Том 216, № 6 (2025)

Доказано, что любая функция класса $\mathrm{ACG}_r$, класса лузинского типа, дифференцируема почти всюду в смысле производной, определяемой в пространстве $L^r$, $1\le r<\infty$. Это приводит к полной дескриптивной характеристике $\mathrm{HK}_r$-интеграла типа Хенстока–Курцвейля, который служит для восстановления функции по ее $L^r$-производной. Класс $\mathrm{ACG}_r$ сравнивается с классическим классом Лузина $\mathrm{ACG}$ и устанавливается, что непрерывные $\mathrm{ACG}$-функции могут не быть почти всюду $L^r$-дифференцируемыми.Библиография: 20 названий.

В ограниченной области $N$-мерного пространства изучается однородная задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения в дивергентной форме с разрывной слабой нелинейностью степенного роста на бесконечности. Вариационным методом, базирующимся на понятии квазипотенциального оператора, получена теорема существования слабого полуправильного решения исследуемой задачи. Полуправильность решения означает, что его значения почти всюду в области, в которой рассматривается краевая задача, являются точками непрерывности слабой нелинейности по фазовой переменной. Далее в уравнение вводится положительный параметр как множитель при слабой нелинейности и изучается вопрос о существовании ненулевых слабых полуправильных решений полученной краевой задачи. При этом предполагается существование тривиального решения для всех значений параметра. Установлена теорема о существовании ненулевого слабого полуправильного решения при достаточно больших значениях параметра. Библиография: 19 названий.