Evaluation of the performance of measuring the frequency characteristics of low-pass filters when testing a signal with an equal-amplitude complex series

Full Text

Введение

Работа связана с исследованием перспектив применения тестового сигнала с ограниченным равноамплитудным комплексным спектром [1] (рис. 1)

 

Рис. 1. Спектры комплексного ряда Фурье непрерывных РАП: a – N = 2K; б – N = 2K + 1

 

$D_N\left(x\right)=\frac{\sin \left\{Nx/2\right\}}{\sin \left\{x/2\right\}}=\left\{\begin{array}{l}\sum _{k=-\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}^{\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}{\text{e}}^{ikx}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}N=2K+1;\\ \sum _{k=-\mathrm{0,5}N}^{\mathrm{0,5}N-1}{\text{e}}^{i\left(2k+1\right)\frac{x}{2}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}N=2K\end{array}\right.$ (1)

в автоматизированных измерительных системах ЧХ линейных четырехполюсников. Указанные системы востребованы при производстве и установке радиоэлектронных [2], измерительных [3], инфо- и телекоммуникационных систем [4]. В работе [1] функция (1) названа равноамплитудным полиномом (РАП).

Ранее установлено – при формировании целого числа периодов T_d дискретизированного фрагмента РАП (1), то есть с длительностью

T = N_pT_d, N_p = {1, 2, 3, …}, (2)

и при целом числе отсчетов на одну волну

N_s = (T_d/N)/$∆t$ = T_dF_s,1/N = 2, 3, 4…, (3)

эффекта растекания спектра [5, 6] не наблюдается (рис. 2), и он достаточно близок к линейчатому спектру непрерывного РАП (см. рис. 1). Имеет место лишь неравномерность менее 0,1 % обусловленная квантованием при разрядности $N\mathrm{b}\le 12$.

 

Рис. 2. Эффект растекания спектра при нецелом числе периодов

 

Однако инерционность реакции фильтра (рис. 3) приводит к появлению составляющих спектра вне частот гармоник непрерывного РАП и грубому отклонению огибающей спектра отклика от ЧХ (рис. 4).

 

Рис. 3. Неустановившийся ${\mathit{D}}_{\mathit{t}\mathit{N}}$ и установившийся ${\mathit{D}}_{\mathit{s}\mathit{t}\mathit{N}}$ отклики на РАП

 

Рис. 4. ДПФ отклика ФНЧ-6 c учетом переходного процесса на фоне частотных ха-рактеристик при четном N: а – амплитудный спектр на фоне АЧХ, б – фазовый спектр на фоне ФЧХ

 

Распространенный простейший прием уменьшения дефектов (см. рис. 4) – растекания спектра и отклонения его от установившегося – увеличение длительности анализируемого фрагмента. Но для достижения заметного эффекта требуется от одного до нескольких десятков периодов, что существенно увеличит время анализа. Также точность измерения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) существенно зависит и от длительности ЛЧМ-импульса.

Цель работы – уменьшение времени измерения ЧХ при тестировании ФНЧ сигналом РАП, обусловленного инерционностью установления спектра, а также сравнение времени анализа с длительностью свипирования ЛЧМ-импульсом.

В работе не рассматривались полосовые фильтры, режекторные и фильтры верхних частот.

Измерения частотных характеристик с учетом инерционности фильтра

Переходной процесс отклика на РАП рассмотрим на примере ФНЧ Чебышева (рис. 5) с параметрами ЛАЧХ (рис. 6, а)

 

Рис. 5. Структурная схема ФНЧ

 

Рис. 6. Параметры ЛАЧХ ФНЧ (а), АЧХ ФНЧ-6 на фоне спектра РАП (б)

 

H₀ = 0 дБ, $∆$H = 1 дБ, H_s = 60 дБ, f_sL = 4f_pU, (4)

передаточная функция (ПФ) каждого звена которого описывается выражением

$H{2}_i\left(p\right)=\frac{a_{\mathrm{0,}i}{\omega }_c^2}{b_{\mathrm{2,}i}{p}^2+b_{\mathrm{1,}i}{\omega }_{c}p+b_{\mathrm{0,}i}{\omega }_c^2}$, i = {0, 1, 2}, ${\omega }_c=2\mathrm{\pi }{f}_{\mathrm{pU}}$. (5)

По методике [7] рассчитаны порядок ФНЧ n_f = 6 и параметр ${\epsilon }_p$ (см. рис. 6, б), затем функцией cheby(n_f, ${\epsilon }_p$) MathCAD – коэффициенты ПФ (5) звеньев.

