен следующими соображениями: 1) математическая модель описывает динамику эффективности новых технологий и фондоотдачи, что на наш взгляд является оправданным для математического описания К-волн в рамках инновационных циклов [11]; 2) математическая модель обладает большим потенциалом в практическом применении и до конца не изучена.

Классическая математическая модель С.В. Дубовского представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями (задача Коши). В статье мы покажем с помощью критерия Бендиксона, что решение задачи Коши может обладать замкнутыми фазовыми траекториями, что будет указывать на возможность ее для описания экономических циклов. Рассмотрим некоторые модификации модели посредством учета зависимости нормы накопления от фондоотдачи, а также внешнего притока инвестиций и новых технологий. Построим с помощью численного алгоритма, реализованного в системе компьютерной алгебры Matlab, осциллограммы и фазовые траектории. Покажем, что модифицированная модель обладает потенциалом для дальнейших исследований.

Постановка задачи, методика решения и его свойства

В статье С.В. Дубовского [7] была предложена следующая математическая модель длинных волн Н.Д. Кондратьева (К-волн):

$\left\{\begin{array}{l}\dot{x}\left(t\right)=-\lambda nx\left(t\right)\left(x\left(t\right)-1\right)\left(y\left(t\right)-y^{\text{*}}\right),\\ \dot{y}\left(t\right)=n\left(1-n\right)y^2\left(t\right)\left(x\left(t\right)-x^{\text{*}}\right),\\ x\left(0\right)=a,y\left(0\right)=b.\end{array}\right.$ (1)

где $x\left(t\right),y\left(t\right)\in C^1\left[\mathrm{0,}T\right]$ — функции эффективности новых технологий и фондоотдачи, $t\in \left[\mathrm{0,}T\right]$ — время процесса, $T>0$ — время моделирования, $0<n<1$ — норма накопления, $\lambda >0$ — постоянный коэффициент, который определяется из статистики, $x^{\text{*}}$ и $y^{\text{*}}$ — постоянные значения, которые соответствуют точке покоя системы, a и b — заданные постоянные, которые определяют начальные условия, $\dot{x}\left(t\right)=dx/dt ,\dot{y}\left(t\right)=dy/dt$.

Определение [1] Систему нелинейных дифференциальных уравнений (1), представляющую собой задачу Коши, мы будем называть классической математической моделью С.В. Дубовского.

Замечание [1] Заметим, что классическая математическая модель С.В. Дубовского (1) описывает свободные нелинейные колебания эффективности новых технологий и фондоотдачи.

Определение [2] Односвязной областью U называется область, в которой все замкнутые пути гомотопны нулю, т.е. их можно непрерывным образом стянуть в точку. Это означает, что область не содержит дырок и самопересечений.

Пусть непрерывные функции $f_1\left(x,y\right)=-\lambda nx\left(t\right)\left(x\left(t\right)-1\right)\left(y\left(t\right)-y^{\text{*}}\right)$ и $f_2\left(x,y\right)=n\left(1-n\right)y^2\left(t\right)\left(x\left(t\right)-x^{\text{*}}\right)$, а $f=\left(f_1,f_2\right)$ — векторное поле, заданное в односвязной области $U\subset R^2$.

Теорема [1] (Теорема Бендиксона [12]) Если дивергенция векторного поля на плоскости знакопостоянна и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области.

Замечание [2] В частности, это теорема утверждает, что в области отсутствуют предельные циклы.

Теорема [2] Автономная система дифференциальных уравнений (1) может обладать замкнутыми фазовыми траекториями.

Доказательство. Используя критерий Бендиксона [12], мы можем показать, что дивергенция векторного поля $f$ меняет свой знак и не тождественно равна нулю в односвязной области.

