Влияние внешнего магнитного поля на плотность тока в фотонном кристалле из примесных углеродных нанотрубок под действием лазерного импульса

Полный текст

Введение

Интерес к периодическим структурам с фотонной запрещенной зоной, называемых фотонными кристаллами, появился еще в середине 1980-х годов, начиная с пионерских работ Е. Яблоновича [1] и С. Джона [2]. Рассматривается одномерный фотонный кристалл, приближенный к реальным условиям [3], что открывает возможности дальнейшего использования расчетов для выполнения экспериментальных исследований и в наукоемком производстве. Неидеальность фотонного кристалла может быть обусловлена наличием многоуровневой примеси в структуре углеродных нанотрубок (УНТ). Под многоуровневой примесью будем понимать примесь с несколькими энергетическими уровнями, которые лежат выше уровня Ферми [4]. Такие примеси способны оказывать существенное влияние на электронную структуру вещества и тем самым вызывать изменения свойств полупроводников [5, 6]. Отметим, что исследования динамики предельно коротких оптических импульсов в нелинейном периодическом массиве УНТ с примесью показаны в работе [7]. Под предельно короткими лазерными импульсами (ПКИ) понимаются солитоноподобные импульсы, содержащие менее 5 периодов колебаний электромагнитного поля [8—11] (например, в работе [11] показаны различные методы генерации ПКИ). Отметим, что для стандартных титан-сапфировых лазеров длительность импульса составляет 10—30 фс. Исследование эволюции плотности тока в фотонном кристалле на основе УНТ под действием ультракороткого лазерного импульса были показаны в работе [12]. Обозначенная актуальность исследований взаимодействия коротковолновых фемтосекундных импульсов с фотонными кристаллами и послужили стимулом для данной работы.

Основные уравнения

Геометрия задачи имеет следующий вид: направление распространения лазерного импульса совпадает с осью, вдоль которой имеется модуляция показателя преломления одномерного фотонного кристалла (ось oz), ток, возникающий в среде, электрическое поле импульса и внешнее магнитное поле направлены вдоль оси нанотрубок (┴ oz).

Отметим, что в данной задаче можно считать, что ток распределен равномерно и использовать приближение сплошной среды. Это справедливо, поскольку, размер области локализации импульса существенно превосходит размеры нанотрубок и расстояние между ними.

Матричная форма гамильтониана, с использованием структуры блочных матриц, рассматриваемой задачи в рамках нашей модели имеет вид [13]:

$\stackrel{⏜}{H}=\left[\begin{array}{cc}{\stackrel{⏜}{H}}_{11}& {\stackrel{⏜}{H}}_{12}\\ {\stackrel{⏜}{H}}_{21}& {\stackrel{⏜}{H}}_{22}\end{array}\right]$, 

${\stackrel{⏜}{H}}_{11}=\left[\begin{array}{cc}0& f^{*}\\ f& 0\end{array}\right]$, ${\stackrel{⏜}{H}}_{22}=\left[\begin{array}{cccc}{t}_1& 0& 0& 0\\ 0& t_2& 0& 0\\ 0& 0& t_3& 0\\ 0& 0& 0& t_4\end{array}\right]$,

${\stackrel{⏜}{H}}_{12}=\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_1^{*}& {\beta }_1^{*}\\ {\alpha }_2^{*}& {\beta }_2^{*}\\ {\gamma }_1& {\Delta }_1\\ {\gamma }_2& {\Delta }_2\end{array}\right]$, ${\stackrel{⏜}{H}}_{21}=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\beta }_1& {\gamma }_1^{*}& {\Delta }_1^{*}\\ {\alpha }_2& {\beta }_2& {\gamma }_2^{*}& {\Delta }_2^{*}\end{array}\right]$, (1)

где $f$ – энергетический спектр УНТ, t_i — величина уровня энергии примеси, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\Delta$  — интегралы перескока между примесными уровнями и подрешетками УНТ. Далее, используя длинноволновое приближение, запишем эффективный Гамильтониан задачи [13]:

${\stackrel{⏜}{H}}_{eff}={\stackrel{⏜}{H}}_{11}-{\stackrel{⏜}{H}}_{12}{\stackrel{⏜}{H}}_{22}^{-1}{\stackrel{⏜}{H}}_{21}$. (2)

Cобственные значения Гамильтониана (2):

