EXPLICIT FORMULAS FOR COEFFICIENTS IN THE LAPPO-DANILEVSKY SOLUTION OF LINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS


Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In the works of I.A. Lappo-Danilevsky, in particular, the solutions of a system of linear ordinary differential equations in the vicinity of an isolated pole of arbitrary finite order were investigated. For the fundamental matrix of solutions of such a system, a series was obtained that absolutely converges in the punctured (annular) neighborhood of the pole. At the same time, recurrent relations of a rather complex type were found for the numerical coefficients of the specified series, which do not depend on the type of the system of equations. In this paper, explicit formulas for these coefficients are obtained for the first time. As an example, the results obtained are used to find the analytical formula for the trace of the monodromy matrix of an arbitrary regular singular point of the specified system of equations.

About the authors

A. A. Golubkov

Lomonosov Moscow State University

Email: andrej2501@yandex.ru
Russia

References

  1. Лаппо-Данилевский, И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений / И.А. Лаппо-Данилевский. — Л., М. : ОНТИ ГТТИ, 1934. — 144 с.
  2. Lappo-Danilevsky, I.A., Teoriya funkcij ot matric i sistemy linejnykh differencial’nykh uravnenij (Theory of Functions on Matrices and Systems of Linear Differential Equations), Leningrad, Moscow: ONTI STTP, 1934.
  3. Lappo-Danilevsky, I.A. Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Vol. I / J.A. Lappo-Danilevsky // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1934. — Т. 6. — С. 1–256.
  4. Lappo-Danilevsky, I.A. Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Vol. II / J.A. Lappo-Danilevsky // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1935. — Т. 7. — С. 5–210.
  5. Lappo-Danilevsky, I.A. Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Vol. III / J.A. Lappo-Danilevsky // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1936. — Т. 8. — С. 5–210.
  6. Лаппо-Данилевский, И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / И.А. Лаппо-Данилевский. — М. : ГИТТЛ, 1957. — 456 с.
  7. Lappo-Danilevsky, I.A., Primenenie funkcij ot matric k teorii linejnykh sistem obyknovennykh differecial’nykh uravnenij (Application of Functions from Matrices to the Theory of Linear Systems of Ordinary Differential Equations), Moscow: GITTL, 1957.
  8. Еругин, Н.П. О показательной подстановке системы линейных дифференциальных уравнений (проблема Пуанкаре) / Н.П. Еругин // Мат. сб. — 1938. — Т. 45, № 3. — С. 509–526.
  9. Erouguine, N.P., O pokazatel’noj podstanovke sistemy linejnykh differencial’nykh uravnenij (problema Puankare) (On the exponential substitution of a system of linear differential equations (Poincare problem)), Matematicheskij sbornik, 1938, vol. 45, no. 3, pp. 509–526.
  10. Еругин, Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1956. — 108 с.
  11. Erouguine, N.P., Metod Lappo-Danilevskogo v teorii linejnykh differencial’nykh uravnenij (The Lappo-Danilevsky Method in the Theory of Linear Differential Equations), Leningrad: Izd-vo LGU, 1956.
  12. Еругин, Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н.П. Еругин. — Минск : Изд-во АН БССР, 1963. — 272 с.
  13. Erouguine, N.P., Linejnye sistemy obyknovennykh differencial’nykh uravnenij s periodicheskimi i kvaziperiodicheskimi koehfficientami (Linear Systems of Ordinary Differential Equations with Periodic and Quasi-Periodic Coefficients), Minsk: Izd-vo AN BSSR, 1963.
  14. Еругин, Н.П. О поведении решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки / Н.П. Еругин // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 11. — С. 1950–1959.
  15. Erouguine, N.P., O povedenii reshenij linejnoj odnorodnoj sistemy differencial’nykh uravnenij v okrestnosti osoboj tochki (On the behavior of solutions of a linear homogeneous system of differential equations in the vicinity of a singular point), Differ. Uravn., 1979, vol. 15, no. 11, pp. 1950–1959.
  16. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — 2-е изд., доп. — М. : Наука, 1966. — 576 с.
  17. Gantmacher, F.R., The Theory of Matrices, AMS Chelsea Publishing, 1959.