$\frac{\partial f_1}{\partial x}=-2\lambda n\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-y^{\text{*}}\right),\frac{\partial f_2}{\partial y}=-2n\left(1-n\right)y\left(x-x^{\text{*}}\right),$                   

тогда

$div\left(f\right)=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}=-2n\left(\lambda \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-y^{\text{*}}\right)-\left(1-n\right)y\left(x-x^{\text{*}}\right)\right).$ (2)

 Из экономического смысла параметров задачи: $x\left(t\right)>\mathrm{0,}y\left(t\right)>\mathrm{0,}\lambda >0$, $0<n<1$ и мы можем заключить, что может происходить смена знака функции (2) в односвязной области $U\subset R^2$. Действительно из (2), если выбрать

$\left\{\begin{array}{ll}& 0.5<x<x_c=x^{\text{*}},\\ & 0<y<y_c=\frac{\lambda y^{\text{*}}}{\lambda -1+n}.\\ & \end{array}\right.$ (3)

 тогда дивергенция векторного поля $f$ будет менять свой знак в односвязной области. Построим средствами визуализация среды компьютерной математики Maple пример односвязной области, в которой выполняются смена знака для значение параметров (1): $n=\mathrm{0.2,}\lambda =\mathrm{2.25,}{x}^{\text{*}}=\mathrm{1.3,}{y}^{\text{*}}=0.5$.

 

 

Рис. 1. Пример односвязной области для x ∈ [0.5, 1.3] , y ∈ [0, 0.775].

[Figure 1. An example of a simply connected region for x ∈ [0.5, 1.3] , y ∈ [0, 0.775].]

 

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что система (1) может обладать замкнутыми фазовыми траекториями.

 

Теорема 2 указывает на, то что классическая математическая модель С.В. Дубовского (1) может быть пригодна для исследования циклических режимов, которые могут возникать в теории экономических циклов и кризисов.

Построим осциллограммы и фазовые траектории для классической модели С.В. Дубовского при различных значениях начальных условий и параметра $\lambda$. Для этой цели воспользуемся одношаговым методом Адамса-Башфорта-Мултона 2-го порядка сходимости (правило трапеции) [13], который был реализован в системе компьютерной алгебры Matlab.

Расчетные формулы имеют вид:

$$\begin{gathered} x_{k+1}^p=x_0-\lambda n\tau \sum _{j=0}^k{x}_j^p(x_j^p-1)(y_j^p-y^{*}), \\ {y}_{k+1}^p=y_0+n(1-n)\sum _{j=0}^k{\left(y_j^p\right)}^2(x_j^p-x^{*}), \\ {x}_{k+1}=x_0-\frac{\lambda n\tau }{2}\left(x_{k+1}^p(x_{k+1}^p-1)(y_{k+1}^p-y^{*})+\sum _{j=0}^{k}p{x}_j(x_j-1)(y_1-y^{*})\right), \\ {y}_{k+1}=y_0+\frac{n(1-n)\tau }{2}\left({\left(y_{k+1}^p\right)}^2(x_{k+1}^p-x^{*})+\sum _{j=0}^{k}p{\left(y_j\right)}^2(x_j-x^{*})\right), \\ x\left(0\right)=x_0,y\left(0\right)=y_0. \end{gathered}$$ (4)

Здесь $\tau$ — шаг расчетной сетки. Первые две формулы (4) являются предиктором, остальные – корректором. Весовые коэффициенты имеют вид:

$\rho =\left\{\begin{array}{ll}& \mathrm{1,}j=\mathrm{0,}\\ & \mathrm{2,1}\le j\le k,\\ & \mathrm{1,}j=k+1.\\ & \end{array}\right.$                                                   

Визуализация результатов моделирования приведена на рис.2, а значения параметров модели были взяты из работы С.В. Дубовского [7].

 

Рис. 2. Осциллограммы и фазовые траектории системы (1), построенные при различных значениях λ и x0 = a.

[Figure 2. Oscillograms and phase trajectories of the system (1), constructed for various values of λ and x0 = a.]

 

Из рис. 2 мы видим, что увеличение значения параметра $\lambda$, а также значений $x_0$ приводят к увеличению значений эффективности новых технологий (рис.2а) и фондоотдачи (рис.2б). Это в свою очередь приводит увеличению орбиты фазовой траектории, которая является замкнутой (точка равновесия системы (1) $\left(x^{\text{*}},y^{\text{*}}\right)$ является центром). Периоды фазовых траекторий (рис.2с) согласно работе [7]: $T=\mathrm{50.1,54.9,60.6}$ лет, а их направление обхода осуществляется против часовой стрелки.

