OPERATOR METHODS FOR INVESTIGATING STABILITY AND BIFURCATION PROBLEMS IN A SYSTEM REACTION–DIFFUSION AND THEIR APPLICATIONS


Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The article discusses the issues of studying stability and bifurcations in the reaction–diffusion system in a bounded domain with homogeneous Neumann boundary conditions. The main results of the article concern the study of problems of local bifurcations in the vicinity of spatially homogeneous equilibrium positions. A general scheme is proposed that allows us to obtain new formulas for studying the main characteristics of multiple equilibrium bifurcation and bifurcation Andronov–Hopf: sufficient signs of bifurcations, their type, approximate construction of solutions, stability analysis. The proposed approaches do not require complex and cumbersome transformations, the results obtained are brought to calculation formulas and algorithms. Some applications in problems of diffusion instability and corresponding bifurcations in reaction–diffusion systems are also discussed. The distributed model of the “brusselator” is considered as the main illustrative example.

About the authors

M. G. Yumagulov

Ufa University of Science and Technology

Email: yum_mg@mail.ru
Russia

N. A. Vasenina

Ufa University of Science and Technology

Email: zhiber.na@gmail.com
Russia

R. I. Gabdrahmanov

Ufa University of Science and Technology

Email: gabdrahmanov.robert@gmail.com
Russia

References

  1. Свирежев, Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии / Ю.М. Свирежев. — М. : Наука, 1987. — 368 c.
  2. Svirezhev, Yu.M., Nelineinye volni, dissipativnye strukturi i katastrophi v ekologii (Nonlinear Waves, Dissipative Structures and Catastrophes in Ecology), Moscow: Nauka, 1987.
  3. Мюррей, Дж. Математическая биология. Т. 1. Введение / Дж. Мюррей ; пер. с англ. Л.С. Ванаг, А.Н. Дьяконова. — М.–Ижевск : НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Институт космических исследований, 2009. — 776 с.
  4. Murray, J.D. Mathematical Biology. Vol. 1: An Introduction, New York: Springer-Verlag, 2007.
  5. Братусь, А.С. Динамические системы и модели биологии / А.С. Братусь, А.С. Новожилов, А.П. Платонов ; под ред. Ю.А. Тюриной. — М. : Физматлит, 2010. — 436 с.
  6. Bratus, A.S., Novozhilov, A.S., and Platonov, A.P., Dynamiteskye systemi i modeli biologyi (Dynamical Systems and Models of Biology), Moscow: Fizmatlit, 2010.
  7. Борина, М.Ю. Диффузионная неустойчивость в трехкомпонентной модели типа “реакция–диффузия” / М.Ю. Борина, А.А. Полежаев // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3, № 2. — С. 135–146.
  8. Borina, M.Yu. and Polezhaev, A.A., Diffusion instability in a three-component model of the “reaction–diffusion” type, Computer Research and Modeling, 2011, vol. 3, no. 2, pp. 135–146.
  9. Кузнецов, М.Б. Исследование формирования структур Тьюринга под влиянием волновой неустойчивости / М.Б. Кузнецов // Компьютерные исследования и моделирование. — 2019. — Т. 11, № 3. — С. 397–412.
  10. Kuznetsov, M.B., Investigation of the formation of Turing structures under the influence of wave instability, Computer Research and Modeling, 2019, vol. 11, no. 3, pp. 397–412.
  11. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн ; пер. с англ. Ю.А. Кузнецова ; под ред. Э.Э. Шноля. — М. : Мир, 1985. — 280 с.
  12. Hassard, B.D., Kazarinoff, N.D., and Wan, Y.H., Theory and Applications of Hopf Bifurcation, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1981.
  13. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Крекен ; пер. с англ. Л.М. Лермана ; под ред. Н.Н. Баутина и Е.А. Леонтович. — М. : Мир, 1980. — 368 с.
  14. Marsden, J.E. and McCracken, M., The Hopf Bifurcation and its Applications, New York: Springer-Verlag, 1976.
  15. Магницкий, Н.А. Теория динамического хаоса / Н.А. Магницкий. — М. : URSS, 2011. — 320 с.
