Mathematical model of the dependence of printing error on the dimensions and angle of the product

Full Text

Введение

Аддитивные технологии – это процессы, используемые для создания трехмерных объектов путем последовательного добавления слоев материала один поверх другого. Область аддитивных технологий и 3D-печати демонстрирует быстрый рост интереса к ним как среди профессионалов, так и среди любителей. С появлением новых методов и материалов для печати, а также с увеличением доступности 3D-принтеров, вопросы, касающиеся надежности и достоверности печати, становятся всё более актуальными.

Изучение способов повышения точности печати зачастую связаны с модификацией конструкции устройства печати [1-2], выбором различных материалов [3], с изменением настроек параметров печати, таких как степень заполнения, число проходов построения оболочки [4-5], толщина слоя [6] и другие, а также с исследованием формы и расположения дополнительных поддерживающих элементов.

Получение новых улучшенных методов повышения точности печати поможет улучшить аддитивное производство изделий. В качестве гипотезы в проводимых исследованиях выступает следующая: увеличить точность печати изделий с помощью аддитивной технологии можно за счет изменения пространственной ориентации трехмерного цифрового чертежа. Это достигается путем анализа геометрической формы чертежа и учета полученных значений отклонений от исходных размеров конкретных элементов изделия, обладающего заданной геометрической формой.

Подобные исследования проведены в статье А.В. Голунова [7], где автор исследует влияние поддерживающих конструкций, требуемых при определенных наклонах изделия на точность печати. В статье И.В. Горатова и других авторов [8] приводятся измерения точности и шероховатости поверхности малогабаритных деталей круглого и квадратного сечения за счет изменения той же характеристики. Также существуют и другие работы, в которых представлено влияние пространственной ориентации трехмерного цифрового чертежа на точность печати, однако количество измерений, проведенных в них, недостаточно для их использования в оптимизации печати.

Постановка задачи

 Целью данной работы является построение математической модели зависимости погрешности печати от размеров и угла наклона изделия экспериментальным методом. Для этого необходимо экспериментально получить значения отклонений размеров готового изделия от его исходных размеров и выявить зависимости между этими отклонениями и пространственной ориентацией (наклоном) элемента (основания или поверхности цилиндра) изделия относительно платформы построения. Дополнительной целью является исследование влияния формы изделия на величину отклонения размера и на величину искажения формы (пластическая деформация вдоль измеряемой характеристики изделия).

Инструменты и методика измерений

Для эксперимента были спроектированы трехмерные цифровые чертежи цилиндров. Всего в САПР (система автоматизированного проектирования) Компас3D было создано 36 трехмерных чертежей изделий с диаметром от 3 мм до 13 мм (шаг 2 мм) и длиной от 5 мм до 30 мм (шаг 5 мм) для каждого диаметра.

В качестве устройства печати был использован трехмерный принтер Elegoo Neptune 4, основные характеристики которого представлены в табл. 1.

Таблица 1. Основные характеристики оборудования печати

Характеристика	Значение
Технология печати	FDM / FFF
Корпус принтера	Открытый
Диаметр нити	1.75 мм
Температура экструдера	300°С
Температура стола	110°С
Область печати	225х225х265 мм
Скорость печати / построения	до 500 мм/сек
Толщина слоя	0.1 - 0.4 мм
Точность по оси XY	± 0.1 мм
Точность по оси Z	± 0.1 мм
Сопло	0.4 мм
Поддерживаемые материалы	PLA, ABS, TPU, PETG, Nylon
Поддерживаемые форматы файлов	.STL, .OBJ
Рабочая температура среды	5°C~40°C

Для преобразования трехмерного цифрового чертежа в инструкции для устройства печати использовалось программное обеспечение OrcaSlicer 2.0. С его помощью производился поворот трехмерного цифрового чертежа, автоматическая расстановка поддержек и формирование G-кода.

Материал печати – Elegoo Generic PETG (Полиэтилентерефталатгликоль, ПЭТГ) – прозрачный аморфный материал. Устойчив к разбавленным кислотам и щелочам, растворам солей, мылам, маслам, спиртам, алифатическим углеводородам. Во всех экспериментальных печатях был использован красный PETG диаметром 1.75 мм, плотностью 1.27 г/см³.

Настройки печати и подготовки были установлены одинаково для всех изделий (табл. 2).

Каждый трехмерный цифровой чертеж проходил через семь преобразований угла наклона от 0° до 90° с шагом 15° относительно поверхности построения устройства печати.

Данный наклон равен наклону основания цилиндра, а для измерения наклона боковой поверхности угол вычитали из 90°. Так, например, при наклоне изделия на 30°, наклон основания равен также 30°, а наклон цилиндрической поверхности – 60°.

