Том 211, № 11 (2020)

Рассматриваются геодезические биллиарды на квадриках в $\mathbb{R}^3$. Рассматривается движение материальной точки внутри биллиардного стола, т.е. внутри области, лежащей на квадрике, ограниченной конечным числом квадрик, софокусных с данной, и имеющей углы излома на границе, равные ${\pi}/{2}$. Данная задача оказалась интегрируемой в силу известной теоремы Якоби–Шаля. На множестве биллиардных столов введено отношение эквивалентности и доказана теорема об их классификации. Представлена полная классификация геодезических биллиардов на квадриках в $\mathbb{R}^3$ с точностью до лиувиллевой эквивалентности.Библиография: 19 названий.

Работа посвящена развитию аппарата $s$-мерно непрерывных функций, необходимого для применения в задаче Дирихле для эллиптического уравнения. Это обобщение пространства непрерывных функций позволило расширить понятия классического и обобщенного решений задачи Дирихле. Изучается связь этих пространств $s$-мерно непрерывных функций с другими известными функциональными пространствами. Это исследование потребовало нового (как нам кажется, более удачного и близкого к классическому) построения $s$-мерно непрерывных функций, которое в свою очередь привело к получению новых свойств этих пространств. В работе доказаны теоремы вложения пространства $C_{s,p}(\overline Q)$ в $C_{s',p'}(\overline Q)$ с $s'>s$ и $p'>p$, в частности в $ L_q(Q)$. Ранее было установлено вложение $W^1_2(Q)$ в $C_{n-1,2}(\overline Q)$, которое обеспечивает $(n-1)$-мерную непрерывность обобщенных решений; в настоящей работе доказано более общее вложение $W^1_r(Q)$ в $C_{s,p}(\overline Q)$ и подтверждена точность показателей в этих вложениях.Библиография: 33 названия.

Изучаются голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя диаметрально противоположными граничными неподвижными точками и инвариантным диаметром. Получены асимптотически точные двусторонние оценки областей однолистности на классах таких функций в зависимости от значения произведения угловых производных в граничных неподвижных точках.Библиография: 16 названий.

Рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения вида$$\tau(y)- \lambda ^{2m} \varrho(x) y=0,\qquad \tau(y) =\sum_{k,s=0}^m(\tau_{k,s}(x)y^{(m-k)}(x))^{(m-s)},$$на конечном интервале $x\in[0,1]$. Здесь функции $\tau_{0,0}$ и $\varrho$абсолютно непрерывны и положительны, а коэффициенты дифференциального выражения $\tau(y)$ подчинены условиям$$\tau_{k,s}^{(-l)}\in L_2[0,1],\qquad 0\le k,s \le m,\quad l=\min\{k,s\},$$где $f^{(-k)}$ обозначает $k$-ю первообразную функции $f$ в смысле теории распределений. Наша цель – получить в этом случае аналоги классических асимптотических представлений типа Биркгофа для фундаментальной системы решений указанного уравнения по спектральному параметру при $\lambda \to \infty$ в некоторых секторах комплексной плоскости $\mathbb C$.Мы сводим это уравнение к системе уравнений первого порядка вида$$\mathbf y'=\lambda\rho(x)\mathrm B\mathbf y+\mathrm A(x)\mathbf y+\mathrm C(x,\lambda)\mathbf y,$$где $\rho$ – положительная функция, $\mathrm B$ – матрица с постоянными элементами, элементы матриц $\mathrm A(x)$ и $\mathrm C(x,\lambda)$ – суммируемые функции и выполнено условие $\|\mathrm C(x,\lambda)\|_{L_1}=o(1)$ при $\lambda \to \infty$.Для таких систем мы получаем новые результаты об асимптотическом представлении фундаментальной матрицы решений, которые используем для асимптотического анализа указанных выше скалярных уравнений высокого порядка.Библиография: 44 названия.