Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 212, № 8 (2021)
- Год: 2021
- Статей: 4
- URL: https://ogarev-online.ru/0368-8666/issue/view/7480
Простые замкнутые геодезические на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве
Аннотация
Доказано, что на правильных тетраэдрах в сферическом пространстве существует конечное число простых замкнутых геодезических. Также для любой пары взаимно простых натуральных чисел $(p,q)$ найдены $\alpha_1$ и $\alpha_2$, зависящие от $p$ и $q$ и удовлетворяющие неравенству $\pi/3<\alpha_1<\alpha_2<2\pi/3$, такие, что на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha \in(\pi/3, \alpha_1)$ существует и единственная, с точностью до изометрии тетраэдра, простая замкнутая геодезическая типа $(p,q)$ и на правильном тетраэдре в сферическом пространстве с углом грани $\alpha \in(\alpha_2, 2\pi/3)$ не существует простой замкнутой геодезической типа $(p,q)$. Библиография: 19 названий.
Математический сборник. 2021;212(8):3-32
3-32
Равномерная сходимость и асимптотики для задач в областях с мелкой перфорацией вдоль заданного многообразия в случае усредненного условия Дирихле
Аннотация
Рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в многомерной области, перфорированной малыми отверстиями вдоль заданного многообразия. На отверстия налагаются минимальные естественные условия, в частности предполагается, что они все примерно одинакового размера и между любыми соседними имеется некоторое заданное минимальное расстояние, которое также является малым параметром. Форма отверстий и их распределение вдоль многообразия произвольные. Отверстия произвольным образом разделены на два набора. На границах отверстий из первого набора ставится условие Дирихле, на границах отверстий второго – третье нелинейное граничное условие. На размеры отверстий и распределение отверстий с условием Дирихле налагается простое и легко проверяемое условие, которое гарантирует, что при усреднении отверстия пропадают, а на упомянутом выше многообразии возникает условие Дирихле. Доказывается сходимость решения возмущенной задачи к решению усредненной в норме $W_2^1$ равномерно по правой части уравнения и выводится неулучшаемая по порядку оценка скорости сходимости. Также строится полное асимптотическое решение возмущенной задачи в случае, когда отверстия образуют периодическое множество, расположенное вдоль заданной гиперплоскости.Библиография: 32 названия.
Математический сборник. 2021;212(8):33-88
33-88
Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем
Аннотация
В работе рассматривается обобщение математического биллиарда, ограниченного дугами софокусных квадрик, называемое биллиардными книжками. Биллиардные книжки задают большой класс интегрируемых гамильтоновых систем. В связи с этим возникает вопрос о возможности реализации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы биллиардными книжками. Ранее авторами было доказано, что для любой невырожденной трехмерной бифуркации ($3$-атома) алгоритмически строится биллиардная книжка, в которой возникает такая бифуркация. Опираясь на предыдущий результат, в статье авторы приводят доказательство того, что по любой базе слоения Лиувилля (грубой молекуле) алгоритмически строится биллиардная книжка такая, что база слоения Лиувилля этой системы изоморфна заданной изначально.Библиография: 15 названий.
Математический сборник. 2021;212(8):89-150
89-150
О дискрепансе с фиксированным объемом множеств типа Коробова
Аннотация
В работе изучается величина типа дискрепанса – дискрепанс с фиксированным объемом – множеств типа Коробова в единичном кубе. Недавно было обнаружено, что эта новая величина позволяет получать оптимальную по порядку скорость убывания для дисперсии.Это наблюдение побуждает нас тщательно изучать эту новую версию дискрепанса, которая кажется интересной сама по себе. Работа развивает недавние исследования В. Н. Темлякова и М. Улльриха о дискрепансе с фиксированным объемом множеств Фибоначчи.Библиография: 23 названия.
Математический сборник. 2021;212(8):151-164
151-164