Том 213, № 6 (2022)

Для конечных произведений Бляшке $B$ степени $n \geq 2$, $B(0)=0$, $ B'(0) \neq 0$, устанавливается точная верхняя граница минимальных модулей критических значений этих произведений, зависящая только от $n$ и $|B'(0)|$.Библиография: 12 названий.

Исследуются 2-аттракторы в пространстве $\mathbb R^d$ – самоподобные компакты, заданные двумя сжимающими аффинными операторами с одинаковой линейной частью. Они широко изучались в литературе под разными названиями (двухциферные тайлы, двойные драконы, 2-рептайлы и т.д.) в связи с приложениями в дискретной геометрии, теории чисел и теории приближений, для построения базисов Хаара и всплесков (вейвлетов) многих переменных. В работе получена полная классификация изотропных 2-аттракторов в $\mathbb R^d$ и показано, что все они гомеоморфны друг другу, но не диффеоморфны. В общем неизотропном случае доказано, что 2-аттрактор однозначно с точностью до аффинного подобия определяется спектром матрицы сжатия. Приведены оценки на число различных 2-аттракторов в $\mathbb R^d$, для чего исследованы целые унитарные растягивающие полиномы со свободным коэффициентом $\pm 2$. Их количество оценивается с помощью меры Малера. Построено несколько серий таких полиномов. Для некоторых 2-аттракторов вычислены показатели их регулярности по Гёльдеру. Часть результатов обобщена на аттракторы с произвольным количеством цифр. Библиография: 63 названия.

Пусть $\mathcal{W}$ – замкнутое инвариантное относительно сдвигов и растяжений линейное подпространство класса $\mathbb{R}^\ell$-значных обобщенных функций умеренного роста $d$ переменных. Работа посвящена доказательству следующего результата: если пространство $\mathcal{W}$ не содержит обобщенных функций вида $a\otimes \delta_0$, где $\delta_0$ – дельта Дирака, то для всякой функции $f\in\mathcal{W}\cap L_1$ верно неравенство$$\|\operatorname{I}_\alpha [f]\|_{L_{d/(d-\alpha),1}}\lesssim \|f\|_{L_1},$$причем константа в нем не зависит от функции $f$; $\operatorname{I}_\alpha$ обозначает потенциал Рисса порядка $\alpha$, а $L_{p,1}$ – пространство Лоренца. Частными случаями этого результата являются неравенство$$\|\nabla^{m-1} f\|_{L_{d/(d-1),1}} \lesssim \|A f\|_{L_1},$$где $A$ – сокращающий эллиптичный дифференциальный оператор порядка $m$, и неравенство$$\|\operatorname{I}_\alpha f\|_{L_{d/(d-\alpha),1}} \lesssim \|f\|_{L_1},$$где $f$ – соленоидальное векторное поле.Библиография: 59 названий.