Parametric interaction of modes in the presence of quadratic or cubic nonlinearity

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The purpose of this work is a study of the dynamics of the systems of ordinary differential equations of the second order, which is obtained using the Lagrange formalism. These systems describe the parametric interaction of oscillators (modes) in the presence of a general quadratic or cubic nonlinearity. Also, we compare the dynamics of the systems of ordinary differential equations of the second order and dynamics of the Vyshkind–Rabinovich and Rabinovich–Fabrikant models in order to determine the possibilities of the latter models when modeling coupled oscillators of the above type. Methods. The study is based on the numerical solution using the methods of the theory of the obtained analytically differential equations. Results. For both systems of second-order differential equations, is was presented a chart of in the parameter plane, a graphs of Lyapunov exponents at the value of the parameter that specifies the dissipation of oscillators, a time dependences of the generalized coordinates of oscillators and its amplitudes, portraits of attractors, a projection of the attractors on a phase planes of oscillators. A comparison with the dynamics of the Vyshkind–Rabinovich and Rabinovich–Fabrikant models is carried out. These models are three-dimensional real approximations of the above systems obtained by the method of slowly varying amplitudes. Conclusion. The study of the constructed systems showed that in the parameter space there are regions corresponding to both various regular regimes, such as the equilibrium position, limit cycle, two-frequency tori, and chaotic regimes. For both systems, it was shown that the transition to chaos occurs as a result of a sequence of period doubling bifurcations of the tori. In addition, a comparison of the dynamics of the constructed systems with the dynamics of the Vyshkind–Rabinovich and Rabinovich–Fabrikant models allows us to assert that if the Vyshkind–Rabinovich model predicts the dynamics of the corresponding initial system well enough, then the Rabinovich–Fabrikant model does not have such a property.

About the authors

L. V. Turukina

Saratov State University; Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences

ORCID iD: 0000-0002-4221-8900
Scopus Author ID: 6506227030
ResearcherId: E-3581-2013
ul. Astrakhanskaya, 83, Saratov, 410012, Russia

