АПОСТЕРИОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ ЗАДАЧИ СТОКСА

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Получены функциональные тождества, выполняющиеся для разности между заданной функцией и решением обобщённой задачи Стокса. Ограничения на вид этой функции минимальны и сводятся к требованию принадлежности к тому функциональному классу, который содержит решение задачи. Левые части тождеств представляют собой взвешенную сумму норм и характеризуют отклонения от точных полей скоростей и напряжений. Правые части включают в себя ряд слагаемых, некоторые из них вычисляются по данным задачи и известным приближённым решениям, а другие могут быть оценены. Показано, что в результате неизвестные слагаемые можно исключить и получить полностью вычисляемые двусторонние оценки расстояния до решения задачи. Такие тождества и вытекающие из них оценки можно использовать для оценки погрешности приближённых решений, найденных с помощью самых разных методов. Они верны как для соленоидальных аппроксимаций, так и для аппроксимаций, удовлетворяющих условию несжимаемости лишь с некоторой степенью точности. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что даёт возможность оценивать ошибки математических моделей, например, возникающих при изменении (упрощении) коэффициентов дифференциального уравнения или при замене условия несжимаемости более слабыми условиями.

Об авторах

С. И Репин

Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В.А. Стеклова РАН

Email: repin@pdmi.ras.ru

Список литературы

  1. Михлин, С.Г. Вариационные методы математической физики / С.Г. Михлин. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука, 1970. — 512 с.
  2. Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. — New York : Springer-Verlag, 1991. — 362 p.
  3. Репин, С.И. Оценки отклонения от точных решений некоторых краевых задач с условием несжимаемости / С.И. Репин // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, № 5. — C. 124–161.
  4. Repin, S. A Posteriori Estimates for Partial Differential Equations / S. Repin. — Berlin : Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 2008. — 328 p.
  5. Repin, S. Two-sided estimates of deviation from exact solutions of uniformly elliptic equations / S. Repin // Proc. of the St. Petersburg Math. Soc., V. IX. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. — 2003. — V. 209. — P. 143–171.
  6. Repin, S.I. Accuracy of Mathematical Models: Dimension Reduction, Homogenization, and Simplification / S.I. Repin, S.A. Sauter. — Z¨urich : European Math. Soc., 2020. — 335 p.
  7. Repin, S. A posteriori estimates for the Stokes problem / S. Repin // J. Math. Sci. (New York). — 2002. — V. 109, № 5. — P. 1950–1964.
  8. Repin, S. Estimates of deviations from the exact solution of a generalized Oseen problem / S. Repin // J. Math. Sci. (New York). — 2013. — V. 195, № 1. — P. 64–75.
  9. Brezzi, F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrange multipliers / F. Brezzi // R.A.I.R.O. Annalyse Num´erique. — 1974. — V. 8, № R2. — P. 129–151.
  10. Neˇcas, J. Les M´ethodes Directes en Th´eorie des Equations Elliptiques / J. Neˇcas. — Paris : Masson ´ et Cie ; Prague : Academia, 1967. — 372 p.
  11. Ladyzenskaja, O.A. Some problems of vector analysis, and generalized formulations of boundary value problems for the Navier–Stokes equation / O.A. Ladyzenskaja, V.A. Solonnikov // J. Math. Sci. — 1978. — V. 10. — P. 257–286.
  12. Repin, S. On projections to subspaces of vector valued functions subject to conditions of the divergence free type / S. Repin // Записки науч. сем. ПОМИ. — 2017. — V. 459. — P. 83–103.
  13. Репин, С.И. Тождество для отклонений от точного решения задачи Λ*𝐴Λ𝑢+ℓ = 0 и его следствия / С.И. Репин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2021. — T. 61, № 12. — С. 1986–2009.
  14. Ладыженская, О.А. О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей / О.А. Ладыженская // Записки науч. сем. ПОМИ. — 2003. — T. 306. — C. 92–106.
  15. Dobrowolski M. On the LBB constant on stretched domains / M. Dobrowolski // Math. Nachr. — 2003. — V. 254–255. — P. 64–67.
  16. Ольшанский, М.А. О наилучшей константе в inf-sup-условии для вытянутых прямоугольных областей / М.А. Ольшанский, Е.В. Чижонков // Мат. заметки. — 2000. — Т. 67, № 3. — С. 387–396.
  17. Kessler, M. Die Ladyzhenskaya-Konstante in der numerischen Behandlung von Stromungsproblemen Dissertation zur Erlangung des naturwissenschaftlichen, Doktorgrades der Bayerischen JuliusMaximilians-Universit¨at W¨urzburg / M. Kessler. — Wurzburg, 2000.
  18. Payne, L.E. A bound for the optimal constant in an inequality of Ladyzhenskaya and Solonnikov / L.E. Payne // IMA J. Appl. Math. — 2007. — V. 72. — P. 563–569.
  19. The inf-sup constant for the divergence on corner domains / M. Costabel, M. Crouzeix, M. Dauge, Y. Lafranche // Numer. Meth. Part. Differ. Equat. — 2015. — V. 31, № 2. — P. 439–458.
  20. Stoyan, G. Towards discrete Velte decompositions and narrow bounds for inf-sup constants / G. Stoyan // Computers & Mathematics with Applications. — 1999. — V. 38, № 7–8. — P. 243–261.
  21. Ekeland, I. Convex Analysis and Variational Problems / I. Ekeland, R. Temam. — New York : North-Holland, 1976. — 402 p.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Российская академия наук, 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».