An Algorithm for Processing a Large Number of Experimental Data while Measuring Thermal Physical Properties of Materials by the Flat Pulse Heat Source Method

Full Text

Введение

В условиях динамично развивающихся технологий и создания новых материалов актуально изучение их теплофизических свойств (ТФС). В последнее десятилетие достаточно активно проводятся исследования, посвященные разработке и модернизации новых методик применения методов «мгновенных» и(или) импульсных источников теплоты или влаги [1 – 9]. Решения, приведенные в работе [10], а также обзор [11] численно-аналитических и экспериментальных методов определения ТФС материалов свидетельствуют о том, что основным подходом к получению знаний о ТФС новых веществ и материалов по-прежнему остается экспериментальное измерение этих свойств с последующей обработкой полученных данных по соответствующим алгоритмам в составе измерительных систем [12, 13].

При использовании многих известных методов (в том числе и методов линейного или плоского импульсных источников теплоты) экспериментального определения ТФС веществ и материалов в процессе обработки измерительной информации обычно используют ограниченный объем экспериментальных данных. Довольно часто на практике при вычислении искомых значений ТФС из большого по объему массива полученных экспериментальных исходных данных выделяется и используется единственный элемент массива [1 – 3, 5, 8, 9], соответствующий так называемым «оптимальным условиям» измерения и обработки информации.

Цель статьи – выработка рекомендаций по использованию большего объема первичной информации, полученной в процессе проведения эксперимента при измерении ТФС теплоизоляционных материалов методом плоского импульсного источника теплоты. Предлагаемый в статье подход позволяет повысить точность определения искомых ТФС за счет снижения влияния случайных погрешностей, возникающих при измерении непосредственно определяемых в ходе эксперимента значений физических величин (разностей температур, электрической мощности, геометрических размеров и т.п.).

Физическая модель измерительного устройства

Физическая модель измерительного устройства представляет собой ячейку [1 – 3, 5, 8, 9], в которую помещают образец, состоящий из трех пластин: нижней, средней и верхней. Наиболее высокие требования предъявляются к точности изготовления [1, 8, 9]:

• – средней пластины заданной толщины x, верхняя и нижняя грани которой должны быть выполнены строго параллельно друг другу и тщательно отшлифованы;
• – верхняя грань нижней пластины и нижняя грань верхней пластины также должны быть тщательно отшлифованы в целях снижения теплового сопротивления в местах их контакта с нижней и верхней гранями средней пластины.

Между нижней и средней пластинами обычно размещают малоинерционный плоский нагреватель, а между средней и верхней пластинами устанавливают первичный измерительный преобразователь температуры, например, термопару. Конструкции аналогичных измерительных устройств подробнее рассмотрены в [1 – 5, 8, 9].

Математическая модель температурного поля

Математическая модель температурного поля T(x, τ) в плоском образце (в случае использования импульсного плоского источника теплоты) может быть записана в виде [5, 7 – 9]:

$\frac{\partial T\left(x,\tau \right)}{\partial \tau }=a\frac{{\partial }^{2}T\left(x,\tau \right)}{\partial x^2},$  $\tau >0, 0<x<\infty ;$                                                       (1)

$T\left(x\mathrm{,0}\right)=T_0=0$;                                                                                                (2)

$-\lambda \frac{\partial T\left(\mathrm{0,}\tau \right)}{\partial x}$$=q\left(\tau ,{\tau }_{\text{и}}\right)=q_c\left[h\left(\tau \right)-h\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)\right]$;                                            (3)

$T\left(\infty ,\tau \right)=T_0=0$,                              (4)

где T(x, τ) – температура исследуемого образца в плоскости с координатой x в момент времени τ, отсчитываемый с момента начала активной стадии эксперимента, °С; a = λ/cρ – коэффициент температуропроводности, м²/с; c – удельная теплоемкость, Дж/(кг∙°С); ρ – плотность исследуемого материала, кг/м³; λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м∙°С); q(τ, τ_и) – импульсный плоский источник теплоты, Вт/м²; q_с – тепловой поток, подводимый к образцу через поверхность x = 0 в течение промежутка времени 0 < τ £ τ_и, Вт/м²; h(τ), h(τ– τ_и) – единичные ассиметричные ступенчатые функции, задаваемые соотношениями [14]:

$h\left(\tau \right)=\left\{\begin{array}{l}0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\tau <0;\\ 1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\tau \ge 0;\end{array}\right. h\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)=\left\{\begin{array}{l}0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\tau <{\tau }_{\text{и}};\\ 1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}при\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\tau \ge {\tau }_{\text{и}},\end{array}\right.$                                         (5)

τ_и длительность теплового импульса q(τ, τ_и), с. 

