Общая концепция построения линейных систем автоматики для передвижения исследуемого параметра во временных структурах

Полный текст

Введение

Изначально рассматриваются цепи, являющиеся линейными системами автоматики (ЛСА). В цепи, состоящей из последовательно соединенных индуктивности L и емкости C, предварительно заряженной до напряжения $U_0$, отсутствует диссипация. В остальных цепях содержится резистор, обусловливающий наличие диссипации.

Во всех рассматриваемых цепях существует обмен энергией между электростатическим полем конденсатора и магнитным полем катушки индуктивности. В цепях с резистором существует трансформация энергии обоих полей в тепловую энергию, выделяемую на резисторе R.

В зависимости от режима работы рассматриваемых цепей им соответствуют определенного вида корни, используемые при описании исследуемого параметра U₀ – напряжения на конденсаторе. Для нахождения аналитического выражения постоянных интегрирования используется система уравнений. Матричная форма записи используется для проверки решения классическим способом.

В настоящей работе рассмотрены следующие режимы функционирования цепей: колебательный без диссипации для цепи, содержащей емкостный элемент и катушку индуктивности без резистивного элемента; колебательный с диссипацией для цепи второго порядка с наличием резистивного элемента; критический апериодический для цепи второго порядка с наличием резистивного элемента и апериодический для цепи второго порядка с наличием резистивного элемента.

При использовании матричного описания аналитических выражений исследуемого параметра (напряжения на конденсаторе) порядок цепи соответствует количеству реактивных элементов в ней и размерности используемых матриц. Это представление на плоскости. Увеличение порядка матриц (а также количества реактивных элементов в цепи) не ведет к качественному изменению результатов, а лишь усложняет вычисления и представление результатов.

Результатом исследований является получение корней, соответствующих определенному режиму функционирования рассматриваемых цепей.

В настоящей работе получены корни чисто мнимые, без вещественной части, комплексно-сопряженные, содержащие вещественную и мнимую части, и чисто вещественные, содержащие только вещественную часть.

Общепринято, что когда вычисляем постоянную времени исследуемой цепи, то принимаем ее равной обратному значению корня, взятого с обратным знаком. Это справедливо для всех корней, как для вещественных, так и для комплексных и мнимых.

Но при этом следует помнить, что в описании времени, которым является постоянная времени, появляется мнимая составляющая (в случае комплексных и мнимых корней). Об этом справедливо замечено в [1]. Поэтому необходимо найти данному явлению объяснение, позволяющее толковать наличие мнимой составляющей в описании постоянных времени.

Соответствие колебательных режимов без диссипации мнимым корням и с диссипацией комплексно-сопряженным корням дает объяснение в виде происходящего с исследуемым параметром колебательного процесса.

Постановка задачи

Даны следующие ЛСА:

• система, состоящая из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Источник питания отсутствует. Конденсатор предварительно заряжен до напряжения $U_0$. (Далее цепь $R–C–L–\text{0}–U_0).$
• системы, состоящие из последовательно соединенных катушки с индуктивностью L, конденсатора емкостью C, предварительно заряженного до напряжения $U_0$, а также резистора с сопротивлением R. В зависимости от значения R в таких цепях реализуется колебательный, критический апериодический и апериодический режим (далее цепь $R–C–L–\text{0}–U_0).$

Допущения: R, С и L – сосредоточенные элементы.

Источник питания отсутствует [2].

Необходимо:

1. найти корни характеристического уравнения, описывающего режим работы данных электрических цепей;
2. вывести аналитическое выражение исследуемого параметра $U_c$ (напряжения на конденсаторе);
3. найти аналитические выражения для постоянных времени каждой из данных электрических цепей ЛСА.

Пути решения

Рассмотрим ЛСА в виде электрической цепи $L–C–\text{0}–U_0$ (рис. 1).

Рис. 1. Линейная система автоматики в виде электрической цепи L – C – 0 – U₀

Опишем ее состояние на основе второго закона Кирхгофа (рис. 2).

Рис. 2. Линейная система автоматики после коммутации ключа вправо

Получим следующие уравнения:

$\frac{1}{C}\int i_{c}dt+u_c=0\text{; }L\frac{d{i}_c}{dt}-u_c=0.$

Сложим их почленно

$\frac{1}{C}\int i_{c}dt+L\frac{d{i}_c}{dt}=0.$

Продифференцируем обе части и упростим:

$L\frac{d^2{i}_c}{d{t}^2}+\frac{1}{C}{i}_c=0\text{;}$

$\frac{d^2{i}_c}{d{t}^2}=-\frac{1}{LC}{i}_c$.