$\begin{array}{c}{\lambda }_{\mathrm{1,2}}^2=\\ =\frac{1}{2}\left(R+Q\pm \sqrt{{\left(R-Q\right)}^2-4\left(\epsilon D^{*}+{\epsilon }^{*}D-{\left|\epsilon \right|}^2-{\left|D\right|}^2\right)}\right)\end{array}$, (3)

где коэффициенты $R,Q,D$ зависят от интегралов перескока между примесными уровнями и подрешетками УНТ, $\epsilon \equiv \left|f\right|$  — закон дисперсии π-электронов в зоне проводимости УНТ [14], который в присутствии внешнего магнитного поля, направленного параллельно оси нанотрубки, имеет вид:

$\begin{array}{c}{\epsilon }_{\text{s}}\left(\overrightarrow{p},\overrightarrow{H}\right)=\\ =\pm {\gamma }_0{\left(1+4\cos \left(\frac{3a\overrightarrow{p}}{2}\right)\cos \left(\frac{\sqrt{3}a\overrightarrow{k}}{2}\right)+4{\cos }^2\left(\frac{\sqrt{3}a\overrightarrow{k}}{2}\right)\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.},\end{array}$

$k=\frac{2\pi }{\sqrt{3}am}\left(s+\Phi /{\Phi }_0\right),$ (4)

$a$ — постоянная решетки углеродной нанотрубки,  $Ф$ — магнитный поток через поперечное сечение трубки (Φ₀ = ћc/e, где $с$ – скорость света, $е$ – заряд электрона), m — количество гексагонов по периметру нанотрубки, значение  $s$ меняется от 1 до m. Более подробное объяснение математической модели, описывающей взаимодействие ПКИ с УНТ, в присутствии многоуровневой примеси, показано в работах [15, 16].

Для определения временной эволюции плотности тока в фотонном кристалле построим уравнение на вектор-потенциал трехмерного лазерного импульса:

$\frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial z^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial r}\right)-\frac{n^2\left(z\right)}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}+\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j}\left(\overrightarrow{A}\right)=0;$ (5)

здесь $n\left(z\right)$  — периодический показатель преломления среды, т. е. фотонный кристалл, $c$  — скорость света. Вектор-потенциал имеет вид: $\overrightarrow{A}= \left(\mathrm{0,} \mathrm{0,} A\left(z,r,t\right)\right)$ , плотность электрического тока: $\overrightarrow{j}= \left(\mathrm{0,} \mathrm{0,} j\left(z,r,t\right)\right)$ . Выбор цилиндрической системы координат оправдан тем, что в задаче наблюдается цилиндрическая симметрия и производной по углу можно пренебречь, что детально показано в [17].

Выражение для плотности тока имеет вид:

$j_{\text{z}}=\frac{q}{\pi }{\sum }_{\text{s}}{\int }_{-\pi /a}^{\pi /a}{v}_{\text{s}}\left(\overrightarrow{p}\right)Fd\overrightarrow{p},$ $v_{\text{s}}\left(\overrightarrow{p}\right)=\frac{\partial {\lambda }_1\left(\overrightarrow{p}\right)}{\partial p}.$ (6)

где q — заряд, F — функция распределения, которая подчиняется кинетическому уравнению Больцмана и в нулевой момент времени совпадает с функцией распределения Ферми F₀. Отметим, что в расчетах мы выбирали собственные значения эффективного Гамильтониана (2), соответствующие верхней зоне проводимости. Применив метод характеристик [18] для выражения (6), получим:

$j_{\text{z}}=\frac{q}{\pi }{\sum }_{\text{s}}{\int }_{ZB}{v}_{\text{s}}\left[p_{\text{z}}-\frac{q}{c}{A}_{\text{z}}\left(t\right)\right]F_0\left(p_{\text{z}}\right)d{p}_{\text{z}},$ (7)

где ZB — первая зона Бриллюэна. Более детальный вывод для выражения плотности тока можно найти, например, в [19].

Начальные условия на вектор-потенциал выбирались в виде функции Гаусса, а показатель преломления фотонного кристалла моделировался в виде:

$n\left(z\right)=1+\mu \cos \left(2\pi z/\chi \right)$ (8)

здесь  $\mu$ — глубина модуляции показателя преломления,  $\chi$ — период модуляции показателя преломления.