Операторным методом рассчитана импульсная характеристика (ИХ) h(t) ФНЧ-6 и переходной процесс D_tN(t) (см. рис. 3, сплошная линия) интегралом свертки

$D_{tN}\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{D}_N\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau =\left\{\begin{array}{l}\sum _{n=-K}^{K-1}\sum _{j=0}^{n_f-1}{A}_j\frac{{\text{e}}^{i\left(2n+1\right)2\pi f_{1}t}-{\text{e}}^{p_{j}t}}{i\left(2n+1\right)2\pi f_1-p_j},N=2K;\\ \sum _{n=-K}^K\sum _{j=0}^{n_f-1}{A}_j\frac{{\text{e}}^{i\left(2n\right)2\pi f_{1}t}-{\text{e}}^{p_{j}t}}{i\left(2n\right)2\pi f_1-p_j},N=2K+1\end{array}\right.$ (6)

при:

• t $\in$[0, N_pT_d] для разных $N_p\ge 3$;
• поглощении спектром РАП (см. рис. 6, б) границ полос АЧХ (f_pU и f_sL)
  $N_{f1}\ge f_{sL}$; (7)
• условии – за полпериода T_d переходной процесс успевает установиться
  $0,5T_d>5/min\left\{\left|a_j\right|\right\}\Rightarrow 0,5/f1>5/min\left\{\left|a_j\right|\right\}\Rightarrow 0,5N/f_{sL}>5/min\left\{\left|a_j\right|\right\}\Rightarrow$
  $\Rightarrow N>10f_{sL}/min\left\{\left|a_j\right|\right\}$. (8)

В выражении переходного процесса (6) и в условии (8):

• A_j, p_j – коэффициенты вычетов и полюса передаточной функции ФНЧ-6;
• ${\alpha }_j$ – действительные части полюсов p_j.

Для ФНЧ-6 с параметрами (4) неравенство (8) выполнимо при N > 102.

Процесс (6) сравнили с установившейся составляющей реакции на РАП D_stN (см. рис. 3, точечная линия), рассчитанной суммой комплексного ряда Фурье

$D_{stN}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\sum _{k=-\mathrm{0,5}N}^{\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}H\left\{i\left(2n+1\right)2\pi f_1\right\}{\text{e}}^{i\left(2n+1\right)2\pi f_{1}t}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}N=2K;\\ \sum _{k=-\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}^{\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}H\left\{i\left(2n\right)2\pi f_1\right\}{\text{e}}^{i\left(2n\right)2\pi f_{1}t}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}N=2K+1.\end{array}\right.$ (9)

Расчеты (6), (9) выполнены:

• при разных значениях N = {128, 256, 512, 768, 1024};
• разных комбинациях границ спектра и полосы задерживания (ПЗ)
  Nf₁ = {f_sL, 1,5f_sL, 2f_sL}. (10)

Сверка D_tN и D_stN показала – переходные процессы успокаиваются за время

 t_пер < 0,5T_d, (11)

следующие пульсации D_tN периодически повторяются (см. рис. 3).

Очевидно – отсчеты ДПФ от D_tN «не впишутся» в ЧХ (см. рис. 4 и 7).

 

Рис. 7. ДПФ отклика ФНЧ-6 c учетом переходного процесса на фоне частотных ха-рактеристик при нечетном N: а – амплитудный спектр на фоне АЧХ, б – фазовый спектр на фоне ФЧХ

 

Исправить спектры пробуем не ростом длительности РАП, а исключением из ДПФ интервала переходного процесса с запасом. Итог – для отсчетов D_tN на

 t $\in$ [T_d, N_pT_d] (12)

отличия ДПФ переходного процесса от ЧХ при частотах спектра незаметны (рис. 8 и 9). Результаты детальной оценки отличий показаны ниже.

 

Рис. 8. ДПФ установившейся реакции ФНЧ-6 на фоне ЧХ: а – АЧХ и амплитудный спектр; б – ФЧХ и фазовый спектр

 

Рис. 9. ДПФ установившейся реакции ФНЧ-6 на фоне ЧХ при нечетном числе N: а – амплитудный спектр на фоне АЧХ, б – фазовый спектр на фоне ФЧХ

 

Итого, минимальное число периодов РАП для анализа ЧХ данного ФНЧ-6

 N_p,min = 2. (13)

Кроме рассмотренного ФНЧ-6 выполнены аналогичные расчетные эксперименты для ФНЧ 1-го, 2-го и 4-го порядков при разных соотношениях между границами полос f_pU и f_sL с аналогичными результатом.