Получим характеристическое уравнение

$p^2=-\frac{1}{LC}$,

откуда

$p_{\mathrm{1,}2}=\pm j\frac{1}{LC}$.

Найдем выражение для исследуемого параметра в виде

$u_{с}\left(t\right)=A_1{\text{e}}^{p_{1}t}+A_2{\text{e}}^{p_{2}t}$,

где $A_1$ и $A_2$ – постоянные интегрирования.

Решим классическим методом:

$A_1+A_2=U_0$;

$p_1{A}_1–p_1{A}_2=0.$

Преобразуем:

$A_1=U_0–A_2$;

$p_1\left(U_0-A_2\right)-p_1{A}_2=0$;

$p_1{U}_0–p_1{A}_2–p_1{A}_2=0$

$p_1{U}_0–2p_1{A}_2=0$;

$2p_1{A}_2=p_1{U}_0$;

$2A_2=U_0$;

$A_2=\frac{U_0}{2}$;

$A_1=U_0-A_2=U_0-\frac{U_0}{2}=\frac{U_0}{2}$.

Получим выражение для исследуемого параметра $U_c$

$u_{с}=\frac{U_0}{2}{\text{e}}^{p_{1}t}+\frac{U_0}{2}{\text{e}}^{-p_{1}t}=$

$=\frac{U_0}{2}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{LC}}t+j\sin \frac{1}{\sqrt{LC}}t\right)+\frac{U_0}{2}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{LC}}t-j\sin \frac{1}{\sqrt{LC}}t\right)=U_0\cos \frac{1}{\sqrt{LC}}t.$

Проведем проверку предыдущего решения с помощью матричного представления [3]:

${\left[\begin{array}{cc}{U}_0& 0\end{array}\right]}^{\text{т}}=\left[\begin{array}{cc}{\text{e}}^{p_{1}t}& {\text{e}}^{p_{2}t}\\ p_1{\text{e}}^{p_{1}t}& p_2{\text{e}}^{p_{2}t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$;

$U^{\text{т}}=E{A}^{\text{т}}$;

$E^{-1}{U}^{\text{т}}=E^{-1}E{A}^{\text{т}}$;

$E^{-1}{U}^{\text{т}}=A^{\text{т}}$.

Матрица A и ${А}^{-1}$ имеют вид

$A=\left(\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}\\ a_{21}{a}_{22}\end{array}\right)A^{-1}=\left(\begin{array}{l}\frac{a_{22}}{\Delta }-\frac{a_{12}}{\Delta }\\ -\frac{a_{21}}{\Delta }\frac{a_{11}}{\Delta }\end{array}\right)$.

Пусть $E=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ p_1& -p_1\end{array}\right]\text{, }\Delta E=-2p_1\text{,}$ для момента времени t = 0.

Тогда:

$E^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{p_1}{\Delta }& -\frac{1}{\Delta }\\ -\frac{p_1}{\Delta }& \frac{1}{\Delta }\end{array}\right]$;

$E^{-1}{U}^{\text{т}}=A^{\text{т}}$;

$E^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{p_1}{\Delta }& -\frac{1}{\Delta }\\ -\frac{p_1}{\Delta }& \frac{1}{\Delta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{p_1}{-2p_1}& \frac{1}{2p_1}\\ -\frac{p_1}{-2p_1}& -\frac{1}{2p_1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2p_1}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2p_1}\end{array}\right]$;

$E^{-1}{U}^{\text{т}}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2p_1}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2p_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{U}_0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{U_0}{2}\\ \frac{U_0}{2}\end{array}\right]=A^{\text{т}}.$

Рассмотрим цепь $R–C–L–0–U_0$ (рис. 3).

Рис. 3. Линейная система автоматики, реализованная в виде электрической цепи R – C – L – 0 – U₀

Для реализации апериодического режима необходимо выполнение условия $R>R_{\text{кр}}=2\sqrt{\frac{L}{C}}$, где $R_{\text{кр}}$ – значение сопротивления критического. Корни исследуемой цепи находим из ее характеристического уравнения.

$p_{\mathrm{1,}2}=-\frac{R}{2L}\pm \sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$.

Найдем выражение для исследуемого параметра в виде

$u_{с}\left(t\right)=A_1{\text{e}}^{p_{1}t}+A_2{\text{e}}^{p_{2}t}$.