Интерпретация экономического цикла дается по фазовому портрету (рис.2c), по аналогии со статьей [7]. Фазовый портрет можно представить в виде четырех квадрантов с центром в точке $\left(\mathrm{1.3,0.5}\right)$. В первом квадранте (северо-восточный координатный угол) из-за повышенной экономической активности истощается запас высокоэффективных новшеств, и система переходит во второй квадрант (движение против часовой стрелки). Во втором квадранте из-за пониженной эффективности новшеств снижается экономическая активность, и система переходит в третий квадрант. В третьем квадранте благодаря низкой экономической активности накапливается запас высокоэффективных новшеств, и система переходит в четвертый квадрант. В четвертом квадранте благодаря высокой эффективности новшеств начинается рост экономической активности, и система переходит в первый квадрант, цикл повторяется.

Замечание [3] Необходимо отметить, что моделируемые циклы на рис.2. также обладают асимметрией. Это свойство циклов связано с разными временами выхода в тот или иной квадрант в силу того, что циклы имеют эллиптические орбиты.

Замечание [4] Отметим, что по мнению А.А. Акаева [9], результаты, полученные С.В. Дубовским в работе [7] были несколько завышены, причем их погрешность достигала 50

Исходя из выше сказанного, возникает необходимость в уточнении классической модели С.В. Дубовского (1). Такое уточнение может быть основано на зависимости нормы накопления от фондоотдачи, введении внешних факторов – притоков инвестиций и новых технологий или управленческих решений, а также наличие эффектов наследственности (памяти).

Норма накопления как функция от фондоотдачи в модели (1)

В работе [7] С.В. Дубовский указывал, на то что норма накопления в системе (1) может быть функцией от фондоотдачи вида:

$n\left(y\left(t\right)\right)=\frac{l_1\left(l_2-1\right)}{y\left(t\right)},$ (5)

где $l_1>\mathrm{0,}{l}_2>0$ — коэффициенты, которые определяются из статистических данных [15]. Однако зависимость (5) в своей работе [7] С.В. Дубовский не исследовал.

Замечание [5] В статье [7] было проведено исследование зависимости (5), получены осциллограммы и фазовые траектории при различных значениях параметров, но не была дана их экономическая интерпретация.

Замечание [6] Необходимо отметить, что в более поздней работе [14] С.В. Дубовский предложил использовать другую зависимость:

$n\left(y\left(t\right)\right)=l_1-\frac{l_2}{y\left(t\right)},$ (6)

где $l_1>\mathrm{0,}{l}_2>0$ — константы, которые также определяются из статистики [15].

Однако и в работе [14] не было проведено исследований зависимости (6). Поэтому в этом пункте мы устраним этот недостаток – проведем исследование классической модели С.В. Дубовского (1) с учетом зависимостей (5) и (6), а также дадим их экономическую интерпретацию.

Сделаем ряд замечаний по применению функциональных зависимостей (5) и (6) в классической математической модели Дубовского С.В.

Замечание [7] В силу того, что норма накопления должна быть положительна, то для зависимости (5) выполняется условие $l_2>1$, а для зависимости (6) условие $l_1>\frac{l_2}{y\left(t\right)}$.

Замечание [8] Заметим, что согласно зависимости (5) при увеличении фондоотдачи норма накопления уменьшается. Уменьшение нормы накопления в зависимости от фондоотдачи означает, что при увеличении эффективности использования фондоотдачи организация может снизить объем собственных средств, которые необходимо накапливать для обеспечения стабильного функционирования и развития бизнеса. Это позволяет оптимизировать структуру капитала и повысить рентабельность инвестиций. Уменьшение нормы накопления может быть особенно важным для организаций с ограниченными финансовыми ресурсами, поскольку позволяет эффективнее использовать доступные средства.

Замечание [9] Также можно заметить, что зависимость (6) указывает на увеличение нормы накопления от фондоотдачи. Увеличение нормы накопления в зависимости от фондоотдачи означает, что чем выше уровень эффективности использования фондоотдачи, тем больше средств компания может накапливать для будущих инвестиций или финансовых целей. Повышение фондоотдачи может привести к увеличению прибыли, что в свою очередь позволяет организации увеличивать объем накоплений. Это важный аспект финансовой стратегии организации, поскольку показывает, как эффективно используются имеющиеся ресурсы для достижения финансовых целей.

