Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 211, № 11 (2020)
- Год: 2020
- Статей: 7
- URL: https://ogarev-online.ru/0368-8666/issue/view/7471
Топологическая классификация интегрируемых геодезических биллиардов на квадриках в трeхмерном евклидовом пространстве
Аннотация
Рассматриваются геодезические биллиарды на квадриках в $\mathbb{R}^3$. Рассматривается движение материальной точки внутри биллиардного стола, т.е. внутри области, лежащей на квадрике, ограниченной конечным числом квадрик, софокусных с данной, и имеющей углы излома на границе, равные ${\pi}/{2}$. Данная задача оказалась интегрируемой в силу известной теоремы Якоби–Шаля. На множестве биллиардных столов введено отношение эквивалентности и доказана теорема об их классификации. Представлена полная классификация геодезических биллиардов на квадриках в $\mathbb{R}^3$ с точностью до лиувиллевой эквивалентности.Библиография: 19 названий.
Математический сборник. 2020;211(11):3-40
3-40
Об интегральной характеристической функции задачи Штурма–Лиувилля
Аннотация
Введена функция, нули которой и только они являются собственными значениями отвечающей ей задачи Штурма–Лиувилля. Краевые условия задачи непрерывно зависят от спектрального параметра. Таким образом, построенная функция имеет смысл характеристической функции задачи Штурма–Лиувилля (но не является ею в общепринятом смысле). Исследование полученной функции позволяет доказать разрешимость изучаемой задачи, найти асимптотику собственных значений, получить теоремы сравнения, естественно ввести нумерацию собственных значений и нулей собственных функций.Библиография: 31 название.
Математический сборник. 2020;211(11):41-53
41-53
Обобщения пространства непрерывных функций; теоремы вложения
Аннотация
Работа посвящена развитию аппарата $s$-мерно непрерывных функций, необходимого для применения в задаче Дирихле для эллиптического уравнения. Это обобщение пространства непрерывных функций позволило расширить понятия классического и обобщенного решений задачи Дирихле. Изучается связь этих пространств $s$-мерно непрерывных функций с другими известными функциональными пространствами. Это исследование потребовало нового (как нам кажется, более удачного и близкого к классическому) построения $s$-мерно непрерывных функций, которое в свою очередь привело к получению новых свойств этих пространств. В работе доказаны теоремы вложения пространства $C_{s,p}(\overline Q)$ в $C_{s',p'}(\overline Q)$ с $s'>s$ и $p'>p$, в частности в $ L_q(Q)$. Ранее было установлено вложение $W^1_2(Q)$ в $C_{n-1,2}(\overline Q)$, которое обеспечивает $(n-1)$-мерную непрерывность обобщенных решений; в настоящей работе доказано более общее вложение $W^1_r(Q)$ в $C_{s,p}(\overline Q)$ и подтверждена точность показателей в этих вложениях.Библиография: 33 названия.
Математический сборник. 2020;211(11):54-71
54-71
Пределы, стандартные комплексы и $\mathbf{fr}$-коды
Аннотация
Для сильно связной категории $\mathscr C$ с попарными копроизведениями определен косимплициальный объект, служащий своего рода резольвентой для вычисления высших производных функторов функтора предела $\lim\colon\mathrm{Ab}^{\mathscr C} {\to} \mathrm{Ab}$. В качестве приложений получена формула Кюннета для высших пределов и $\lim$-конечность $\mathbf{fr}$-кодов. Также вычислен словарь для $\mathbf{fr}$-кодов со словами длины $\leq 3$.Библиография: 19 названий.
Математический сборник. 2020;211(11):72-95
72-95
Асимптотически точная двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром
Аннотация
Изучаются голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя диаметрально противоположными граничными неподвижными точками и инвариантным диаметром. Получены асимптотически точные двусторонние оценки областей однолистности на классах таких функций в зависимости от значения произведения угловых производных в граничных неподвижных точках.Библиография: 16 названий.
Математический сборник. 2020;211(11):96-117
96-117
Результаты об обращении в нуль для $f$-минимальных гиперповерхностей в полном гладком метрическом пространстве с мерой
Аннотация
Пусть $(N^{n+1},g,e^{-f}dv)$ – полное гладкое метрическое пространство с мерой, а $M^{n}$ – некомпактная полная $f$-минимальная гиперповерхность в $N^{n+1}$. В работе классические теоремы об обращении в нуль для $L^{2}$-гармонических $1$-форм на полной минимальной гиперповерхности распространяются на многообразия с весом. Результат об обращении в нуль получен также в предположении, что взвешенная $L^n$-норма второй фундаментальной формы $M^n$ достаточно мала, что можно рассматривать как обобщение результата Юна и Сео.Библиография: 26 названий.
Математический сборник. 2020;211(11):118-128
118-128
Асимптотический анализ решений обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями
Аннотация
Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения вида$$\tau(y)- \lambda ^{2m} \varrho(x) y=0,\qquad \tau(y) =\sum_{k,s=0}^m(\tau_{k,s}(x)y^{(m-k)}(x))^{(m-s)},$$на конечном интервале $x\in[0,1]$. Здесь функции $\tau_{0,0}$ и $\varrho$абсолютно непрерывны и положительны, а коэффициенты дифференциального выражения $\tau(y)$ подчинены условиям$$\tau_{k,s}^{(-l)}\in L_2[0,1],\qquad 0\le k,s \le m,\quad l=\min\{k,s\},$$где $f^{(-k)}$ обозначает $k$-ю первообразную функции $f$ в смысле теории распределений. Наша цель – получить в этом случае аналоги классических асимптотических представлений типа Биркгофа для фундаментальной системы решений указанного уравнения по спектральному параметру при $\lambda \to \infty$ в некоторых секторах комплексной плоскости $\mathbb C$.Мы сводим это уравнение к системе уравнений первого порядка вида$$\mathbf y'=\lambda\rho(x)\mathrm B\mathbf y+\mathrm A(x)\mathbf y+\mathrm C(x,\lambda)\mathbf y,$$где $\rho$ – положительная функция, $\mathrm B$ – матрица с постоянными элементами, элементы матриц $\mathrm A(x)$ и $\mathrm C(x,\lambda)$ – суммируемые функции и выполнено условие $\|\mathrm C(x,\lambda)\|_{L_1}=o(1)$ при $\lambda \to \infty$.Для таких систем мы получаем новые результаты об асимптотическом представлении фундаментальной матрицы решений, которые используем для асимптотического анализа указанных выше скалярных уравнений высокого порядка.Библиография: 44 названия.
Математический сборник. 2020;211(11):129-166
129-166