При t = 0

$A_1+A_2=U_0$;

$p_1{A}_1+p_2{A}_2=0$,

откуда

$A_1=U_0–A_2$;

$p_1\left(U_0-A_2\right)+p_2{A}_2=0$.

Преобразуем к виду:

$p_1{U}_0–p_1{A}_2+p_2{A}_2=0$;

$A_2=U_0\frac{-p_1}{p_2-p_1}$.

Проверим проведенные вычисления в матричной форме:

$\begin{array}{l}E=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ p_1& p_2\end{array}\right],\Delta E=p_2-p_1\text{;}\\ {Е}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{p_2}{p_2-p_1}& -\frac{1}{p_2-p_1}\\ -\frac{p_1}{p_2-p_1}& \frac{1}{p_2-p_1}\end{array}\right]\text{;}\\ E^{-1}{U}^{\text{т}}=E^{-1}E{A}^{\text{т}}.\end{array}$

Откуда

$\left[\begin{array}{cc}\frac{p_2}{p_2-p_1}& -\frac{1}{p_2-p_1}\\ -\frac{p_1}{p_2-p_1}& \frac{1}{p_2-p_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{U_0{p}_2}{p_2-p_1}\\ -\frac{U_0{p}_1}{p_2-p_1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$.

Рассмотрим цепь $R–C–L–O–U_0$, а это предельный апериодический режим при выполнении условия $R=R_{\text{кр}}=2\sqrt{\frac{L}{C}}$. Решение будем искать в виде

$U_C\left(t\right)=A_1{\text{e}}^{p_{1}t}+A_2{\text{e}}^{p_{2}t}$.

При t = 0

$\begin{array}{l}{\left.u_{c\text{ св}}=\left(A_1+A_{2}t\right){\text{e}}^{pt}\right|}_{t=0}^{}=A_1=U_0\text{;}\\ {\left.\frac{d{u}_{c\text{ св}}}{dt}=\left(A_2+p{A}_1+p{A}_{2}t\right){\text{e}}^{pt}\right|}_{t=0}^{}=A_2+p{A}_1=0\text{;}\end{array}$

$A_2+p{U}_0=0\text{;}$

$A_2=–p{U}_0.$

Проверим эти выкладки в матричной форме

${\left[U_{0}0\right]}^{\text{т}}=\left[\begin{array}{cc}{\text{e}}^{pt}& t{\text{e}}^{pt}\\ p& (1+pt){\text{e}}^{pt}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right].$

При t = 0

$\begin{array}{l}{\left[U_0\text{ 0}\right]}^{\text{т}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ p& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right],\Delta =1\text{;}\\ E^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -p& 1\end{array}\right]\text{;}\end{array}$

$E^{-1}{U}^{\text{т}}=A^{\text{т}}\text{;}$

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -p& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{U}_0\\ -p{U}_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$.

Рассмотрим цепь $R–C–L–0–U_0$. При выполнении условия $R<R_{\text{кр}}=2\sqrt{\frac{L}{C}}$, режим в цепи будет колебательный.

В рассматриваемом случае колебательного режима решение будем искать в виде

$U_C\left(t\right)=A_1{\text{e}}^{p_{1}t}+A_2{\text{e}}^{p_{2}t}$

с учетом того, что $p_1=-\delta +j{\omega }_{\text{св}},p_2=-\delta -j{\omega }_{\text{св}}$, где $\delta =\frac{R}{2L}<{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$; а ${\omega }_{\text{св}}=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$ – угловая частота собственных затухающих или свободных колебаний в рассматриваемой цепи. Поскольку при t = 0

$A_1+A_2=U_0\text{;}$ $p_1{A}_1+p_2{A}_2=0$, (1)

то постоянные интегрирования имеют следующий вид:

$A_1=\frac{U_0{p}_2}{p_2-p_1}\text{; }{A}_2=-\frac{U_0{p}_1}{p_2-p_1}$.

Вместо $p_1$ и $p_2$ подставим их комплексные выражения:

$p_2-p_1=-\delta -j{\omega }_{\text{св}}-\left(-\delta +j{\omega }_{\text{св}}\right)=-2j{\omega }_{\text{св}}\text{;}$

$A_1=\frac{U_0\left(-\delta -j{\omega }_{\text{св}}\right)}{-2j{\omega }_{\text{св}}}\text{; }{A}_2=\frac{-U_0\left(-\delta +j{\omega }_{\text{св}}\right)}{-2j{\omega }_{\text{св}}}.$

После подстановки полученных комплексных выражений $A_1$ и $A_2$ в систему (1) получим тождества, что говорит о верности расчетов. Проверим в матричной форме:

$\begin{array}{l}E=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ p_1& p_2\end{array}\right]\text{, }\Delta E=p_2-p_1\text{;}\\ E^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{p_2}{p_2-p_1}& -\frac{1}{p_2-p_1}\\ -\frac{p_1}{p_2-p_1}& \frac{1}{p_2-p_1}\end{array}\right]\text{; }{E}^{-1}{U}^{\text{т}}=E^{-1}E{A}^{\text{т}}\text{,}\end{array}$

откуда

$\left[\begin{array}{cc}\frac{p_2}{p_2-p_1}& -\frac{1}{p_2-p_1}\\ -\frac{p_1}{p_2-p_1}& \frac{1}{p_2-p_1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{U_0{p}_2}{p_2-p_1}\\ -\frac{U_0{p}_1}{p_2-p_1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$.

Объединим предыдущие цепи, изображенные на рис. 1 и 3, в одну цепь, которая и будет окончательным вариантом ЛСА (рис. 4).

Рис. 4. Окончательный вариант электрической цепи, реализующей ЛСА: ${\mathit{R}}_{\mathbf{1}}\mathbf{<}{\mathit{R}}_{\mathbf{2}}\mathbf{<}{\mathit{R}}_{\mathbf{3}}$, $\mathit{L}\mathbf{\ne }{\mathit{L}}_{\mathbf{1}}$

Цепь $L–C–0–U_0$ реализует незатухающий колебательный режим, которому соответствуют два мнимых корня, равные по модулю, но с различными знаками:

$p_1=j\frac{1}{\sqrt{LC}}\text{; }{p}_2=-j\frac{1}{\sqrt{LC}}$

Цепь $R_1–C–L–0–U_0$ реализует затухающий колебательный режим, которому соответствуют два комплексно-сопряженных корня:

$p_1=-\frac{R}{2L}+j\sqrt{\frac{1}{C}-\frac{R^2}{4L^2}}\text{; }{p}_2=-\frac{R}{2L}-j\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$.

Цепь $R_2–C–L–0–U_0$ реализует критический апериодический режим, которому соответствуют два равных вещественных корня

$p_1=p_2=-\frac{R}{2L}$.

Цепь $R_3–C–L–0–U_0$ реализует апериодический режим, которому соответствуют два различных вещественных корня

$p_1=-\frac{R}{2L}+\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}\text{; }{p}_2=-\frac{R}{2L}-\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$.

Формально-логический переход от корней (мнимых, комплексных, вещественных) к временным структурам jt, t + jt и t заключаются в том, что во всех случаях $p=-\frac{1}{\tau }$, откуда $\tau =-\frac{1}{p}$, где $\tau$ – постоянная времени рассматриваемой цепи, которая может быть чисто мнимая, комплексно-сопряженная или вещественная, что указывает на принадлежность к временной структуре.

Результаты

Для цепи $L–C–0–U_0$ найдена постоянная времени. Величина мнимая. Режим колебательный незатухающий.

Для цепи $R–C–L–0–U_0$ найдены постоянные времени для колебательного затухающего, критического апериодического и апериодического режимов работы цепи. Эти величины комплексно-сопряженные и вещественные.

Полученные постоянные времени принадлежат в случае цепи $L–C–0–U_0$ к мнимой структуре времени, в случае цепи $R–C–L–0–U_0$ – к комплексной либо вещественной структуре времени.

Полученная окончательная схема позволяет переводить исследуемый параметр $U_c$ из одной временной структуры в другую.

Выводы

Найденные постоянные времени для цепей $L–C–0–U_0$ и $R–C–L–0–U_0$ указывают на режим функционирования цепи. Общая концепция построения ЛСА для передвижения их исследуемого параметра в различных структурах времени заключается в установлении исходного состояния электрической цепи ЛСА и последующего переключения на ветвь, где постоянные времени мнимые, комплексно-сопряженные или вещественные.

Об авторах

Евгений Игоревич Алгазин

Автор, ответственный за переписку.
Email: algazin@corp.nstu.ru

доктор технических наук, профессор кафедры «Электроника и электротехника»

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Линейная система автоматики в виде электрической цепи L – C – 0 – U0

Скачать (36KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Линейная система автоматики после коммутации ключа вправо

Скачать (35KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Линейная система автоматики, реализованная в виде электрической цепи R – C – L – 0 – U0

Скачать (35KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Окончательный вариант электрической цепи, реализующей ЛСА: R1

Скачать (55KB)

Метаданные