Classical Solution of the First Mixed Problem for the Telegraph Equation with a Nonlinear Potential in a Curvilinear Quadrant

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For the telegraph equation with a nonlinear potential in a curvilinear quadrant, we consider a mixed problem with the Cauchy conditions on a spatial half-line and the Dirichlet condition on a noncharacteristic curve. The solution of the problem is constructed by the method of characteristics in an implicit analytical form as a solution of integral equations. We study the solvability of these equations depending on the initial data and their smoothness. For the problem under consideration, the uniqueness of the solution is proved and conditions under which there exists a classical solution are established. A mild solution is constructed in the case of insufficiently smooth data of the problem.

About the authors

V. I Korzyuk

Belarusian State University, Minsk, 220030, Belarus; Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072, Belarus

Email: korzyuk@bsu.by
Минск, Беларусь

Ya. V Rud'ko

Belarusian State University, Minsk, 220030, Belarus

Author for correspondence.
Email: janycz@yahoo.com
Минск, Беларусь

References

  1. Ben Q.Li. Discontinuous Finite Elements in Fluid Dynamics and Heat Transfer. London, 2006.
  2. Литвинов В.Л. Решение краевых задач с движущимися границами при помощи приближённого метода построения решений интегро-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. С. 188-199.
  3. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Об одном методе замены переменных для волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Журн. Средне-Волжского мат. о-ва. 2020. Т. 22. № 2. С. 188-199.
  4. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. Об одном методе получения аналитического решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2012. Вып. 3. С. 145-151.
  5. Litvinov V.L. Solution of model boundary value problems on oscillations of mechanical systems with moving boundaries by the Duhamel method // J. of Physics: Conf. Ser. 2019. V. 1392. Art. 012015.
  6. Tao L.N. A method for solving moving boundary problems // SIAM J. on Appl. Math. 1986. V. 46. № 2. P. 254-264.
  7. Davis G.B., Hill J.M. A moving boundary problem for the sphere // IMA J. of Appl. Math. 1982. V. 29. № 1. P. 99-111.
  8. Rodrigo M.R., Thamwattana N. A unified analytical approach to fixed and moving boundary problems for the heat equation // Mathematics. 2021. V. 9. № 7. Art. 749.
  9. v{C}ani'c S. Moving boundary problems // Bull. Amer. Math. Soc. 2021. V. 58. P. 79-106.
  10. Pelloni B., Pinotsis D.A. Moving boundary value problems for the wave equation // J. of Comput. and Appl. Math. 2010. V. 234. № 6. P. 1685-1691.
  11. Pelloni B., Pinotsis D.A. The Klein-Gordon equation in a domain with time-dependent boundary // Studies in Appl. Math. 2008. V. 121. № 3. P. 291-312.
  12. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 77-88.
  13. Остапенко В.А. Первая краевая задача для телеграфного уравнения в области с подвижной границей // Вестн. Днепропетровского ун-та. Сер. Моделирование. 2011. Вып. 3. № 8. С. 30-54.
  14. Корзюк В.И., Козловская И.С., Наумовец С.Н. Классическое решение в криволинейной полуполосе первой смешанной задачи для волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 1. С. 99-109.
  15. Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 2. С. 174-184.
  16. Корзюк В.И., Рудько Я.В. Классическое решение задачи Коши для одномерного квазилинейного волнового уравнения // Докл. НАН Беларуси. 2023. Т. 67. № 1. С. 14-19.
  17. Korzyuk V.I., Rudzko J.V. Curvilinear parallelogram identity and mean-value property for a semilinear hyperbolic equation of second-order // arXiv:2204.09408.
  18. Корзюк В.И. Уравнения математической физики. M., 2021.
  19. Корзюк В.И., Ковнацкая О.А., Севастюк В.А. Задача Гурса на плоскости для квазилинейного гиперболического уравнения // Докл. НАН Беларуси. 2022. T. 66. № 4. C. 391-396.
  20. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1982.
  21. Mitrinovi'c} D.S., Pevc}ari'c} J.E., Fink A.M. Inequalities Involving Functions and their Integrals and Derivatives. Dordrecht, 1991.
  22. Корзюк В.И., Столярчук И.И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна-Гордона-Фока с неоднородными условиями согласования // Докл. НАН Беларуси. 2019. Т. 63. № 1. C. 7-13.
  23. Корзюк В.И., Козловская И.С., Наумовец С.Н. Классическое решение первой смешанной задачи одномерного волнового уравнения с условиями типа Коши // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2015. № 1. C. 7-21.
  24. Корзюк В.И., Наумовец С.Н., Сериков В.П. Смешанная задача для одномерного волнового уравнения с условиями сопряжения и производными второго порядка в граничных условиях // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. № 3. C. 287-297.
  25. Корзюк В.И., Козловская И.С. Классические решения задач для гиперболических уравнений. Ч. 2. Минск, 2017.
  26. Моисеев Е.И., Корзюк В.И., Козловская И.С. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. T. 50. № 10. C. 1373-1385.
  27. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., 1978.
  28. Friedrichs K.O. Nonlinear hyperbolic differential equations for functions of two independent variables // Amer. J. of Math. 1948. V. 70. № 3. P. 555-589.
  29. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача для волнового уравнения простейшего вида // Изв. Саратовского ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22. № 3. C. 322-331.
  30. Evans L.C. Partial Differential Equations. Providence, 2010.
  31. DiBenedetto E. Partial Differential Equations. Boston, 2010.
  32. Ikeda M., Inui T., Wakasugi Y. The Cauchy problem for the nonlinear damped wave equation with slowly decaying data // Nonlin. Differ. Equat. Appl. 2017. V. 50. № 2. Art. № 10.
  33. Iwamiya T. Global existence of mild solutions to semilinear differential equations in Banach spaces // Hiroshima Math. J. 1986. V. 50. P. 499-530.
  34. Byszewski L. Existence and uniqueness of a classical solution to a functional-differential abstract nonlocal Cauchy problem // J. of Appl. Math. and Stoch. Anal. 1999. V. 12. № 1. P. 91-97.
  35. Демиденко Г.В., Кудрявцев А.А. Краевые задачи в четверти плоскости для уравнения Рэлея-Бишопа // Мат. заметки Северо-Вост. федерал. ун-та. 2021. T. 28. № 3. C. 5-18.
  36. Бондарь Л.Н., Демиденко Г.В., Пинтус Г.М. Задача Коши для одной псевдогиперболической системы // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2020. T. 60. № 4. C. 626-638.
  37. Бондарь Л.Н., Демиденко Г.В. Краевые задачи для одного псевдогиперболического уравнения в четверти плоскости // Мат. тр. 2020. T. 24. № 2. C. 3-23.
  38. Ильин В.А., Моисеев Е.И. О единственности решения смешанной задачи для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференц. уравнения. 2000. T. 36. № 5. C. 656-661.
  39. Егоров Ю.В. К теории обобщённых функций // Успехи мат. наук. 1990. T. 45. № 5. C. 3-40.
  40. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1999.
  41. Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. О глобальных и взрывных решениях смешанной задачи с нелинейным граничным условием для одномерного полулинейного волнового уравнения // Мат. сб. 2014. Т. 205. № 4. С. 121-148.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».