Проведем исследование зависимостей (5) и (6). С учетом зависимости (5) или (6) классическая модель С.В. Дубовского (1) принимает вид :

$\left\{\begin{array}{ll}& \dot{x}\left(t\right)=-\lambda n\left(y\left(t\right)\right)x\left(t\right)\left(x\left(t\right)-1\right)\left(y\left(t\right)-y^{\text{*}}\right),\\ & \dot{y}\left(t\right)=n\left(y\left(t\right)\right)\left(1-n\left(y\left(t\right)\right)\right)y^2\left(t\right)\left(x\left(t\right)-x^{\text{*}}\right),\\ & x\left(0\right)=a,y\left(0\right)=b.\\ & \end{array}\right.$ (7)

Задача Коши (7) также, как и задача (1) может обладать замкнутыми фазовыми траекториями. Это можно показать с помощью критерия Бендиксона (Теорема 1).

 

Рис. 3. Примеры односвязной области: а) для зависимости (5); б) для зависимости (6).

[Figure 3. Examples of a simply connected region: a) for dependence (5); b) for dependence (6).]

 

На рис.3 приведены примеры односвязных областей, в которых дивергенция векторного поля меняет свой знак: рис.3а — функция нормы накопления (5), а рис.3б — функция норма накопления (6).

Решение задачи (6) будем искать с помощью численного одно шагового метода Адамса-Башфорта-Мултона второго порядка сходимости (метод трапеций). Фазовые траектории, полученные согласно численному методу для модели (7), приведены на рис.4 с учетом зависимостей (5) и (6).

 

Рис. 4. Примеры осциллограмм и фазовых траекторий для зависимости (5). Точки на осциллограмме – координаты между двумя максимальными пиками.

[Figure 4. Examples of oscillograms and phase trajectories for the dependence (5). The points on the oscillogram are the coordinates between the two maximum peaks.]

 

На рис.4 приведен расчет осциллограмм и фазовых траекторий для зависимости (5) нормы накопления от фондоотдачи с учетом различных значений $l_1,l_2$ и $x_0$. Можно заметить, что в отличие от рис.2в, норма накопления усиливает асимметричность цикла.

Также можно отметить, что рост значений параметров $l_1,l_2$ влияет на частоту и следовательно на период колебаний. Пусть временная ось составляет количество лет. Тогда, например, мы видим, что для набора значений: $l_1=\mathrm{0.8,}{l}_2=\mathrm{1.3,}{x}_0=1.45$ период колебаний составляет $T\approx 40$ лет.

Действительно для эффективности новых технологий $x\left(t\right)$: $T=118.121-77.441=\mathrm{40,68}$ лет, а для эффективности фондоотдачи $y\left(t\right)$: $T=86.361-47.041=39.32$ лет. Данное значение периода соответствует указанному Акаевым А.А. в статье [9], в которой автор утверждает, что продолжительность циклов Н.Д. Кондратьева в XX веке была в среднем 40 лет.

На рис.5 приведен расчет осциллограмм и фазовых траекторий для зависимости (6) при различных значениях $l_1,l_2$ и $x_0$.

 

Рис. 5. Примеры осциллограмм и фазовых траекторий для зависимости (6). Точки на осциллограмме – координаты между двумя максимальными пиками.

[Figure 5. Examples of oscillograms and phase trajectories for the dependence (6). Points on the oscillogram are coordinates between two maximum peaks.]

 

Мы видим, что фазовые траектории являются замкнутыми. Осциллограммы на рис.5 отличаются от осциллограмм рис.4, однако фазовые траектории обладают похожими орбитами. Здесь также увеличение значений $l_1,l_2$ и $x_0$ приводит к большей асимметрии — цикла, это также отражается на периоде колебаний. Период колебаний, например, для цикла с параметрами $l_1=\mathrm{1.3,}{l}_2=\mathrm{0.8,}{x}_0=1.45$ составляет $T\approx 56$ лет. Такие значения периодов колебаний получал С.В. Дубовский в своей работе [7], однако эти значения были несколько завышены по сравнению с реальным экономическим циклом.

Однако несмотря на это, все выше сказанное, указывает на то, что период того или иного цикла можно оценивать исходя из зависимостей (5) и (6), т.е. при верном выборе значений параметров $l_1$ и $l_2$. Напомним, что значения этих параметров берут из статистики.