  18. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Том III. Часть 2 / В.И. Смирнов. — 10-е изд. — СПб. : БХВ-Петербург, 2010. — 816 с.
  19. Smirnov, V.I., Kurs vysshej matematiki. Tom III. Chast’ 2 (Higher Mathematics Course. Vol. 3. Part 2), Saint Peterb.: BHV-Peterburg, 2010.
  20. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон ; пер. с англ. Б.М. Левитана. — М. : Изд-во ИЛ, 1958. — 474 с.
  21. Coddington, E.A. and Levinson, N., Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill, 1955.
  22. Вазов, В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов ; пер. с англ. В.Ф. Бутузова, М.В. Федорюк ; под ред. А.Б. Васильевой. — М. : Мир, 1968. — 464 с.
  23. Wasow, W., Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, 1988.
  24. Олвер, Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер ; пер. с англ. Ю.А. Брычкова ; под ред. А.П. Прудникова. — М. : Наука, 1990. — 528 с.
  25. Olver, F.W.J., Asymptotics and Special Functions, New York: Academic Press, 1974.
  26. Sternin, B. Borel–Laplace Transform and Asymptotic Theory. Introduction to Resurgent Analysis / B. Sternin, V. Shatalov. — Boca Raton : CRC Press, 1996. — 264 p.
  27. Кац, Д.С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиноминальными вырождениями коэффициентов / Д.С. Кац // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 12. — С. 1612–1617.
  28. Kats, D.S., Computation of the asymptotics of solutions for equations with polynomial degeneration of the coefficients, Differ. Equat., 2015, vol. 51, no. 12, pp. 1589–1594.
  29. Коровина, М.В. О равномерных асимптотиках решений дифференциальных уравнений второго порядка с мероморфными коэффициентами в окрестности особых точек / М.В. Коровина, О.А. Матевосян // Сиб. электрон. мат. изв. — 2023. — Т. 20, № 1. — С. 251–261.
  30. Korovina, M.V. and Matevossian, H.A., O ravnomernykh asimptotikakh reshenij differencial’nykh uravnenij vtorogo poryadka s meromorfnymi koehfficientami v okrestnosti osobykh tochek (On uniform asymptotics of solutions of second-order differential equations with meromorphic coefficients in a neighbohood of singular points), Siberian Electronic Mathematical Reports, 2023, vol. 20, no. 1, pp. 251–261.
  31. Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. — М. : Наука, 1983. — 352 с.
  32. Fedoryuk, M.V., Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations, Berlin: Springer-Verlag, 1993.
  33. Голубков, А.А. Квазибезмонодромные особые точки уравнения Штурма–Лиувилля стандартного вида на комплексной плоскости / А.А. Голубков // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 8. — С. 1032–1038.
  34. Golubkov, A.A., Monodromy-Quasifree Singular Points of the Sturm–Liouville Equation of Standard Form on the Complex Plane, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 8, pp. 1021–1027.
  35. Голубков, А.А. Квазибезмонодромные системы дифференциальных уравнений первого порядка с параметром / А.А. Голубков // Итоги науки и техн. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обз. — 2023. — Т. 225. — С. 59–68.
  36. Golubkov, A.A., Kvazibezmonodromnye sistemy differencial’nykh uravnenij pervogo poryadka s parametrom (Quasi-monodromic systems of first-order differential equations with a parameter), Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2023, vol. 225, pp. 59–68.
  37. Голубков, А.А. Регулярная циклическая матрица изолированной особой точки уравнения Штурма–Лиувилля стандартного вида / А.А. Голубков // Итоги науки и техн. Соврем. Математика и ее приложения. Темат. обз. — 2024. — Т. 233. — С. 3–13.
  38. Golubkov, A.A., Regulyarnaya ciklicheskaya matrica izolirovannoj osoboj tochki uravneniya Shturma–Liuvillya standartnogo vida (A regular cyclic matrix of an isolated singular point of the Sturm–Liouville equation of the standard form), Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2024, vol. 233, pp. 3–13.
  39. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — 4-е изд., испр. — М. : Наука, 1973. — 736 с.
  40. Lavrent’ev, M.A. and Shabat, B.V., Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo (Methods of the theory of functions of a complex variable), Moscow: Nauka, 1973.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».