Том 212, № 12 (2021)

Методами маломерной топологии определен класс гомеоморфности изоэнергетических поверхностей биллиардных книжек малой сложности и не обязательно интегрируемых. В частности, построены серии биллиардных книжек, реализующих изоэнергетические 3-поверхности, гомеоморфные связной сумме линзовых пространств и прямых произведений $S^1\times S^2$. Для ряда интегрируемых биллиардов такого типа вычислены инварианты Фоменко–Цишанга, классифицирующие слоения Лиувилля на изоэнергетических поверхностях с точностью до послойной гомеоморфности (лиувиллевой эквивалентности соответствующих интегрируемых гамильтоновых систем).Библиография: 14 названий.

Для произвольного набора из $m+1$ ростков аналитических функций в одной фиксированной точке вводится в рассмотрение полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде, включающая в себя полиномы Эрмита–Паде 1-го и 2-го типов. В случае общего положения в работе найдена слабая асимптотика полиномов $m$-системы Эрмита–Паде, построенной по набору ростков функций $1, f_1,…,f_m$, мероморфных на $(m+1)$-листной компактной римановой поверхности $\mathfrak R$. Показано, что если $f_j = f^j$ для некоторой мероморфной на $\mathfrak R$ функции $f$, то с помощью отношений полиномов $m$-системы Эрмита–Паде восстанавливаются значения функции $f$ на всех листах разбиения Наттолла поверхности $\mathfrak R$, кроме последнего. Библиография: 18 названий.

Пусть $R$ – $p$-адически полное кольцо, снабженное $\delta$-структурой. В статье строится функториальный гомоморфизм групп из $K$-группы Милнора $K^{M}_{n}(R)$ в фактор $p$-адического пополнения модуля дифференциальных форм $\widehat{\Omega}^{n-1}_{R}/d\widehat{\Omega}^{n-2}_{R}$. Данный гомоморфизм является $p$-адическим аналогом отображения Блоха, определенного для относительных $K$-групп Милнора нильпотентных расширений колец степени нильпотентности $N$, для которых число $N!$ обратимо.Библиография: 12 названий.