Приемлемое сходство амплитудного спектра отклика и АЧХ имеет место и за пределами полосы пропускания (рис. 10), при f_pU < f < f_sL.

 

Рис. 10. Амплитудные спектры отклика ФНЧ-6 на РАП на фоне ЛАЧХ: а – амплитудный спектр на фоне АЧХ, б – фазовый спектр на фоне ФЧХ

 

Анализ времени измерения АЧХ методом свипирования

 Сравним время анализа ЧХ посредством РАП и ЛЧМ-сигнала (рис. 11).

 

Рис. 11. Упрощенная структура измерителя АЧХ свипированием

 

Точность получения «импульса» АЧХ y_инд (рис. 12, б) связана с соотношением длительностей свипирования T_swp и переходной характеристики ФНЧ [8 – 10]. С последней в статье коррелирована частота РАП f₁ (8). Моделированием в MathCAD исследуем эту взаимосвязь и определим минимальное T_swp, при котором погрешность измерения АЧХ – не выше 0,1 %.

 

Рис. 12. Модуль ЛЧМ-сигнала (а), модуль реакции на него и АЧХ (б)

 

В исследованиях применен типовой ЛЧМ-сигнал

$y{1}_{\text{ЛЧМ}}\left(t\right)=Y_m\sin \left({\omega }_{0}t+\frac{\mu t^2}{2}\right)$, Y_m = 1, (14)

где

$\mu = ∆\omega /T_{swp} = 2\mathrm{\pi }{f}_{sL}/T_{swp}$, (15)

а частота несущей ${\omega }_0=0$ – так целесообразней при анализе АЧХ ФНЧ.

Функции индикатора y_инд(t) моделировали исходя из допущения – детектор и сглаживающий фильтр (см. рис. 11) функционируют идеально без дефектов, то есть диаграммы y_инд(t) – огибающая модуля отклика $\left|y{2}_{\text{ЛЧМ}}\left(t\right)\right|$ (см. рис. 12, б). Саму функцию отклика получили интегралом свертки

$y{2}_{\text{ЛЧМ}}\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left(\mathrm{0,5}\mu {\tau }^2\right)h_{lf}\left(t-\tau \right)d\tau \Rightarrow$ (16)

$\Rightarrow y{2}_{\text{ЛЧМ}}\left(t\right)=\sum _{k=0}^{n_f-1}\left(A_k\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left\{{\text{\hspace{0.17em}e}}^{p_k\left(t-\tau \right)}\sin \left(\mathrm{0,5}\mu {\tau }^2\right)\right\}d\tau \right)$, (17)

где n_f = 6 – порядок фильтра; p_k – комплексно-сопряженные собственные частоты, A_k – вычеты ИХ, то же комплексно-сопряженные.

Эмпирически установлено – для MathCAD форма (17) более оптимальна по совокупности критериев скорости вычисления, сходимости и простоты формулы.

Все экстремумы интервала t $\in$ [0, T_swp] определяли численным решением

$y2{\text{'}}_{\text{ЛЧМ}}\left(t_{extr,k}\right) = 0$ (18)

с помощью функции программы MathCAD

$t_{extr,k}\leftarrow \text{root}\left[y2{\text{'}}_{\text{ЛЧМ}}\right(t0), t0, t1, t2]$, (19)

вставленной в многоцикличную программу.

Первый ненулевой экстремум t_extr,1 определялся на интервале

$\left[t\mathrm{1,}t2\right]=\left[\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\pi }{\mu }},\sqrt{\frac{2\pi }{\mu }}\right]$, (20)

где t2 – второй ноль функции (14) (см. рис. 12, а). На диаграмме |y2_лчм(t)| (см. рис. 12, б) первый ненулевой экстремум так же находится между t1 и t2, как и экстремум y1_ЛЧМ(t). В расчетных экспериментах указанная ситуация наблюдалась при любых соотношениях между частотой f_pU и временем свипирования T_swp.

Начальное приближение t0 – середина интервала [t1, t2]. Для поиска каждого следующего k-го экстремума границы интервала поиска изменяем так:

• начало следующего k-го интервала – конец предыдущего – t1 = t2;
• изначально концу интервала ставим в соответствие k-й ноль y1_ЛЧМ(t) (14)
  $t2=\sqrt{\frac{k2\pi }{\mu }}$; (21)
• если при текущем значении t2 не выполняется условие
   y2'_ЛЧМ(t1) y2'_ЛЧМ(t2) < 0 (22)

расширяем интервал

$t2=t2+\mathrm{0,1}\left\{\sqrt{\frac{\left(k+1\right)2\pi }{\mu }}-\sqrt{\frac{k2\pi }{\mu }}\right\}$ (23)

до невыполнения (22). При коррекции (23) «перебросов» за значение $\sqrt{\left(k+1\right)2\pi /\mu }$ не наблюдалось.