В случае, когда выбранные значения параметров дают неверное значение периода цикла, необходимо производить уточнение модели. Например, учитывать какие-то свойства рассматриваемой системы. В качестве таковых может быть учтено внешнее воздействие на систему (1), которое определяет приток внешних инвестиций и новых технологий или управленческих решений.

Приток внешних инвестиций и новых технологий в классической модели С.В. Дубовского (1)

Приток внешних инвестиций и новых технологий можно учесть в математической модели (7) посредством введения в ее правые части функций $f_1\left(t\right)$ и $f_2\left(t\right)$ 

$\left\{\begin{array}{ll}& \dot{x}\left(t\right)=-\lambda n\left(y\left(t\right)\right)x\left(t\right)\left(x\left(t\right)-1\right)\left(y\left(t\right)-y^{\text{*}}\right)+f_1\left(t\right),\\ & \dot{y}\left(t\right)=n\left(y\left(t\right)\right)\left(1-n\left(y\left(t\right)\right)\right)y^2\left(t\right)\left(x\left(t\right)-x^{\text{*}}\right)+f_2\left(t\right),\\ & x\left(0\right)=a,y\left(0\right)=b.\\ & \end{array}\right.$ (8)

 

Замечание [10] Математическая модель (8) описывает вынужденные нелинейные колебания эффективности новых технологий и фондоотдачи.

Замечание [11] В нашей работе мы будем рассматривать гармонические функций $f_1\left(t\right)={\delta }_1\text{cos}\left({\omega }_{1}t\right)$ и $f_2\left(t\right)={\delta }_2\text{cos}\left({\omega }_{2}t\right)$ в модели (8), где ${\delta }_1$ и ${\delta }_2$ — амплитуды, а ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ — частоты. Выбор таких зависимостей обусловлен тем, что приток внешних инвестиций и новых технологий имеет периодический характер. Кроме, того такие зависимости приводят к возникновению эффектов резонанса в колебательной системе, что имеет важное прикладное значение. В работе мы покажем эти свойства с помощью компьютерного моделирования.

С помощью численного алгоритма Адамса-Башфорта-Мултона второго порядка сходимости для решения задачи Коши (8) мы можем построить при различных значениях ее параметров с учетом зависимости (5) осциллограммы и фазовые траектории.

На рис. 6 приведен пример, построения осциллограмм и фазовой траектории, полученной при следующих значениях параметров: $T=\mathrm{500,}\tau =\mathrm{0.01,}\lambda =\mathrm{2.25,}{l}_1=\mathrm{0.6,}{l}_2=1.1$, $x_0=\mathrm{1.35,}{y}_0=0.5$, ${\delta }_1={\delta }_2=\mathrm{0.1,}{\omega }_1={\omega }_2=6$.

 

Рис. 6. Осциллограммы и фазовая траектория системы (8) для зависимости (5) с учетом значения параметров: δ1 = δ2 = 0.1,ω1 = ω2 = 6.

[Figure 6. Oscillograms and phase trajectory of the system (8) for the dependence (5) taking into account the parameter values: δ1 = δ2 = 0.1,ω1 = ω2 = 6.]

 

Отметим, что фазовая траектория является замкнутой, кроме того она испытывает колебания за счет внешних гармонических функций.

На рис.7 приведен другой пример при значениях амплитуд ${\delta }_1={\delta }_2=0.5$, остальные параметры остались без изменения. Здесь мы видим на осциллограммах, рост амплитуды собственных колебаний. Фазовая траектория является незамкнутой и имеет вид раскручивающейся спирали. Также, как и на рис.7 фазовая траектория испытывает колебания за счет внешних гармонических функций.

 

Рис. 7. Осциллограммы и фазовая траектория системы (8) для зависимости (5) с учетом значения параметров: δ1 = δ2 = 0.5,ω1 = ω2 = 6.

[Figure 7. Oscillograms and phase trajectory of the system (8) for the dependence (5) taking into account the parameter values: δ1 = δ2 = 0.5,ω1 = ω2 = 6.]

 

Для зависимости (6), также могут возникать как циклические колебания (рис.8), так и эффекты резонанса (рис.9).

 

Рис. 8. Осциллограммы и фазовая траектория системы (8) для зависимости (6) с учетом значения параметров: δ1 = 1, δ2 = 0.1,ω1 = ω2 = 50.