Таблица 2. Характеристики настроек подготовки чертежа к печати

Характеристика	Значение
Высота слоя	0,2 мм
Плотность заполнения	15%
Количество периметров на каждом слое	3
Шаблон заполнения поверхности оболочки	Монотонная линия
Шаблон заполнения	Перекрестная решетка
Скорость печати внешних периметров	120 мм/с
Скорость печати заполнения	200мм/с
Скорость печати поддержек	60мм/с
Поддержка	Автоматическая
Пороговый угол поддержки	30°
Шаблон поддержки	Прямолинейный
Температура сопла	240°с
Температура стола	80°с

Настройка чертежей (наклон по осям) осуществлялась за счет функций выбранного слайсера. Для расстановки поддержек использовались внутренние шаблоны программы, которые расставляли их автоматически.

Для измерений использовался цифровой штангенциркуль ADA А00380 с точностью ±0,03 мм и разрешением 0,01 мм. Для хранения и обработки данных использовалось программное обеспечение Microsoft Excel 2021 и PyCharm 2024.3.

Получение значений отклонений размеров напечатанного изделия от его трехмерного цифрового чертежа происходило с помощью нахождения и измерения наименьшего и наибольшего диаметрального и линейного размеров. Измерения производились по всей длине и окружности цилиндра несколько раз, пока не было найдено наименьшее или наибольшее значение. Размер искажения формы – отклонение от цилиндричности, равно разнице полученных значений максимального и минимального размера как диаметра, так и длины цилиндра.

Анализ результатов измерений

 Для определения погрешности измерений образцы были напечатаны шесть раз в одинаковых условиях. С учетом погрешности прибора в 0,03 мм и абсолютной погрешности отсчета в 0,005 мм, полная погрешность с доверительной вероятностью 95 % не превышает ±0,06 мм, а для линейных размеров – ±0,115 мм. Данный интервал отклонений не будет отображаться в дальнейшем на графиках, но будет учтен при составлении выводов. Относительная погрешность измерений не превышает 5 %, что является приемлемым уровнем точности.

В результате получилось 8 таблиц, состоящих из диаграмм сравнения максимальных отклонений при различных размерах. Далее будут разобраны результаты каждого сравнения по отдельности.

В первой таблице приводится сравнение отклонений диаметрального размера (строки таблицы) в миллиметрах для каждого угла наклона (поля таблицы) в зависимости от линейного размера (рис. 1). При визуальном рассмотрении, при увеличении диаметрального и линейных размеров растут и отклонения в большинстве результатов.

Рис. 1. Фрагмент таблицы сопоставления графиков зависимостей линейного размера и абсолютных отклонений для заданных диаметральных размеров по углам наклона

 График искажений по форме практически повторяет график отклонений, но не для каждого варианта сравнения, например, для диаметральных размеров 3 мм и 5 мм при наклоне в 45° есть пересечение графиков для линейных размеров 15 мм и 25 мм, в других случаях присутствуют происходить скачки значений. С увеличением угла наклона растет значение искажения формы изделия. При этом выявить какую-то постоянную зависимость не предоставляется возможным.

Для сравнения отклонений и искажений по углам наклона в зависимости от выбранного диаметрального размера (строки таблицы) для выбранного линейного размера (поля таблицы) была составлена таблица, представленная на рис. 2.

 Рис. 2. Фрагмент таблицы сопоставления графиков зависимостей угла наклона и абсолютных отклонений заданных диаметральных размеров по линейным размерам

 

В третьей и четвертой таблице приводятся те же данные, но отклонения и искажения являются относительной величиной. Как показано на рис. 3, с увеличением линейного размера относительная погрешность увеличивается для малых диаметров, и практически не изменяется для размеров больше чем 7 мм при любых углах наклона.

 

 

 

Рис. 3. Фрагмент таблицы сопоставления графиков зависимостей угла наклона и относительных отклонений для заданных диаметральных размеров по линейным размерам

Из этого следует, что при выборе угла наклона следует учитывать, как заданы допуски печати в техническом задании на печать, в процентах или миллиметрах, а также учитывать абсолютную погрешность измерений.

Если необходимо сохранить исходные размеры в пределах заданного процента от общей формы, то при диаметрах свыше 11 мм нет смысла учитывать линейный размер, как если бы допуск задавался в миллиметрах. В таком случае, при вычислении угла наклона, в котором достигаются минимальное значение отклонения или искажение формы, можно взять усредненные или максимальные значения для всех известных линейных размеров.

Следующая группа таблиц относится к отклонениям линейных размеров и представлена в том же виде, что и для диаметральных размеров.

На рис. 4 представлено сравнение максимальных отклонений линейного размера (строки таблицы) в миллиметрах для каждого угла наклона (поля таблицы) в зависимости от диаметрального размера.