Используемое в математической модели (1) – (4) граничное условия 2-го рода в виде соотношения (3) графически проиллюстрировано на рис. 1.

Рис. 1. Изменение во времени τ физических величин: теплового импульса q(τ, τ_и ) = q_c [h(τ) – h(τ – τ_и )] , представляющего собой алгебраическую сумму ступенчатых функций q_ch(τ) и – q_сh(τ – τ_и ); разности температур [T (x, τ) – T₀] на расстоянии x от плоского импульсного источника теплоты

На основе использования принципа суперпозиции и приведенных в [5] результатов, решение краевой задачи (1) – (4) с учетом граничного условия (3) принимает вид

$T\left(x,\tau \right)-T_0=\frac{2q_c}{\lambda }f\left(x,\tau ,{\tau }_{\text{и}},a\right)$,                                                                                      (6)

где

$f\left(x,\tau ,{\tau }_{\text{и}},a\right)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a\tau }\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.33em}ierfc\hspace{0.33em}}\left(\frac{x}{2\sqrt{a\tau }}\right)\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}0}<\tau \le {\tau }_{\text{и}};\\ \sqrt{a\tau }\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.33em}ierfc\hspace{0.33em}}\left(\frac{x}{2\sqrt{a\tau }}\right)-\sqrt{a\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)}\text{\hspace{0.33em}ierfc\hspace{0.33em}}\left(\frac{x}{2\sqrt{a\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)}}\right)\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}при\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\tau >{\tau }_{\text{и}},\end{array}\right.$  (7)

$\text{ierfc\hspace{0.33em}}\left(u\right)=\underset{u}{\overset{\infty }{\int }}\text{erfc\hspace{0.33em}}\left(W\right)dW=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\text{e}}^{-u^2}-\text{uerfc}\left(u\right)$ – специальная функция [5, 7 – 9], представляющая собой интеграл от функции $\text{erfc\hspace{0.33em}}\left(W\right)=1-\text{erf\hspace{0.33em}}\left(W\right)$; $\text{erf\hspace{0.33em}}\left(W\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{\text{0}}{\overset{\text{W}}{\int }}{\text{e}}^{-W^2}dW$ – функция ошибок Гаусса [7, 14].

Для времени τ ≥ τ_и решение (6) с учетом (7) принимает вид

$T\left(x,\tau \right)-T_0=\frac{q_{c}x}{\lambda }\left[\frac{\text{ierfc\hspace{0.33em}}\left[U\left(\tau \right)\right]}{U\left(\tau \right)}-\frac{\text{ierfc\hspace{0.33em}}\left[U\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)\right]}{U\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)}\right]$,               (8)

где $U\left(\tau \right)=\frac{x}{2\sqrt{a\tau }}$, $U\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)=\frac{x}{2\sqrt{a\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)}}$ – безразмерные функции, зависящие от x,τ,τ_и, a, причем

$U\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)=\frac{x}{2\sqrt{a\left(\tau -{\tau }_{\text{и}}\right)}}=\frac{x}{2\sqrt{a\tau \left(\frac{\tau -{\tau }_{\text{и}}}{\tau }\right)}}=U\left(\tau \right)\sqrt{\frac{\tau }{\tau -{\tau }_{\text{и}}}}$.

График зависимости (8) также приведен на рис. 1, откуда видно, что рассчитанное по данной формуле изменение разности температур [T(x,τ) – T₀] в момент времени τ = τ_max достигает максимального значения [T_max – T₀] = [T(x,τ_max) – T₀] причем этому моменту времени τ = τ_max соответствует определенное значение безразмерной функции $U^m=U\left({\tau }_{\max }\right)-\frac{x}{2\sqrt{a{\tau }_{\max }}}$.