  16. Magnitsky, N.A.,Teoriya dinamiteskogo hausa (Theory of Dynamic Chaos), Moscow: URSS, 2011.
  17. Benson, D.L. Unravelling the Turing bifurcation using spatially varying diffusion coefficients / D.L. Benson, P.K. Maini, J.A. Sherratt // J. Math. Biol. — 1998. — V. 37. — P. 381–417.
  18. Abushahmina, G.R. Lyapunov quantities for Andronov–Hopf bifurcation problem in reaction–diffusion systems / G.R. Abushahmina, N.I. Gusarova, M.G. Yumagulov // Lobachevskii J. Math. — 2021. — V. 42, № 15. — P. 3567–3573.
  19. Юмагулов, М.Г. Спектральные свойства операторов системы “реакция–диффузия” и признаки бифуркаций / М.Г. Юмагулов, Н.А. Васенина // Вестн. Пермск. ун-та. Математика, механика, информатика. — 2024. — Т. 65, № 2. — С. 17–25.
  20. Yumagulov, M.G. and Vasenina, N.A., Spectral properties of the operators of the reaction–diffusion system and signs of bifurcations, Bull. of the Perm University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2024, vol. 65, no. 2, pp. 17–25.
  21. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри ; пер. с англ. А.Ю. Далецкого ; под ред. Ю.Л. Далецкого. — М. : Мир, 1985. — 376 с.
  22. Henry, D., Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1981.
  23. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа ; пер. с англ. В.А. Осотова. — М.–Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2009. — 548 с.
  24. Shilnikov, L.P., Shilnikov, A.L., Turaev, D.V., and Chua, L., Metodi kachestvennoi teorii nelineinoi dinamiki. Chast 2 (Methods of Qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 2), Moscow; Izhevsk: Institute of Computer Research, 2009.
  25. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс ; пер. с англ. А.П. Иванова ; под общ. ред. А.Д. Морозова. — М.—Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 с.
  26. Guckenheimer, J. and Holmes, P., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, 2002.
  27. Юмагулов, М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах / М.Г. Юмагулов // Докл. Академии наук. — 2009. — Т. 424, № 2. — С. 177–180.
  28. Yumagulov, M.G., An operator method for investigating correct bifurcation in multiparametric systems, Dokl. Math., 2009, vol. 79, no. 1, pp. 41–44.
  29. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах / А.А. Вышинский, Л.С. Ибрагимова, С.А. Муртазина, М.Г. Юмагулов // Уфимск. мат. журн. — 2010. — Т. 2, № 4. — С. 3–26.
  30. Vyshinsky, A.A., Ibragimova, L.S., Murtazina, S.A., and Yumagulov, M.G., Operator method of approximate investigation of correct bifurcation in multiparametric dynamical systems, Ufa Math. J., 2010, vol. 2, no. 4, pp. 3–26.
  31. Операторные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем / Н.И. Гусарова, С.А. Муртазина, М.Ф. Фазлытдинов, М.Г. Юмагулов // Уфимск. мат. журн. — 2018. — Т. 10, № 1. — С. 25–49.
  32. Gusarova, N.I., Murtazina, S.A., Fazlytdinov, M.F., and Yumagulov, M.G., Operator methods for calculating Lyapunov values in problems on local bifurcations of dynamical systems, Ufa Math. J., 2018, vol. 10, no. 1, pp. 25–48.
  33. Бицадзе, А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / А.В. Бицадзе. — М. : Наука, 1966. — 336 с.
  34. Bitsadze, A.V., Kraevye zadachi dlya ellipticheskih uravneney vtorogo poryadka (Boundary Value Problems for Elliptic Equations of the Second Order), Moscow: Nauka, 1966.
  35. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. — М. : Наука, 1975. — 512 с.
  36. Krasnoselsky, M.A. and Zabreiko, P.P., Geometricheskie metody nelineinogo analiza (Geometric Methods of Nonlinear Analysis), Moscow: Nauka, 1975.
  37. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като ; пер. с англ. Г.А. Воропаевой, А.М. Степина, И.А. Шишмарева ; под ред. В.П. Маслова. — М. : Мир, 1972. — 740 с.
  38. Kato, T., Perturbation Theory for Linear Operators, Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1966.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».