 

Рис. 4. Сопоставления графиков зависимостей диаметрального размера и абсолютных отклонений для заданных линейных размеров по углам наклона

В остальных таблицах приведены данные по линейным размерам: для каждого фиксированного диаметра показано, как абсолютное отклонение меняется в зависимости от угла наклона, а также приведены относительные погрешности, рассчитанные как отношение этих отклонений к номинальному размеру.

Наилучшие результаты, вне зависимости от диаметральных размеров по значениям отклонения и искажения, достигаются при 0^о и 90^о наклона. При другом значении наклона увеличение отклонений растет с увеличением диаметрального размера. Значение искажений линейных размеров никак не связанно с диаметральными размерами, но достаточно близко с значениями отклонений в большинстве случаев.

При появлении нескольких одинаковых значений минимальных отклонений для разных углов наклона следует отдавать предпочтения тем, что совпадают с наклоном, при котором достигается минимальное искажение формы, если не заданы предпочтения в техническом задании.

По результатам сопоставления графиков зависимостей диаметрального размера и относительных отклонений для заданных линейных размеров по углам наклона сделан вывод: чем больше линейный размер, тем меньше процент отклонений и искажения. Начиная с линейного размера 20 мм величина отклонений, и искажений составляют меньше 3 % от изначальной формы.

Метод выбора наилучших углов наклона будет схож с методом для диаметральных размеров для заданных допусков технического задания.

 Интерполяция полученных измерений

В связи с затратами ресурсов и времени проведение экспериментального анализа всех возможных размеров при различных углах наклона неэффективно.

По внешнему виду полученных графиков можно сказать об их характере, что они не линейны и не монотонны. В связи с этим для получения аналитической зависимости было решено использовать методы интерполяции.

В качестве исследуемых были выбраны наиболее популярные и подходящие методы интерполяции:

–   квадратичная интерполяция;

–   кубическая интерполяция;

–   кубическая сплайн интерполяция;

–   монотонная кубическая интерполяция.

В качестве исследуемых значений была взята выборка отклонений диаметрального размера при различных углах наклона для цилиндра с диаметром 11 мм и длинной 20 мм. Результаты интерполяций для интервала 30-45 ^о представлены в математической записи: 

- квадратичная интерполяция

;

- кубическая интерполяция

 

- кубическая сплайн интерполяция

;

- монотонная кубическая интерполяция

;

и проиллюстрированы на рис. 5.

Монотонная кубическая интерполяция продемонстрировала наибольшую стабильность, так как значения отклонений в первых трех и последних двух точках практически совпадают, и прогнозировать нелинейность между ними (как при использовании квадратичной, кубической интерполяции и сплайна) нецелесообразно.

 

Рис. 5. Сравнение значений полученных в результате использования различных методов интерполяции

Для получения промежуточных значений отклонений (и искажений формы) был предложен следующий подход, заключающийся в последовательном применении монотонной кубической интерполяции для получения значений отклонений z для заданных координат x и y, представляющих собой, соответственно, диаметральный и линейный размеры (или наоборот). Далее, этот подход применяется для интерполяции значений, полученных при различных углах наклона.

Пусть задана матрица значений отклонений в виде точек (x₁, x₂, x₃; y₁, y₂, y₃; z), где x_i – значения диаметрального размера, y_i – значения линейного размера, а z – соответствующие значения отклонений. Тогда задача состоит в построении гладкой функции Z(x, y), интерполирующей отклонение z для произвольной точки (x, y) в области, ограниченной заданными значениями x_i и y_i (выбираются из диапазона измеренных значений, к которому принадлежит произвольная точка).

Сначала, для каждого фиксированного значения y = y_i, выполняется монотонная кубическая интерполяция по переменной x. Это позволяет получить функции Z_i(x), интерполирующие зависимость отклонения от диаметрального размера x для каждого линейного размера y_i.  Каждая Z_i(x) строится, как описано ранее:

, ,

где коэффициенты , , ,  определяются для каждого y_i с использованием алгоритма, обеспечивающего монотонность интерполяции (например, алгоритм Фритча-Карлсона [9]).

Далее, для заданного значения x, для каждого y_i находится соответствующее значение Z_i(x). Эти значения рассматриваются как дискретные значения отклонений, соответствующие линейным размерам y_i. Затем выполняется монотонная кубическая интерполяция по переменной y, используя полученные значения Z_i(x). Таким образом, строится функция Z(y), аналогичная Z(x), интерполирующая зависимость отклонения от линейного размера y для фиксированного диаметрального размера x.

В результате, для любой точки (x, y) в области, ограниченной заданными значениями x_i и y_i, можно оценить значение отклонения z, вычислив сначала Z_i(x) для всех y_i, а затем применив интерполяцию по y для получения Z(y). Таким образом, Z(y) представляет собой искомую оценку отклонения z для точки (x, y).

