AN INVERSE PROBLEM FOR THE WAVE EQUATION WITH TWO NONLINEAR TERMS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

An inverse problem for a hyperbolic equation of the second order containing two nonlinear terms is studied. It consists in recovering coefficients under nonlinearities. The Cauchy problem with a point source located at point y is considered. This point is a parameter of the problem and runs an spherical surface ???? successively. It is supposed that unknown coefficients are differed from zero in domain be situated inside of ???? only. The trace of a solution of the Cauchy problem is given on ???? for all values of y and for all times closed to moments of arriving of the wave from y to points of ????. It is proved that this information allows to reduce the inverse problem to two problems of the integral geometry solving successively. For latter problems stability estimates are stated.

About the authors

V. G. Romanov

Sobolev Institute of Mathematics SB RAS

Email: romanov@math.nsc.ru
Novosibirsk, Russia

References

  1. Kurylev, Y. Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations /Y. Kurylev, M. Lassas, G. Uhlmann // Invent. Math. — 2018. — V. 212. — P. 781–857.
  2. Lassas, M. Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds / M. Lassas, G. Uhlmann, Y. Wang // Commun. Math. Phys. — 2018. — V. 360. — P. 555–609.
  3. Lassas, M. Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations / M. Lassas // Proc. Int. Congress Math. — 2018. — V. 3. — P. 3739–3760.
  4. Hintz, P. Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets / P. Hintz, G. Uhlmann // Int. Math. Res. Notices. — 2019. — V. 22. — P. 6949–6987.
  5. Hintz, P. An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds / P. Hintz, G. Uhlmann, J. Zhai // Int. Math. Res. Notices. — 2022. — V. 17. — P. 3181–3211.
  6. Uniqueness, reconstruction and stability for an inverse problem of a semi-linear wave equation / M. Lassas, T. Liimatainen, L. Potenciano-Machado, T. Tyni // J. Differ. Equat. — 2022. — V. 337. — P. 395–435.
  7. Detection of Hermitian connections in wave equations with cubic non-linearity / X. Chen, M. Lassas, L. Oksanen, G.P. Paternain // J. Eur. Math. Soc. — 2022. — V. 24, № 7. — P. 2191–2232.
  8. Wang, Y. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations / Y. Wang, T. Zhou // Commun. Partial Differ. Equat. — 2019. — V. 44, № 11. — P. 1140–1158.
  9. Barreto, A.S. Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions / A.S. Barreto // Inverse Probl. Imaging. — 2020. — V. 14, № 6. — P. 1057–1105.
  10. Uhlmann, G. On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation / G. Uhlmann, J. Zhai // J. Math. Pures Appl. — 2021. — V. 153. — P. 114–136.
  11. Barreto, A.S. Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly nonlinear regime / A.S. Barreto, P. Stefanov // Commun. Math. Phys. — 2022. — V. 392. — P. 25–53.
  12. Wang, Y. Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations / Y. Wang, T. Zhou // Commun. Partial Differ. Equat. — 2019. — V. 44, № 11. — P. 1140–1158.
  13. Романов, В.Г. Задача об определении коэффициента при нелинейном члене квазилинейного волнового уравнения / В.Г. Романов, Т.В. Бугуева // Сибирский журн. индустр. математики. — 2022. — Т. 25, № 3. — С. 154–169.
  14. Романов, В.Г. Обратная задача для полулинейного волнового уравнения / В.Г. Романов // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. — 2022. — Т. 504, № 1. — С. 36–41.
  15. Романов, В.Г. Обратная задача для волнового уравнения с нелинейным поглощением / В.Г. Романов // Сибирский мат. журн. — 2023. — Т. 64, № 3. — С. 635–652.
  16. Романов, В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В.Г. Романов. — Новосибирск : Наука, 1972. — 164 с.
  17. Мухометов, Р.Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия / Р.Г. Мухометов // Докл. АН СССР. — 1977. — Т. 232, № 1. — С. 32–35.
  18. Романов, В.Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики / В.Г. Романов // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 241, № 2. — С. 290–293.
  19. Kurylev, Y., Lassas, M., and Uhlmann, G., Inverse problems for Lorentzian manifolds and non-linear hyperbolic equations, Invent. Math., 2018, vol. 212, pp. 781–857.
  20. Lassas, M., Uhlmann, G., and Wang, Y., Inverse problems for semilinear wave equations on Lorentzian manifolds, Commun. Math. Phys., 2018, vol. 360, pp. 555–609.
  21. Lassas, M., Inverse problems for linear and non-linear hyperbolic equations, Proc. Int. Congress Math., 2018, vol. 3, pp. 3739–3760.
  22. Hintz, P. and Uhlmann, G., Reconstruction of Lorentzian manifolds from boundary light observation sets, Int. Math. Res. Notices, 2019, vol. 22, pp. 6949–6987.
  23. Hintz, P., Uhlmann, G., and Zhai, J., An inverse boundary value problem for a semilinear wave equation on Lorentzian manifolds, Int. Math. Res. Notices, 2022, vol. 17, pp. 3181–3211.
  24. Lassas, M., Liimatainen, T., Potenciano-Machado, L., and Tyni, T., Uniqueness, reconstruction and stability for an inverse problem of a semi-linear wave equation, J. Differ. Equat., 2022, vol. 337, pp. 395–435.
  25. Chen, X., Lassas, M., Oksanen, L., and Paternain, G.P., Detection of Hermitian connections in wave equations with cubic non-linearity, J. Eur. Math. Soc., 2022, vol. 24, no. 7, pp. 2191–2232.
  26. Wang, Y. and Zhou, T., Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations, Commun. Partial Differ. Equat., 2019, vol. 44, no. 11, pp. 1140–1158.
  27. Barreto, A.S., Interactions of semilinear progressing waves in two or more space dimensions, Inverse Probl. Imaging, 2020, vol. 14, no. 6. pp. 1057–1105.
  28. Uhlmann, G. and Zhai, J., On an inverse boundary value problem for a nonlinear elastic wave equation, J. Math. Pures Appl., 2021, vol. 153, pp. 114–136.
  29. Barreto, A.S. and Stefanov, P., Recovery of a cubic non-linearity in the wave equation in the weakly nonlinear regime, Commun. Math. Phys., 2022, vol. 392, pp. 25–53.
  30. Wang, Y. and Zhou, T., Inverse problems for quadratic derivative nonlinear wave equations, Commun. Partial Differ. Equat., 2019, vol. 44, no. 11, pp. 1140–1158.
  31. Romanov, V.G. and Buguyeva, T.V., The problem of determining the coefficient of the nonlinear term in a quasilinear wave equation, J. Appl. Ind. Math., 2022. vol. 16, no. 3, pp. 550–562.
  32. Romanov, V.G., An inverse problem for a semilinear wave equation, Dokl. Math., 2022, vol. 105, no. 3, pp. 166– 170.
  33. Romanov, V.G., An inverse problem for the wave equation with nonlinear damping, Sib. Math. J., 2023, vol. 64, no. 3, pp. 670–685.
  34. Romanov, V.G., Integral Geometry and Inverse Problems for Hyperbolic Equations, Berlin: Springer Verlag, 1974.
  35. Muhometov, R.G., The reconstruction problem of a two-dimensional Riemannian metric and integral geometry, Sov. Math. Dokl., 1977, vol. 18, no. 1, pp. 27–31.
  36. Romanov, V.G., Integral geometry on the geodesics of an isotropic Riemannian metric, Sov. Math. Dokl., 1978, vol. 19, no. 4, pp. 847–851.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».