Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 216, № 9 (2025)
Первый момент $L$-функций симметрического квадрата модулярных форм
Аннотация
Мы доказываем асимптотическую формулу для первого скрученного момента $L$-функций симметрического квадрата, связанных с голоморфными параболическими формами фиксированного веса и уровня, равного степени простого числа $p^{\nu}$. Оказывается, что случай малого $\nu$ сильно отличается от случая $\nu\to \infty$. Библиография: 13 названий.
3-20
Формула коплощади для проекций липшицевых отображений групп Карно
Аннотация
21-41
Биллиард с переменным проскальзыванием
Аннотация
42-68
О существовании близкой к оптимальной крестовой аппроксимации в норме Фробениуса
Аннотация
Доказано, что для любой матрицы существует крестовая (псевдоскелетная) аппроксимация на основе $n$ строк и $n$ столбцов, погрешность которой по норме Фробениуса выше наилучшей возможной аппроксимации того же ранга не более чем в $1+{r}/{n}+o (n^{-1})$ раз, где $r$ – ранг крестовой аппроксимации.Библиография: 14 названий.
69-85
Теорема Люрота для полей рациональных функций от бесконечно многих переставляемых переменных
Аннотация
Теорема Люрота описывает доминантные отображения из рациональных кривых над полем.В статье изучаются такие доминантные рациональные отображения из декартовых степеней $X^{\Psi}$ геометрически неприводимых многообразий $X$ над полем $k$ для бесконечных множеств $\Psi$, которые эквивариантны по отношению ко всем перестановкам множителей $X$. По крайней мере некоторые из таких отображений изоморфны композициям $h\colon X^{\Psi}\xrightarrow{f^{\Psi}}Y^{\Psi}\to H\setminus Y^{\Psi}$, где $X\xrightarrow{f}Y$ – доминантное $k$-отображение, а $H$ – некоторая группа бирациональных автоморфизмов многообразия $Y|k$, диагонально действующая на $Y^{\Psi}$.Показано, что в нулевой характеристике все доминантные эквивариантные отображения из $X^{\Psi}$ получаются по существу именнотаким образом, если $\dim X=1$. Для произвольных $X$ получены частичные результаты.Также вкратце затронут аналогичный вопрос об описании эквивариантных целых схем конечного типа над $X^{\Psi}$.Библиография: 11 названий.
86-113
Гиперэллиптические касательные накрытия и четные конечнозонные потенциалы: туда и обратно
Аннотация
Обозначим через $\pi\colon (\Gamma,p) \to (X,\omega_0)$ разветвленное накрытие степени $n$ с отмеченной гладкой точкой $p$ над эллиптической кривой. Рассмотрим (рациональное) отображение Абеля $\mathrm{Ab}_p\colon \Gamma \to \operatorname{Jac}\Gamma$ и двойственное к нему отображение $\pi^\vee:= \mathrm{Ab}_p\circ\pi^* \colon X \to \operatorname{Jac}\Gamma$ в якобиан кривой $\Gamma$. Назовем $\pi$ гиперэллиптическим касательным накрытием (ГК-накрытием), если $\Gamma$ – гиперэллиптическая кривая, $p\in \Gamma$ – точка Вейерштрасса, а образы $\Gamma$ и $X$ в $\operatorname{Jac}\Gamma$ касаются друг друга в начале координат. Каждому ГК-накрытию $\pi$ сопоставляется целочисленный вектор $\mu \in \mathbb{N}^4$, называемый типом, для которого $\mu_0+1\equiv \mu_1 \equiv \mu_2 \equiv \mu_3 \equiv n \ \operatorname{mod}2$ и $2n+1-\sum_i \mu_i^2=4d$ при некотором $d\in \mathbb{N}$. Если кривая $\Gamma$ гладкая, то тип $\mu$ показывает, сколько точек Вейерштрасса кривой $\Gamma$ (отличных от $p$) лежит над каждым полупериодом $\omega_i$, $i=0,\dots,3$. Обозначим через $\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d)$ множество ГК-накрытий степени $n$ и типа $\mu$. Тогда четные $\Lambda$-периодические конечнозонные потенциалы, ассоциированные с $\mathcal{S}\mathcal{D}_X(\mu,d)= \{(\pi,\xi)\colon \pi\in\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d),\, \xi - \text{ некоторая тэта-характеристика } \pi\}$, представляются в виде
\( u_\xi(x)=\sum_0^3\alpha_i(\alpha_i+1)\wp(x-\omega_i) +2\sum_{j=1}^m \bigl(\wp(x-\rho_j)+\wp(x+\rho_j)\bigr) \)
для некоторых $(\alpha,m)\in \mathbb{N}^4\times \mathbb{N}$, удовлетворяющих уравнению $2n=\sum_i\alpha_i(\alpha_i+1)+4m$.
Множество $\mathcal{P}ot_X(\alpha,m)$ таких потенциалов конечно, и имеется биекция
\( (\pi,\xi) \in \bigcup_{(\mu,d)}\mathcal{S}\mathcal{D}_X(\mu,d) \mapsto u_\xi \in \bigcup_{(\alpha,m)}\mathcal{P}ot_X(\alpha,m). \)
Задача состоит в том, чтобы найти обратное отображение и мощности множеств $\#\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d)$, $\#\mathcal{P}ot_X(\alpha,m)$. Последний вопрос уже был подробно изучен для $\mathcal{P}ot_X(0)$ и $\mathcal{P}ot_X(1)$. Мы покажем, что $\#\mathcal{P}ot_X(\alpha,2)= 27$ для эллиптической кривой $X$ общего положения, и найдем прообраз $\mathcal{P}ot_X(\alpha,m)$. Отсюда следуют оценки типов и арифметических родов спектральных данных, порождающих элементы этого множества. В завершение мы сформулируем как гипотезу рекуррентную по $d\in \mathbb{N}$ формулу для $\#\mathcal{P}ot_X(\alpha,d)$ и $\#\mathcal{S}\mathcal{C}_X(\mu,d)$.
Настоящая статья посвящается памяти Жана-Луи Вердье и Игоря Моисеевича Кричевера.
Библиография: 30 названий.
114-162