ELASTIC JUNCTIONS OF A PLATE WITH RODS AND SELF-ADJOINT EXTENSIONS OF DIFFERENTIAL OPERATORS


Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We construct asymptotics of natural oscillations of elastic junctions composed of a thin horizontal plate and several vertical rods joined to it. This construction is rigidly fixed along the plate edge and the exterior end-faces of the rods while physical properties of its elements are chosen such that in the mid-frequency range of the spectrum the limiting spectral problems consists of a self-adjoint operator obtained as extensions of differential operators, namely, a bi-harmonic one in plate’s longitudinal section and ordinary second-order differential operators at rod’s axes. The low-frequency range of the spectrum is formed by eigenvalues of the Dirichlet problem for ordinary forth-order differential operators describing transverse oscillations of rods with fixed ends. Justification of asymptotic formulas is performed by means of anisotropic Korn’s inequality and the classical lemma on “almost eigenvalues”.

About the authors

S. A. Nazarov

Institute for Problems in Mechanical Engineering of RAS

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Saint Petersburg, Russia

References

  1. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. — М. : Наука, 1979. — 743 c.
  2. Rabotnov, Yu.N., Mekhanika deformiruyemogo tverdogo tela (Mechanics of Deformable Solids), Moscow: Nauka, 1979.
  3. Назаров, С.А. Модели упругого сочленения пластины со стержнями, основанные на точечных условиях Соболева и самосопряжённых расширениях дифференциальных операторов / С.А. Назаров // Дифференц. уравнения. — 2021. — Т. 57, № 5. — С. 700–716.
  4. Nazarov, S.A., Models of elastic joint of a plate with rods based on Sobolev point conditions and self-adjoint extensions of differential operators, Differ. Equat., 2021, vol. 57, no. 5, pp. 683–699.
  5. Шойхет, Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры / Б.А. Шойхет // Прикл. математика и механика. — 1973. — Т. 37, № 5. — С. 913–924.
  6. Shoikhet, B.A., On asymptotically exact equations of thin plates of complex structure, J. Appl. Math. Mech., 1973, vol. 37, no. 5, pp. 867–877.
  7. Sanchez-Hubert, J. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes a section heterogene / J. Sanchez-Hubert, ’E. Sanchez-Palencia // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2. — 1991. — V. 312. — P. 337–344.
  8. Sanchez-Hubert, J. Coques Elastiques Minces: Propri’et’es Asymptotiques / J. Sanchez-Hubert, ’E. Sanchez-Palencia. — Paris : Masson, 1997. — 376 p.
  9. Назаров, С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки / С.А. Назаров. — Новосибирск : Научная книга, 2002. — 408 c.
  10. Nazarov, S.A. Asimptoticheskaya teoriya tonkikh plastin i sterzhney. Ponizheniye razmernosti i integral’nyye otsenki (Asymptotic Theory of Plates and Rods. Dimension Reduction and Integral Estimates), Novosibirsk: Nauchnaya Kniga, 2002.
  11. Panassenko, G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites / G. Panassenko. — Dordrecht : Springer, 2005. — 398 p.
  12. Junction of elastic plates and beams / A. Gaudiello, R. Monneau, J. Mossino [et al.] // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. — 2007. — V. 13, № 3. — P. 419–457.
  13. Blanchard, D. Asymptotic behavior of a structure made by a plate and a straight rod / D. Blanchard, G. Griso // Chinese Annals of Mathematics. Ser. B. — 2013. — V. 34, № 3. — P. 399–434.
  14. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. — М. : Наука, 1973. — 408 с.
  15. Ladyzhenskaya, O.A., The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, New York: Springer-Verlag, 1985.
  16. Лионс, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес ; пер. с фр. Л.С. Франка ; под ред. В.В. Грушина. — М. : Мир, 1971. — 372 c.
  17. Lions, J.-L. and Magenes, E., Probl`emes aux Limites Non-Homog`enes et Applications, vol. 1, Paris: Dunod, 1968.
  18. Бирман, М.Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 264 с.
  19. Birman, M.Sh. and Solomjak, M.Z., Spectral Theory of Self-Adjoint Operators in Hilbert Space, Dordrecht: Reidel, 1987.
  20. Назаров, С.А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней / С.А. Назаров // Успехи мат. наук. — 2008. — Т. 63, № 1. — С. 37–110.
  21. Nazarov, S.A., Korn’s inequalities for elastic junctions of massive bodies and thin plates and rods, Russ. Math. Surv., 2008, vol. 63, no. 1, pp. 35–107.
  22. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна / В.А. Кондратьев, O.А. Олейник // Успехи мат. наук. — 1988. — T. 43, № 5. — C. 55–98.
  23. Kondrat’ev, V.A. and Oleinik, O.A., Boundary-value problems for the system of elasticity theory in unbounded domains. Korn’s inequalities, Russ. Math. Surv., 1988, vol. 43, no. 5, pp. 65–119.
  24. Капешина, Ю.Е. Взаимодействия нулевого радиуса для бигармонического и полигармонического уравнений / Ю.Е. Капешина, Б.С. Павлов // Мат. заметки. — 1986. — Т. 40, № 1. — С. 49–59.
  25. Kapeshina, Yu.E. and Pavlov, B.S., Zero radius interaction for the biharmonic and polyharmonic equations, Math. Notes, 1986, vol. 40, no. 1, pp. 528–533.
  26. Nazarov, S.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries / S.A. Nazarov, B.A. Plamenevsky. — Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 1994. — 525 p.
  27. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1963. — Т. 16. — С. 219–292.
  28. Kondrat’ev, V.A., Boundary value problems for elliptic equations in domains with conical or corner points, Trudy Mosk. Mat. Ob-va, 1963, vol. 16, pp. 219–292.
  29. Назаров, С.А. Асимптотические разложения на бесконечности решений задачи теории упругости в слое / С.А. Назаров // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1998. — Т. 60. — С. 3–97.
  30. Nazarov, S.A., Asymptotic expansions at infinity of solutions to the elasticity theory problem in a layer, Trans. Moscow Math. Soc., 1999, vol. 60, pp. 1–85.
  31. Ильин, А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач /А.М. Ильин. — М. : Наука, 1989. — 336 с.
  32. Il’in, A.M., Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1992.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».