Для расчета производной в (19) и (22) продифференцирована функция (17)

$y{2^{\text{'}}}_{\text{ЛЧМ}}\left(t\right)=\sum _{k=0}^{n_f-1}\left(A_k{p}_k\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left\{{\text{\hspace{0.17em}e}}^{p_k\left(t-\tau \right)}\sin \left(\mathrm{0,5}\mu {\tau }^2\right)\right\}d\tau \right)$. (24)

Окончательно функция огибающей y_инд(t) (рис. 12, б) получена по принципу:

• на интервале t $\in$ [0, t_extr,1] огибающая повторяет первую «квази-четверть волны» отклика (17) на ЛЧМ-импульс>br>y_инд(t) = y2_ЛЧМ(t); (25)
• на интервале t $\in$ (t_extr,1, T_swp] это функция интерполяции MathCAD
  y_инд(t) = interp(Y2, t_extr, y2_extr, t), (26)

соединяющая экстремумы реакции на ЛЧМ импульс (t_extr,k, y2_extr,k), где

 y2_extr,k = |y2_ЛЧМ(t_extr,k)|. (27)

Массив Y2 – результат одной из функций сплайнов программы MathCAD

Y2 = lspline(t_extr, y2_extr). (28)

Эксперименты выполнены при $∆f= f_{s,L}=128f_1$, при времени свипирования

T_swp = {5T_d, 15T_d, 50T_d, 100T_d, 150T_d, 500T_d}, (29)

что соответствует базе $B=T_{swp}∆f=\left\{640, 1920, 6400, 12800, 19200, 64000\right\}$.

На рисунке 13 показаны некоторые результаты анализа. Если не принимать во внимание начальный участок от 0 до первого экстремума f_extr,1, визуально полученная огибающая не отличается от АЧХ только при $T_{swp}\ge 500T_d$ (см. рис. 13, в).

 

Рис. 13. Отклики ФНЧ-6 на ЛЧМ-сигнал на фоне расчетной АЧХ: а – B=640, T_swp=5T_d; б – B = 6400, T_swp = 50∙T_d; в – B=64000, T_swp=500T_d

 

Погрешности аппроксимации АЧХ при помощи РАП и ЛЧМ сравним сопоставлением суммарных площадей областей ошибки S_err, ограниченных кривой расчетной АЧХ и аппроксимирующими огибающими (рис. 13, 14).

 

Рис. 14. Площади ошибок при тестировании посредством РАП: а – N = 64; б – N = 65

 

При свипировании при базе B = 640 области ошибки хорошо заметны (см. рис. 13, а), при B = 6400 видна только одна область (см. рис. 13, б).

При аппроксимации АЧХ спектром РАП области ошибки S_err образованы кривой АЧХ и ломаной огибающей спектра (см. рис. 14, а – при четном N, см. рис. 14, б – нечетном N). Представлено при N < 102 для лучшей наглядности.

Оценка площадей областей ошибки S_err выполнена методом трапеций при соотношении между границами спектра РАП и АЧХ $– N{f}_1 = f_{sL} = ∆f$.

При ЛЧМ шаг трапеции по частоте $– h_f = f_1/100$, по времени $– h_t = 0,01T_{swp}/N$.

При выводе выражения ошибки интервал $0, \dots , f_{extr,1}$ в расчет не принимался

${\delta }_{\text{ЛЧМ},S}=\left\{\sum _{L=1}^{N_{\text{swp}}}\mathrm{0,5}\left|S_{\text{АЧХ},L}-S_{\text{swp},L}\right|\right\}/\sum _{L=1}^{N_{\text{swp}}}{S}_{\text{АЧХ},L}$, (30)

где $N_{swp} = (f_{sL} – f_{extr,1})/h_f$ – число трапеций; S_АЧХ,L – площадь трапеции АЧХ с индексом L

$S_{АЧХ,L}=0,5h_f\left(\right|H\left(i2\mathrm{\pi }\left\{f_{extr,1}+L{h}_f\right\}\right)|+|H\left(i2\mathrm{\pi }\left\{f_{extr,1}+(L–1)h_f\right\}\right)\left|\right),$

S_swp,L – площадь трапеции с номером L под линией y_инд(t)

$S_{swp,L} = 0,5h_f\left\{y_{\mathrm{инд}}\right(2\mathrm{\pi }{f}_{extr,1}/\mu + L{h}_t\left\}\right) + y_{\mathrm{инд}}(2\mathrm{\pi }{f}_{extr,1}/\mu + (L – 1\left)h_t\right)\}.$

Оценки (30) выполнены при шести значениях времени свипирования T_swp (29), построена графическая зависимость в логарифмическом масштабе (рис. 15).

