ON EXACT GLOBAL CONTROLLABILITY OF A SEMILINEAR EVOLUTIONARY EQUATION

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For a Cauchy problem associated with a controlled semilinear evolutionary equation with optionally bounded operator in a Hilbert space we obtain sufficient conditions for exact controllability to a given final state (and also to given intermediate states at intermediate time moments) on a arbitrarily fixed (without additional conditions) time interval. Here we use the Minty–Browder’s theorem and also a chain technology of successive continuation of the solution to a controlled system to intermediate states. As examples we consider a semilinear pseudoparabolic equation and a semilinear wave equation.

About the authors

A. V. Chernov

National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

Email: chavnn@mail.ru
Russia

References

  1. Balachandran, K. Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey / K. Balachandran, J.P. Dauer // J. Optim. Theory Appl. — 2002. — № 1. — P. 7–28.
  2. Control Theory of Partial Differential Equations / O. Imanuvilov, G. Leugering, R. Triggiani, Bing-Yu. Zhang. — Boca Raton; London; New York; Singapore : Chapman & Hall/CRC, 2005. — 416 p.
  3. Чернов, А.В. О точной управляемости полулинейного эволюционного уравнения с неограниченным оператором / А.В. Чернов // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 2. — С. 257–269.
  4. Zhang, X. Exact controllability of semilinear evolution systems and its application / X. Zhang // J. Optim. Theory Appl. — 2000. — V. 107, № 2. — P. 415–432.
  5. Liu, W. Exact internal controllability for the semilinear heat equation / W. Liu, G.H. Williams // J. Math. Anal. Appl. — 1997. — V. 211. — P. 258–272.
  6. Balachandran, K. Controllability of nonlinear integrodifferential systems in Banach space / K. Balachandran, J.P. Dauer, P. Balasubramaniam // J. Optim. Theory Appl. — 1995. — V. 84. — P. 83–91.
  7. Mahmudov, N.I. Exact null controllability of semilinear evolution systems / N.I. Mahmudov // J. Glob. Optim. — 2013. — V. 56, № 2. — P. 317–326.
  8. Балакришнан, А.В. Прикладной функциональный анализ / А.В. Балакришнан ; пер. с англ. В.И. Благодатских. — М. : Наука, 1980. — 383 с.
  9. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс ; пер. с англ. Д.А. Василькова ; под ред. В.М. Алексеева и С.В. Фомина. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1962. — 829 с.
  10. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. М. : Наука, 1972. — 544 с.
  11. Гаевский, Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас ; пер. с нем. В.Г. Задорожного, А.И. Перова ; под ред. В.И. Соболева. — М. : Мир, 1978. — 336 с.
  12. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / Pazy. — New York : Springer-Verlag, 1983. — 279 p.
  13. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — 4-е изд., перераб. — М. : Наука, 1976. — 543 с.
  14. Егоров, А.И. Основы теории управления / А.И. Егоров. — М. : Физматлит, 2004. — 504 с.
  15. Качуровский, Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах / Р.И. Качуровский // Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23, Вып. 2 (140). — С. 121–168.
  16. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — 3-е изд., перераб. — М. : Наука, 1984. — 752 с.
  17. Чернов, А.В. О дифференцировании функционала в задаче параметрической оптимизации коэффициента уравнения глобальной электрической цепи / А.В. Чернов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2016. — Т. 56, № 9. — С. 1586–1601.
  18. Chen, P.J. On a theory of heat conduction involving two temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. — 1968. — V. 19. — P. 614–627.
  19. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 852–864.
  20. Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata / G.I. Barenblatt, J. Garcia-Azorero, A. De Pablo, J.L. Vazquez // Appl. Anal. — 1997. — V. 65, № 1–2. — P. 19–45.
  21. Helmig, R. Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media / R. Helmig, A. Weiss, B. I. Wohlmuth // Comput. Geosciences. — 2007. — V. 11, № 3. — P. 261–274.
  22. Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.B. Benjamin, J.L. Bona, J.J. Mahony // Philos. Tranc. Royal Soc. London. Ser. A. — 1972. — V. 272. — P. 47–78.
