Том 212, № 1 (2021)

Проблема Ферма–Штейнера состоит в поиске всех точек метрического пространства $X$, в которых достигает минимума сумма расстояний до фиксированных точек $A_1,…,A_n$ из $X$. Эта задача изучается в метрическом пространстве $\mathscr{H}(\mathbb R^m)$ всех непустых компактных подмножеств евклидова пространства, где $A_i$ – его попарно не пересекающиеся конечные подмножества. Множество решений (так называемых компактов Штейнера) разбивается на классы, различающиеся наборами расстояний до точек $A_i$. В каждом классе существуют наибольший и минимальные по включению элементы (соответственно максимальный и минимальные компакты Штейнера). В работе получен критерий того, когда компакт является минимальным компактом Штейнера в заданном классе, приведен алгоритм построения таких компактов, получена точная оценка на число точек в них. Также доказан ряд геометрических свойств минимальных и максимальных компактов. Результаты данного исследования могут существенно облегчить решение конкретных задач, что продемонстрировано на известном примере симметричного множества $\{A_1,A_2,A_3\}\subset \mathbb R^2$, для которого все компакты Штейнера несимметричны. Разбор этого случая удалось значительно упростить благодаря развитой в работе технике.Библиография: 16 названий.

Показано, что для неотрицательной монотонной последовательности $\{c_k\}$ условие $c_kk\to 0$ является достаточным для равномерной сходимости ряда $\sum_{k=1}^{\infty}c_k\sin k^{\alpha} x$ на любом ограниченном множестве при $\alpha\in (0,2)$, а при нечетном $\alpha$ – для равномерной сходимости на всем $\mathbb{R}$. Более того, последнее утверждение остается верным при замене $k^{\alpha}$ на любой многочлен степени $\alpha$ по нечетным степеням с рациональными коэффициентами. В случае же четного $\alpha$ для сходимости указанного ряда в точке $\pi/2$ или в точке $2\pi/3$ необходимо, чтобы выполнялось $\sum_{k=1}^{\infty}c_k<\infty$. В соответствии с этим получены критерии равномерной сходимости, причем результаты для натурального $\alpha$ остаются справедливыми для последовательностей из более широкого класса $\mathrm{RBVS}$.Библиография: 17 названий.