 

Рис. 15. Ошибка анализа АЧХ свипированием при разной длительности

 

Для оценки ошибки при использовании РАП площадь под ломаной его амплитудного спектра разбита на «грубые» трапеции (см. рис. 14). Длины оснований k-й трапеции – модули спектра РАП |S2(f_k)| и |S2(f_k+1)|, высоты – h = 2f₁. Но у первой трапеция при четном N высота в два раза меньше – h = f₁ (рис. 14, а).

Амплитудно-частотную характеристику разбиваем чаще. Одной трапеции спектра РАП соответствует 200 фигур АЧХ, а первой при четном N – 100, то есть высота трапеций АЧХ h_f = 0,01 f₁.

Оценка погрешности при использовании РАП выполнена по принципу

${\delta }_{\text{РАП}}=\frac{{\displaystyle \sum _k\left|S_{\text{АЧХ},k}-S_{\text{РАП},k}\right|}}{{\displaystyle \sum _k{S}_{\text{АЧХ},k}}}$. (31)

Выражения для элементарных площадей в (31) при четных N (см. рис. 14, а):

– при k = 0

$S_{\text{АЧХ}\mathrm{,0}}=\sum _{L=0}^{99}\left(K\left(f_{L+1}\right)+K\left(f_L\right)\right)\frac{h_f}{2}$,

$S_{\text{РАП}\mathrm{,0}}=\left\{\left|S2\left(f_1\right)\right|+K\left(0\right)\right\}\frac{f_1}{2}$;

– при k = 0…0,5N – 2

$S_{\text{АЧХ,}k}=\sum _{L=0}^{199}\left\{K\left(f_k+f_{L+1}\right)+K\left(f_k+f_L\right)\right\}\frac{h_f}{2}$,

$S_{\text{РАП},k}=\left\{\left|S2\left(f_{k+1}\right)\right|+\left|S2\left(f_k\right)\right|\right\}{f}_1$.

Здесь $f_L=h_{f}L, f_k=(2k+1)f_1, K\left(f\right)=\left|H\right(i2\mathrm{\pi }f\left)\right|$ – функция АЧХ.

При нечетных N (см. рис. 14, б)

$S_{\text{АЧХ,}k}=\sum _{L=0}^{199}\left\{K\left\{f_k+f_{L+1}\right\}+K\left(f_k+f_L\right)\right\}\frac{h_f}{2}$,

$S_{\text{РАП},k}=\left\{\left|S2\left(f_{k+1}\right)\right|+\left|S2\left(f_k\right)\right|\right\}{f}_1$,

где $f_k=2k_{f1}, k=0 \dots 0,5(N-1)–1$.

Оценено при N = {64, 65, 128, 129, 256, 255, 512, 513, 1024, 1025} (рис. 16).

 

Рис. 16. Ошибка анализа АЧХ с помощью РАП при четном (а) и нечетном (б) N

 

График показывает, что погрешность измерения с помощью ЛЧМ соизмерима с погрешностью аппроксимации спектром РАП (при $N\ge 128$) при времени свипирования, соответствующем 50 периодам РАП, что в 25 раз дольше.

Заключение

При анализе частотных характеристик с помощью равноамплитудного полинома с погрешностью менее 1 % требуется время измерения на порядок меньше, чем время свипирования. При измерении частотных характеристик узлов звуковых систем – это доли секунды. Полученные результаты полезны при разработке более быстродействующих автоматизированных систем анализа частотных характеристик фильтров нижних частот. Диапазон частот анализа зависит от ограничений на частоту дискретизации, связанной с максимальной тактовой частотой микропроцессорной системы формирования равноамплитудного полинома и вычисления дискретного преобразования Фурье.

About the authors

S. S. Frolov

Orenburg State University

Author for correspondence.
Email: frolovsergey7@mail.ru

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Industrial Electronics and Information and Measuring Technology

Russian Federation, Orenburg

O. V. Khudorozhkov

Orenburg State University

Email: frolovsergey7@mail.ru

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Industrial Electronics and Information and Measuring Technology

Russian Federation, Orenburg

P. A. Pavlov

Orenburg State University

Email: frolovsergey7@mail.ru

Student

Russian Federation, Orenburg

References

Supplementary files