References

  1. Демидов В. Е., Ковшиков Н. Г. Механизм возникновения и стохастизации автомодуляции интенсивных спиновых волн // Журнал технической физики. 1999. Т. 69, № 8. С. 100–103.
  2. Романенко Д. В. Генерация хаотической последовательности СВЧ-импульсов в автоколебательной системе с ферромагнитной плёнкой // Известия вузов. ПНД. 2012. Т. 20, № 1. С. 67–74. doi: 10.18500/0869-6632-2012-20-1-67-74.
  3. Wersinger J.-M., Finn J. M., Ott E. Bifurcation and ”strange” behavior in instability saturation by nonlinear three-wave mode coupling // The Physics of Fluids. 1980. Vol. 23, no. 6. P. 1142–1154. doi: 10.1063/1.863116.
  4. Savage C. M., Walls D. F. Optical chaos in second-harmonic generation // Optica Acta: International Journal of Optics. 1983. Vol. 30, no. 5. P. 557–561. doi: 10.1080/713821254.
  5. Lythe G. D., Proctor M. R. E. Noise and slow-fast dynamics in a three-wave resonance problem // Physical Review E. 1993. Vol. 47, no. 5. P. 3122–3127. doi: 10.1103/PhysRevE.47.3122.
  6. Кузнецов C. П. Параметрический генератор хаоса на варакторном диоде с распадным механизмом ограничения неустойчивости // Журнал технической физики. 2016. Т. 86, № 3. С. 118–127.
  7. Пиковский А. С., Рабинович М. И., Трахтенгерц В.Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1978. Т. 74, № 4. С. 1366–1374.
  8. Вышкинд С. Я., Рабинович М. И. Механизм стохастизации фаз и структура волновой турбулентности в диссипативных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1976. T. 71, № 2. С. 557–571.
  9. Рабинович М. И., Фабрикант А. Л. Стохастическая автомодуляция волн в неравновесных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1979. Т. 77, № 2. С.617–629.
  10. Кузнецов С. П., Тюрюкина Л. В. Сложная динамика и хаос в электронном автогенераторе с насыщением, обеспечиваемым параметрическим распадом // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, № 1. С. 33–47. doi: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-33-47.
  11. Danca M.-F., Chen G. Bifurcation and chaos in a complex model of dissipative medium // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14, no. 10. P. 3409–3447. DOI: 10.1142/ S0218127404011430.
  12. Danca M.-F., Feckan M., Kuznetsov N., Chen G. Looking more closely at the Rabinovich– Fabrikant system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2016. Vol. 26, no. 2. P. 1650038. doi: 10.1142/S0218127416500383.
  13. Liu Y., Yang Q., Pang G. A hyperchaotic system from the Rabinovich system // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234, no. 1. P. 101–113. doi: 10.1016/j.cam. 2009.12.008.
  14. Agrawal S. K., Srivastava M., Das S. Synchronization between fractional-order Ravinovich– Fabrikant and Lotka–Volterra systems // Nonlinear Dynamics. 2012. Vol. 69, no. 4. P. 2277–2288. doi: 10.1007/s11071-012-0426-y.
  15. Srivastava M., Agrawal S. K., Vishal K., Das S. Chaos control of fractional order Rabinovich– Fabrikant system and synchronization between chaotic and chaos controlled fractional order Rabinovich–Fabrikant system // Applied Mathematical Modelling. 2014. Vol. 38, no. 13. P. 3361– 3372. doi: 10.1016/j.apm.2013.11.054.
  16. Danca M.-F. Hidden transient chaotic attractors of Rabinovich–Fabrikant system // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 86, no. 2. P. 1263–1270. doi: 10.1007/s11071-016-2962-3.
  17. Danca M.-F., Kuznetsov N., Chen G. Unusual dynamics and hidden attractors of the Rabinovich– Fabrikant system // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 88, no. 1. P. 791–805. doi: 10.1007/s11071- 016-3276-1.
  18. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Тюрюкина Л. В. Сложная динамика и хаос в модельной системе Рабиновича–Фабриканта // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. 2019. T. 19, № 1. С. 4–18. doi: 10.18500/1817-3020-2019-19-1-4-18.
  19. Кузнецов С. П., Тюрюкина Л. В. Обобщенная система Рабиновича–Фабриканта: уравнения и динамика // Известия вузов. ПНД. 2022. T. 30, № 1. С. 7–29. doi: 10.18500/0869-6632-2022- 30-1-7-29.
  20. Тюрюкина Л. В. Динамика системы Рабиновича–Фабриканта и ее обобщенной модели в случае отрицательных значений параметров, имеющих смысл коэффициентов диссипации // Известия вузов. ПНД. 2022. T. 30, № 6. С. 685–701. doi: 10.18500/0869-6632-003015.
  21. Hocking L. M., Stewartson K. On the nonlinear response of a marginally unstable plane parallel flow to a two-dimensional disturbance // Proc. R. Soc. Lond. A. 1972. Vol. 326, no. 1566. P. 289–313. doi: 10.1098/rspa.1972.0010.
  22. Kuramoto Y., Yamada T. Turbulent state in chemical reactions // Progress of Theoretical Physics. 1976. Vol. 56, no. 2. P. 679–681. doi: 10.1143/PTP.56.679.
  23. Кузнецов А. П., Сатаев И. Р., Тюрюкина Л. В. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, № 10. С. 73–80.
  24. Pazo D., Sanchez E., Matıas M. A. Transition to high-dimensional chaos through quasiperiodic motion // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. Vol. 11, no. 10. P. 2683–2688. doi: 10.1142/S0218127401003747.
  25. Kuznetsov A. P., Sataev I. R., Turukina L. V. Regional structure of two- and three-frequency regimes in a model of four phase oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2022. Vol. 32, no. 3. P. 2230008. doi: 10.1142/S0218127422300087.
  26. Кузнецов C. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 356 c.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».