[Figure 8. Oscillograms and phase trajectory of the system (8) for the dependence (6) taking into account the parameter values: δ1 = 1, δ2 = 0.1,ω1 = ω2 = 50.]

 

Рис. 9. Осциллограммы и фазовая траектория системы (8) для зависимости (6) с учетом значения параметров: δ1 = 1, δ2 = 0.1,ω1 = ω2 = 15.

[Figure 9. Oscillograms and phase trajectory of the system (8) for the dependence (6) taking into account the parameter values: δ1 = 1, δ2 = 0.1,ω1 = ω2 = 15.]

 

На рис. 9 мы видим, что фазовая траектория не замкнутая, она раскручивается в силу того, что амплитуда колебаний растет в условиях резонанса. Кроме того, сама траектория испытывает колебания за счет внешнего гармонического воздействия.

На рис. 6-9 создается впечатление, что фазовая траектория представляет собой объемную фигуру. Это связано с тем, что граница фазовой траектории также испытывает колебания и время t здесь становится третьей степенью свободы. Необходимо отметить, что функции $f_1\left(t\right)={\delta }_1\text{cos}\left({\omega }_{1}t\right)$ и $f_2\left(t\right)={\delta }_2\text{cos}\left({\omega }_{2}t\right)$ могут давать более сложные циклы (рис. 10).

 

Рис. 10. Осциллограммы и фазовая траектория системы (8) для зависимости (6) с учетом значения параметров: δ1 = 0.2, δ2 = 0.1,ω1 = 3,ω2 = 6.

[Figure 10. Oscillograms and phase trajectory of the system (8) for the dependence (6) taking into account the parameter values: δ1 = 0.2, δ2 = 0.1,ω1 = 3,ω2 = 6.]

 

Эти сложные циклы похоже на фигуры Лиссажу, форма которых определяется отношением частот и . Известно, что если отношение частот рациональное число, то траектория будет замкнутой, а если иррациональным, то не будет. В любом случае изучение подобных фигур заслуживает внимание.

В работах автора [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22] было предложено обобщение классической модели С.В. Дубовского с учетом эффекта наследственности. Это свойство указывает на то, что система помнить оказанное на нее воздействие и с точки зрения математики оно описывается с помощью дробной производной [23, 24, 25, 26, 27, 28, 29]. В работе [21] показано, что введение дробных производных в систему (1) приводит к затухающим колебаниями и поэтому для того, чтобы существовали циклические колебания необходимо наличие внешнего источника типа и . Это дает возможность фазовой траектории через некоторое время выходить на предельный цикл.

Автор благодарит за ценные советы и замечания своего руководителя д.ф.-м.н., доцента Паровика Р.И., которые послужили улучшению статьи.

Заключение

В работе была исследована классическая модель С.В. Дубовского с некоторыми модификациями. В частности, норма накопления зависела от фондоотдачи, а также был произведен учет внешний приток инвестиции и новых технологий. Показано с помощью критерия Бендиксона, что классическая модель С.В. Дубовского и ее модификации могут приводить к замкнутым фазовым траекториям, и, следовательно, их можно использовать для изучения экономических циклов. С помощью численного алгоритма Адамса-Башфорта-Мултона были рассчитаны осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что норма накопления как функция от фондоотдачи позволяет корректировать период цикла. Внешний приток инвестиций и новых технологий подчинялся гармоническому закону. Здесь помимо замкнутых фазовых траекторий, могут возникать незамкнутые фазовые траектории, которые возникают в результате резонанса. Также отношение частот определяет форму фазовых траекторий, а сами траектории похожи на фигуры Лиссажу. Поэтому исходя из выше сказанного, модификация (8) классической модели С.В. Дубовского (1) обладает более богатыми свойствами, которые заслуживают отдельного изучения.

About the authors

Danil V. Makarov

Vitus Bering Kamchatka State University; National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek

Author for correspondence.
Email: danil.makarov.pk@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-1033-7611

Junior Researcher at the International Integrative Research Laboratory for Extreme Phenomena in Kamchatka

Russian Federation, Petropavlovsk-Kamchatsky, st. Pogranichnaya, 4; 100174, Tashkent, st. Universitetskaya, 4, Uzbekistan

References

Supplementary files