  23. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. — М. : Физматлит, 2007. — 736 с.
  24. Чернов, А.В. О тотальном сохранении однозначной глобальной разрешимости операторного уравнения первого рода с управляемой добавочной нелинейностью / А.В. Чернов // Изв. вузов. Математика. — 2018. — № 11. — С. 60–74.
  25. Brezis, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations / H. Brezis. — New York; Dordrecht; Heidelberg; London : Springer, 2011. — 599 p.
  26. Balachandran, K. and Dauer, J.P., Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey, J. Optim. Theory Appl., 2002, no. 1, pp. 7–28.
  27. Imanuvilov, O., Leugering, G., Triggiani, R., and Zhang, Bing-Yu., Control Theory of Partial Differential Equations, Boca Raton; London; New York; Singapore: Chapman & Hall/CRC, 2005.
  28. Chernov, A.V., On the exact controllability of a semilinear evolution equation with an unbounded operator, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 2, pp. 265–277.
  29. Zhang, X., Exact controllability of semilinear evolution systems and its application, J. Optim. Theory Appl., 2000, vol. 107, no. 2, pp. 415–432.
  30. Liu, W. and Williams, G.H., Exact internal controllability for the semilinear heat equation, J. Math. Anal. Appl., 1997, vol. 211, pp. 258–272.
  31. Balachandran, K., Dauer, J.P., and Balasubramaniam, P., Controllability of nonlinear integrodifferential systems in Banach space, J. Optim. Theory Appl., 1995, vol. 84, pp. 83–91.
  32. Mahmudov, N.I., Exact null controllability of semilinear evolution systems, J. Glob. Optim., 2013, vol. 56, no. 2, pp. 317–326.
  33. Balakrishnan, A.V., Applied Functional Analysis, New York; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1976.
  34. Hille, E. and Phillips, R.S., Functional Analysis and Semi-Groups, Providence: Amer. Math. Soc., 1957.
  35. Funktsional’nyi analiz (Functional Analysis), Ed. Krein S.G., Moscow: Nauka, 1972.
  36. Gaewski, H., Gr¨oger, K., Zacharias, K., Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen, Berlin: Akademie-Verlag, 1974.
  37. Pazy, A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, New York: Springer, 1983.
  38. Kolmogorov, A.N. and Fomin, S.V., Elementy teorii funktsii i funktsional’nogo analiza (Elements of Function Theory and Functional Analysis), Moscow: Nauka, 1976.
  39. Egorov, A.I., Osnovy teorii upravleniya (Fundamentals of Control Theory), Moscow: Fizmatlit, 2004.
  40. Kachurovskii, R.I., Non-linear monotone operators in Banach spaces. Russ. Math. Surv., 1968, vol. 23, no. 2, pp. 121–168.
  41. Kantorovich, L.V. and Akilov, G.P., Functional Analysis, Oxford: Pergamon, 1982.
  42. Chernov, A.V., Differentiation of a functional in the problem of parametric coefficient optimization in the global electric circuit equation, Comp. Math. Math. Phys., 2016, vol. 56, no. 9, pp. 1565–1579.
  43. Chen, P.J. and Gurtin, M.E., On a theory of heat conduction involving two temperatures, Z. Angew. Math. Phys., 1968, vol. 19, pp. 614–627.
  44. Barenblatt, G.I., Zheltov, Yu.P., and Kochina, I.N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks (strata), J. Appl. Math. Mech., 1961, vol. 24, pp. 1286–1303.
  45. Barenblatt, G.I., Garcia-Azorero, J., De Pablo, A., and Vazquez, J.L., Mathematical model of the non-equilibrium water-oil displacement in porous strata, Appl. Anal., 1997, vol. 65, no. 1–2, pp. 19–45.
  46. Helmig, R., Weiss, A., and Wohlmuth, B.I., Dynamic capillary effects in heterogeneous porous media, Comput. Geosciences, 2007, vol. 11, no. 3, pp. 261–274.
  47. Benjamin, T.B., Bona, J.L., and Mahony, J.J., Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems, Philos. Tranc. Royal Soc. London. Ser. A, 1972, vol. 272, pp. 47–78.
  48. Sveshnikov, A.G., Al’shin, A.B., Korpusov, M.O., and Pletner, Yu.D., Lineynyye i nelineynyye uravneniya sobolevskogo tipa (Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type), Moscow: Fizmatlit, 2007.
  49. Chernov, A.V., The total preservation of unique global solvability of the first kind operator equation with additional controlled nonlinearity, Russ. Math., 2018, vol. 62, no. 11, pp. 53–66.
  50. Brezis, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, New York; Dordrecht; Heidelberg; London: Springer, 2011.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».