Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 87, № 3 (2023)
Статьи
Памяти Игоря Ростиславовича Шафаревича
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):3-4
3-4
Ramification filtration and differential forms
Аннотация
Let $L$ be a complete discrete valuation field of prime characteristic $p$ with finite residue field. Denote by $\Gamma_{L}^{(v)}$ the ramification subgroups of $\Gamma_{L}=\operatorname{Gal}(L^{\mathrm{sep}}/L)$. We consider the category $\operatorname{M\Gamma}_{L}^{\mathrm{Lie}}$ of finite $\mathbb{Z}_p[\Gamma_{L}]$-modules $H$, satisfying some additional (Lie)-condition on the image of $\Gamma_L$ in $\operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_p}H$. In the paper it is proved that all information about the images of the groups $\Gamma_L^{(v)}$ in $\operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_p}H$ can be explicitly extracted from some differential forms $\widetilde{\Omega} [N]$ on the Fontaine etale $\phi $-module $M(H)$ associated with $H$. The forms $\widetilde{\Omega}[N]$ are completely determined by a canonical connection $\nabla $ on $M(H)$. In the case of fields $L$ of mixed characteristic, which contain a primitive $p$th root of unity, we show that a similar problem for $\mathbb{F}_p[\Gamma_L]$-modules also admits a solution. In this case we use the field-of-norms functor to construct the corresponding $\phi $-module together with the action of the Galois group of a cyclic extension $L_1$ of $L$ of degree $p$. Then our solution involves the characteristic $p$ part (provided by the field-of-norms functor) and the condition for a “good” lift of a generator of $\operatorname{Gal}(L_1/L)$. Apart from the above differential forms the statement of this condition uses the power series coming from the $p$-adic period of the formal group $\mathbb{G}_m$.Bibliography: 21 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):5-22
5-22
Когерентные пучки, классы Чженя и суперсвязности на компактных комплексно-аналитических многообразиях
Аннотация
Мы строим твист-замкнутое оснащение ограниченной производной категории $\mathcal{D}^b_{\mathrm{coh}} (X)$ комплексов $\mathcal{O}_X$-модулей с когерентными когомологиями с помощью DG-категории $\overline\partial$-суперсвязностей. Мы используем технику $\overline\partial$-суперсвязностей, чтобы определить классы Чженя и классы Ботта–Чженя для объектов этой категории, в частности, для когерентных пучков.Библиография: 32 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):23-55
23-55
56-74
On higher-dimensional del Pezzo varieties
Аннотация
We study del Pezzo varieties, higher-dimensional analogues of del Pezzo surfaces. In particular, we introduce ADE classification of del Pezzo varieties, show that in type $\mathrm A$ the dimension of non-conical del Pezzo varieties is bounded by $12 - d - r$, where $d$ is the degree and $r$ is the rank of the class group, and classify maximal del Pezzo varieties. Bibliography: 41 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):75-148
75-148
О локальной фундаментальной группе дополнения к кривой в нормальной поверхности
Аннотация
В статье мы даем копредставление фундаментальной группы дополнения к кривой $C$ в ее “трубчатой” окрестности в нормальной комплексной поверхности $S$. Копредставление дано в терминах двойственного частично двувзвешенного графа разрешения особенностей кривой $C$ (и поверхности $S$) и является обобщением на общий случай данного Мамфордом копредставления фундаментальной группы дополнения к нормальной особенности в ее окрестности в случае, когда граф разрешения особенности является деревом, и все исключительные компоненты разрешения являются рациональными кривыми.Библиография: 11 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):149-174
149-174
Rational points of algebraic varieties: a homotopical approach
Аннотация
This article, dedicated to the 100-th anniversary of I. R. Shafarevich, is a survey of techniques of homotopical algebra, applied to the problem of distribution of rational points on algebraic varieties.We due to I. R. Shafarevich, jointly with J. Tate, one of the breakthrough discoveries in this domain: construction of the so-called Shafarevich–Tate groups and the related obstructions to the existence of rational points. Later it evolved into the theory of Brauer–Manin obstructions.Here we focus on some facets of the later developments in Diophantine geometry: the study of the distribution of rational points on them.More precisely, we show how the definition of accumulating subvarieties, based upon counting the number of points whose height is bounded by varying $H$, can be encoded by a special class of categories in such a way that the arithmetical invariants of varieties are translated into homotopical invariants of objects and morphisms of these categories.The central role in this study is played by the structure of an assembler (I. Zakharevich) in general, and a very particular case of it, anassembler on the family of unions of half-open intervals $(a,b]$ with rational ends.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):175-183
175-183
Специальная геометрия Бора–Зоммерфельда: вариации
Аннотация
Продолжаются исследования специальной геометрии Бора–Зоммерфельда компактных симплектических многообразий. Используя естественные параметры деформации, мы обходим трудности, возникшие при определении многообразия модулей специальных циклов Бора–Зоммерфельда для компактных односвязных алгебраических многообразий. В качестве приложения представлены замечания о том, как предложенные конструкции могут быть использованы в исследованиях структур Вейнстейна и гипотез Элиашберга.Библиография: 8 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):184-205
184-205
Log adjunction: moduli part
Аннотация
Upper moduli part of adjunction is introduced and its basic property are discussed. The moduli part is b-Cartier in the case of rational multiplicities and is b-nef in the maximal case.Bibliography: 17 titles.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2023;87(3):206-230
206-230