Email this article On capacities comparable to harmonic ones
- Authors: Mazalov M.Y.1,2
-
Affiliations:
- National Research University "Moscow Power Engineering Institute" in Smolensk
- Saint Petersburg State University
- Issue: Vol 215, No 2 (2024)
- Pages: 120-146
- Section: Articles
- URL: https://ogarev-online.ru/0368-8666/article/view/251801
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9904
- ID: 251801
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Let L be a second-order homogeneous elliptic differential operator in RN, N⩾3, with constant complex coefficients. Removable singularities of L∞-bounded solutions of the equation Lf=0 are described in terms of the capacities γL, where γΔ is the classical harmonic capacity from potential theory. It is shown for the corresponding values of N that γL and γΔ are commensurable for all L. Some ideas due to Tolsa are used in the proof. Various consequences of this commensurability are presented; in particular, criteria for the uniform approximation of functions by solutions of the equation Lf=0 are stated in terms of harmonic capacities.
About the authors
Maksim Yakovlevich Mazalov
National Research University "Moscow Power Engineering Institute" in Smolensk; Saint Petersburg State University
Author for correspondence.
Email: maksimmazalov@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor
References
- П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “О равномерной и $C^1$-приближаемости функций на компактах в $mathbb{R}^2$ решениями эллиптических уравнений второго порядка”, Матем. сб., 190:2 (1999), 123–144
- П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с ними $B$- и $C$-емкости”, Матем. сб., 214:4 (2023), 114–131
- R. Harvey, J. C. Polking, “A notion of capacity which characterizes removable singularities”, Trans. Amer. Math. Soc., 169 (1972), 183–195
- М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости индивидуальных функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами”, Матем. сб., 211:9 (2020), 60–104
- Л. Карлесон, Избранные проблемы теории исключительных множеств, Мир, М., 1971, 126 с.
- М. В. Келдыш, “О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле”, УМН, 1941, № 8, 171–231
- М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 199:1 (2008), 15–46
- П. В. Парамонов, “О метрических свойствах $C$-емкостей, связанных с решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка в $mathbb R^2$”, Матем. сб., 213:6 (2022), 111–124
- М. Я. Мазалов, “Равномерное приближение функций решениями однородных сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $mathbb R^2$”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 89–126
- А. Л. Вольберг, В. Я. Эйдерман, “Неоднородный гармонический анализ: 16 лет развития”, УМН, 68:6(414) (2013), 3–58
- X. Tolsa, “Painleve's problem and the semiadditivity of analytic capacity”, Acta Math., 190:1 (2003), 105–149
- П. В. Парамонов, “Равномерные аппроксимации функций решениями сильно эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $mathbb R^2$”, Матем. сб., 212:12 (2021), 77–94
- J. Verdera, “$C^m$-approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon–Zygmund operators”, Duke Math. J., 55:1 (1987), 157–187
- Н. Н. Тарханов, Ряд Лорана для решений эллиптических систем, Наука, Новосибирск, 1991, 317 с.
- R. Harvey, J. Polking, “Removable singularities of solutions of linear partial differential equations”, Acta Math., 125 (1970), 39–56
- А. Г. Витушкин, “Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений”, УМН, 22:6(138) (1967), 141–199
- Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, Наука, М., 1966, 515 с.
- И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с.
- П. В. Парамонов, “Критерии индивидуальной $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $mathbb R^N$”, Матем. сб., 209:6 (2018), 83–97
Supplementary files
