Отправить статью по E-mail К вопросу о численном решении неконсервативных гиперболических систем уравнений
- Авторы: Полехина Р.Р1, Алексеев М.В1, Савенков Е.Б1
-
Учреждения:
- Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
- Выпуск: Том 59, № 7 (2023)
- Страницы: 968-982
- Раздел: Статьи
- URL: https://ogarev-online.ru/0374-0641/article/view/141742
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064123070105
- EDN: https://elibrary.ru/GVFCXZ
- ID: 141742
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Численно исследованы вопросы, связанные с отсутствием сходимости при применении формально консервативных по пути разностных схем для решения неконсервативных гиперболических систем уравнений. Эта проблема является центральной при построении корректных разностных схем для решения указанного класса задач. Изложены базовые понятия теории неконсервативных гиперболических систем уравнений и соответствующие проблемы построения разностных схем для их решения. Предложен вариант метода HLL, позволяющий использовать произвольный явно заданный путь. Для модельной системы уравнений Бюргерса явно вычислены ударные адиабаты и пути, соответствующие вязкой регуляризации системы заданного вида. Проанализированы причины отсутствия сходимости численных решений к точным при некорректном применении соответствующих алгоритмов. Показано, что по крайней мере в частном рассмотренном случае формально консервативный по пути вариант метода HLL даёт правильное решение задачи.
Об авторах
Р. Р Полехина
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Email: Polekhina@keldysh.ru
Москва, Россия
М. В Алексеев
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Email: mikhail.alekseev@phystech.edu
Москва, Россия
Е. Б Савенков
Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: e.savenkov@gmail.com
Москва, Россия
Список литературы
- LeFloch P.G., Mohammadian M. Why many theories of shock waves are necessary: kinetic functions, equivalent equations, and fourth-order models // J. of Comput. Phys. 2008. V. 227. № 8. P. 4162-4189.
- Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. Новосибирск, 1979.
- Karni S. Viscous shock profiles and primitive formulations // SIAM J. on Numer. Anal. 1992. V. 29. № 6. P. 1592-1609.
- Tadmor E. The numerical viscosity of entropy stable schemes for systems of conservation laws. I // Math. Comp. 1987. V. 49. P. 91-103.
- Tadmor E., Zhong W. Novel entropy stable schemes for 1D and 2D fluid equations // Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications. / Eds. S. Benzoni-Gavage, D. Serre. Berlin; Heidelberg, 2008.
- Castro M.J. et al. Entropy conservative and entropy stable schemes for nonconservative hyperbolic systems // SIAM J. on Numer. Anal. 2013. V. 51. № 3. P. 1371-1391.
- LeFloch P., Mishra S. Numerical methods with controlled dissipation for small-scale dependent shocks // Acta Numerica. 2014. V. 23. P. 743-816.
- Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14. Вып. 2 (86). C. 87-158.
- Петровский И.Г. О проблеме Cauchy для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. Московского гос. ун-та. Cекц. А. Математика и механика. 1938. Т. 1. Вып. 7.
- Majda A., Pego L. Stable viscosity matrices for systems of conservation laws // J. of Differ. Equat. 1985. V. 56. № 2. P. 229-262.
- Вольперт А.И. Пространства $BV$ и квазилинейные уравнения // Мат. сб. 1967. Т. 73 (115). № 2. С. 255-302.
- LeFloch P., Liu T.-P. Existence theory for nonlinear hyperbolic systems in nonconservative form. Berlin; New York, 1993.
- Dal Maso G., Lefloch P.G., Murat F. Definition and weak stability of nonconservative products // J. de Math. Pur. et Appl. 1995. V. 74. № 6. P. 483-548.
- Colombeau J.-F. Multiplication of distributions // Bull. of the Amer. Math. Soc. 1990. V. 23. № 2. P. 251-268.
- Alouges F., Merlet B. Approximate shock curves for non-conservative hyperbolic systems in one space dimension // J. of Hyperbolic Differ. Equat. 2004. V. 1. № 4. P. 769-788.
- Lax P. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves // CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. V. 11. SIAM, 1973.
- Baer M.R., Nunziato J.W. A two-phase mixture theory for the deflagration-to-detonation transition (DDT) in reactive granular materials // Int. J. of Multiphase Flow. 1986. V. 2. № 6. P. 861-889.
- Toumi I. A weak formulation of Roe's approximate Riemann solver // J. of Comput. Phys. 1992. V. 102. № 2. P. 360-373.
- Dumbser M., Balsara D.S. A new efficient formulation of the HLLEM Riemann solver for general conservative and non-conservative hyperbolic systems // J. of Comput. Phys. 2016. V. 304. P. 275-319.
- Par\'es C. Numerical methods for nonconservative hyperbolic systems: atheoretical framework // SIAM J. on Numer. Anal. 2006. V. 44. № 1. P. 300-321.
- Berthon C. Sch\'ema nonlin\'eaire pour l'approximation num\'erique d'un syst\'eme hyperbolique non conservatif // Comptes Rendus Mathematique. 2002. V. 335. № 12. P. 1069-1072.
- Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М., 1998.
- Pimentel-Garc\'\ia E., Castro M.J., Chalons C., de Luna T.M., Par\'es C. In-cell discontinuous reconstruction path-conservative methods for non conservative hyperbolic systems-Second-order extension // J. of Comput. Phys. 2022. V. 459. P. 111152.
- Chalons C. Path-conservative in-cell discontinuous reconstruction schemes for non conservative hyperbolic systems // Commun. Math. Sci. 2020. V. 18. № 1. P. 1-30.
- Polekhina R.R., Korneev B.A., Savenkov E.B. Numerical study of multiphase hyperbolic models // J. of Comput. and Appl. Math. 2023. V. 423. P. 114925.
Дополнительные файлы