Интерполяция зависимости отклонений от угла наклона остается аналогичной описанной в предыдущем ответе, но теперь в качестве входных данных для каждого угла наклона R_i используются не дискретные значения отклонений, а функции Z(x, y, R_i), полученные в результате двумерной интерполяции отклонений для заданного угла. Далее, для фиксированных значений x и y, выполняется интерполяция значений Z(x, y, R_i) по углу R, чтобы получить функцию Z(R), интерполирующую зависимость отклонения от угла наклона для заданных размеров x и y.

Проведя расчеты по предложенному подходу для размеров цилиндра – диаметр 4 мм, длина 18 мм, получаем следующий результат вычислений представленный ниже.

Выбранные интервалы диаметральных размеров (x) 3-5 мм и 5-7 мм. Выбранные интервалы линейных размеров (y) 15-20 мм и 20-25 мм.

Полученная формула расчета интерполяции на интервале x   [3…5] и :

1. Интерполяция по x для фиксированного y и R. Для каждого угла R (0, 15, 30, 45, 60, 75, 90) и каждого значения y (15 и 20 мм), применяем алгоритм Фритча-Карлсона по x. Например, R=0^о, y=15 мм, мм, мм, мм, мм, мм, мм, тогда для определение коэффициентов для функции Z(x):
2. ;
3. – производная на краю интервала;
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  

Все этапы повторяем для остальных R и для значений при y=20. В результате получаем .

Для получения интерполяции при значении y=18 повторяем алгоритм. Например, R=0^о, x=4 мм, мм, мм, мм, мм:

1. ;
2.  
3.  

Все этапы повторяем для остальных R, в результате получаем . Промежуточный результат представлен в табл. 3.

Таблица 3. Полученные значения

R, o	Z, мм	R, o	Z, мм
0	0.188	60	0.294
15	0.199	75	0.289
30	0.186	90	0.219
45	0.207

 

В конце выполняем интерполяцию по R по полученным  с шагом 1°. Визуализация результата представлена на рис. 6. Наименьшее значение отклонения наблюдается при угле наклона 45°, а наибольшее – при 75°.

Упрощенный алгоритм двумерной интерполяции выглядит следующим образом:
Для каждого угла R:

- для каждого фиксированного значения : интерполировать  по ;

- для заданного значения x: вычислить для всех → затем интерполировать полученные данные по  →  для произвольной пары ;

- затем для фиксированных : интерполировать  по R, для оценки отклонения при любом промежуточном угле наклона.

 Рис. 6. Результаты монотонной кубической интерполяции по углам наклона

Предложенный двухэтапный подход позволяет эффективно оценивать отклонения и искажения формы цилиндрических объектов без необходимости проведения полного экспериментального анализа.

Заключение

В ходе эксперимента получены количественные данные абсолютных и относительных геометрических погрешностей трехмерной печати цилиндров длиной 5–30 мм и диаметром 3–13 мм при углах наклона к плоскости построения от 0° до 90°.

Установлено, что с ростом габаритов изделия абсолютные отклонения реальных размеров от номинальных возрастают, а относительные – снижаются. Это обосновывает необходимость внедрения в технические задания адаптивной системы допусков, учитывающей длину, диаметр и их соотношение.

Выявлено, что углы наклона 0° и 90° обеспечивают высокую точность печати боковой поверхности цилиндра, однако оптимальный угол, при котором сохраняется постоянный диаметр поперечного сечения, зависит от размеров детали и не является универсальным.

Предложенный метод последовательной интерполяции промежуточных значений геометрических отклонений и искажений формы, основанный на монотонной кубической интерполяции по алгоритму Фритча–Карлсона, позволяет определять оптимальную пространственную ориентацию изделия для обеспечения заданной точности.

Полученные результаты справедливы для печати из PETG на принтере Elegoo Neptune 4 при указанных в работе параметрах; для других материалов, геометрий и устройств необходимы дополнительные эксперименты.

В дальнейшем планируется расширить экспериментальную базу и разработать программное обеспечение для автоматической оптимизации угла наклона, что позволит повысить точность FDM-печати, эффективность аддитивного производства и его доступность.

__________________________________

© Вехтева Н.А., Литовка Ю.В., 2025

About the authors

Nadezhda A. Vekhteva

Tambov State Technical University

Author for correspondence.
Email: magicanloner@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9578-1190

graduate student

Russian Federation, 106/5 Sovetskaya str., Tambov 392000, Russia

Yuriy V. Litovka

Tambov State Technical University

Email: polychem@list.ru

Dr. Sc. (Technical), Professor

Russian Federation, 106/5 Sovetskaya str., Tambov 392000, Russia

References

Supplementary files