Том 216, № 3 (2025)

Тайлом называется самоподобный компакт в $\mathbb R^n$, целые сдвиги которого образуют разбиение пространства.Тайловым $\mathrm B$-сплайном называется автосвертка характеристической функции тайла, по аналогии с кардинальным $\mathrm B$-сплайном, который является автосверткой отрезка. Известно, что несмотря на “фрактальность” носителя тайловые $\mathrm B$-сплайны могут быть сверхгладкими, т.е. их гладкость превышает гладкость классических $\mathrm B$-сплайнов тех же порядков. Мы вычисляем гладкость тайловых $\mathrm B$-сплайнов в $W_2^k(\mathbb R^n)$, применяя недавно разработанный метод, использующий оценки типа Литтлвуда–Пэли для решений масштабирующих уравнений. В статье данный метод адаптирован для тайловых $\mathrm B$-сплайнов, что позволило найти 20 семейств, обладающих свойством сверхгладкости. Выдвинута гипотеза о полноте данной классификации при малом количестве цифр, что подтверждается численными результатами.Библиография: 51 название.

Пусть $f$ – интегрируемая $2\pi$-периодическая функция $d\ge2$ переменных. Для ограниченного множества $A$ в $d$-мерном пространстве через $S_A(f)$ мы обозначаем сумму членов ряда Фурье функции $f$ с частотами из $A$. В статье изучается следующий вопрос: пусть $\{A_j\}$ – последовательность ограниченных выпуклых множеств; существуют ли функция $f$ и последовательность $\{j_\nu\}$ такие, что $\lim_{\nu\to\infty} |S_{A_{j_\nu}} (f)|=\infty$ почти всюду? Библиография: 5 названий.

Антинорма в линейном пространстве является вогнутым аналогом нормы. Она, в отличие от нормы, определена не на всем пространстве $\mathbb R^d$, а на произвольном конусе $K\subset \mathbb R^d$. Антинормы применяются в функциональном анализе, оптимальном управлении, динамических системах. Множества уровня антинормы называются коническими телами и (для кусочно линейных антинорм) коническими многогранниками. Основные факты и понятия “вогнутого анализа” антинорм такие, как теоремы отделимости, двойственность, поляры, функционал Минковского и т.д., подобны своим аналогам в выпуклом анализе. Есть, однако, и существенные отличия. Одно из них – существование множества самодвойственных объектов. Мы покажем, что существует бесконечное множество семейств автополярных конических тел и многогранников в конусе $K=\mathbb R^d_+$, и получим алгоритм их построения. При $d=2$ он дает полную классификацию самодвойственных антинорм, в то время как при $d\ge 3$ построены соответствующие контрпримеры. Библиография: 29 названий.

Определяется понятие дробной степени разностного оператора Лапласа функции на $d$-мерной решетке и ставится задача об оптимальном восстановлении этой дробной степени по приближенной информации о самой функции. Построено семейство оптимальных методов восстановления.Библиография: 11 названий.