Результаты и их обсуждение

Численное моделирование временной эволюции плотности тока в среде фотонного кристалла на основе примесных УНТ в отсутствии и присутствии внешнего магнитного поля проводилось с помощью прямой конечно-разностной схемы типа «крест» [20], в которой выполняется условие Куранта. Точность решения превышает 0.01 %. При численном моделировании исследуемой системы, ее параметры выбирались следующим образом:  $m$ = 13, T = 293 K [21], время релаксации в УНТ ≈ 10^-11 c, длительность импульса ≈ 10^-14 c, ширина импульса вдоль осей координат:  $\sqrt{\left(1-v^2\right)},v = 0.95c$ — скорость входа ПКИ в среду фотонного кристалла. Параметры модуляции показателя преломления фотонного кристалла задавались следующим образом: глубина модуляции  $\mu$ = 0.25, период модуляции  $\chi$ = 2.5 мкм.

Картины динамики плотности тока в фотонном кристалле из УНТ, с учетом многоуровневой примеси, под действием лазерного импульса, показаны на рис. 1, отметим, что внешнее магнитное поле при этом отсутствует.

 

Рис. 1. Эволюция плотности тока в фотонном кристалле с примесными УНТ под действием лазерного импульса в фиксированные момент времени (а). Продольные срезы плотности тока (б).

 

Обратим внимание, что с течением времени, и прохождении предельно короткого лазерного импульса сквозь среду, ток приобретает кольцевую форму, что начинается с примерно 12 пс, и к 15 пс уже хорошо просматривается. Максимальная плотность тока концентрируется не только в месте расположения импульса, но в его модуляционной части. С течением времени максимальное значение плотности тока увеличивается до определенной величины, а затем перестает изменяться, выходя на плато, это происходит в силу периодичности закона дисперсии электронов.

Далее рассмотрим временную эволюцию плотности тока в присутствии внешнего магнитного поля, параллельного оси УНТ (рис. 2). Наличие внешнего магнитного поля существенно меняет картины плотности тока. Так, кольцевая форма тока появляется и отчетливо видна на времени уже в 10 пс. С увеличением величины магнитного поля область максимального тока «раздвигается» в пространстве, при этом увеличивается и ее амплитуда, что более наглядно заметно на рис. 3. Такой эффект вызывает изменение спектра электронов в УНТ. Продольные срезы плотности тока при различных значениях величины внешнего магнитного поля в фиксированный момент времени 10 пс также показаны на рис. 3.

 

Рис. 2. Эволюция плотности тока в фотонном кристалле с примесными УНТ под действием лазерного импульса, при различных значениях внешнего магнитного поля: Φ/Φ₀ = 0.1 (а), 1 (б).

 

Рис. 3. Продольные срезы плотности тока, в момент времени 10 пс, для различных значений внешнего магнитного поля.

 

Далее, на рисунке 4 показаны зависимости продольных срезов плотности тока от величины интеграла перескока (параметр $D$ ), между примесными уровнями и уровнями УНТ. Параметр  $D$ влияет на дисперсионное соотношение УНТ, и как следствие, на величину плотности тока. При его увеличении площадь, занимаемой плотности тока уменьшается, а также меняется ее форма, на наш взгляд это связано с тем, что возникает более сильная связь электронов, находящихся в зоне проводимости УНТ, с примесными уровнями.

 

Рис. 4. Продольные срезы плотности тока, в момент времени 10 пс, для различных значений параметра D.

 

Заключение

На основании результатов, полученных в рамках данного исследования, можно сделать следующий вывод. Величина внешнего магнитного поля, а также величина интеграла перескока между примесными уровнями и уровнями подрешеток УНТ оказывает существенное влияние на картину распределения плотности тока, такое изменение происходит за счет изменения закона дисперсии электронов в УНТ.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (договор № 075-15-2024-557 от 25.04.2024).

Об авторах

Ю. В. Двужилова

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный университет»

Email: dvuzhilov.ilya@volsu.ru
Россия, Волгоград

И. С. Двужилов

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Волгоградский государственный университет»

Автор, ответственный за переписку.
Email: dvuzhilov.ilya@volsu.ru
Россия, Волгоград

Ю. В. Кистенев

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

Email: dvuzhilov.ilya@volsu.ru
Россия, Томск

Список литературы

Дополнительные файлы