Подход к проведению эксперимента и последующая обработка полученных данных

Ранее применявшийся подход к проведению эксперимента и последующей обработке полученных данных при измерении ТФС методом плоского импульсного источника теплоты состоит в следующем [8, 9]:

$\gamma =\frac{T\left(x,\tau \right)-T_0}{T_{\max }-T_0}$,

представляющего собой отношение текущего значения разности температур [T(x,τ) – T₀], имеющего место в момент времени τ, к максимальному значению [T_max – T₀] = [T(x,τ_max) – T₀] разности температур в момент времени τ = τ_max. Ранее в работах [8, 9] определено оптимальное значение γ = 0,465 данного параметра;

4) по полученным значениям τ′, [T_max – T₀] с учетом известных x, q_c = P/2S вычисляют искомые значения коэффициента температуропроводности a и теплопроводности λ исследуемого материала по формулам, приведенным в [8, 9].

Недостатком ранее применявшегося подхода к обработке экспериментальных данных является то, что из имеющегося достаточно большого массива экспериментальных данных используется фактически только:

• – одна точка при вычислении коэффициента температуропроводности;
• – вторая точка для вычисления коэффициента теплопроводности.

Предложенный алгоритм обработки экспериментальных данных предусматривает использование практически всего массива экспериментально измеренных значений температур, что обеспечивает снижение величины результирующих погрешностей измерения коэффициента температуропроводности и коэффициента теплопроводности исследуемого материала.

Алгоритм обработки экспериментальной информации

Разработанный алгоритм базируется на использовании большего количества экспериментальных точек (практически всего массива экспериментально измеренных значений разностей температур [T(x,τ_i) – T₀]. Отметим, что впервые аналогичный подход изложен в статье [15]. В процессе эксперимента (при измеренном или известном расстоянии x между линейным нагревателем и термопарой, а также при измеренном или заданном значении теплового потока q_c = P/2S регистрируют элементы массива в виде экспериментально измеренных в моменты времени τ_i значений разностей температур T_э(τ_i) = [T(x,τ_i) – T₀].

Далее подбирают наилучшие пары искомых значений коэффициентов тепло- и температуропроводности λ_х, а_х, при которых вычисленные по формуле (8) для тех же значений координаты x, теплового потока q_c = P/2S и моментов времени τ_i, i = 1, 2, …, N, расчетные значения разностей температур

$T_{\text{р}}\left(a_x,{\lambda }_x,x,{\tau }_i\right)={\left[T\left(x,{\tau }_i\right)-T_0\right]}_{\text{р}}$,                                                            (9)

наиболее близки к экспериментально измеренным значениям T_э(τ_i).

При практическом решении данной задачи в процессе перебора значений λ_х, а_х с небольшим шагом в заранее заданных диапазонах а_min < а_х < а_max, λ_min < λ_х < λ_max осуществляют вычисление и минимизацию целевой функции в виде суммы квадратов отклонений

$F\left(a_x,{\lambda }_x\right)=\sum _{i=1}^N{\left[T_{\text{р}}\left(a_x,{\lambda }_x,x,{\tau }_i\right)-T_{\text{э}}\left({\tau }_i\right)\right]}^{{}^2}=\min .$                              (10)

В качестве искомых значений ТФС принимается та пара значений λ_х, а_х, при которых достигается минимум целевой функции (10).

При указании диапазонов изменения ТФС необходимо учитывать предварительную информацию об ожидаемых значениях λ_х, а_х, полученных, например, численно-аналитическими методами [11] или приблизительно оцененные на менее точном измерительном устройстве.

Подтверждение работоспособности алгоритма обработки экспериментальных данных с применением численного математического моделирования

Процедура численного моделирования процесса обработки экспериментальных данных включает следующие этапы:

$T_{\text{э}}\left({\tau }_i\right)={\left[T\left(x,{\tau }_i\right)-T_0\right]}^{\text{гр}}$;                                                                        (11)

5) в процессе перебора значений λ_х, а_х с небольшим шагом в заранее заданных диапазонах а_min < а_х < а_max, λ_min < λ_х < λ_max вычисляли и минимизировали целевую функцию (10), где T_p (а_х, λ_х,x, τ_i) (см. формулу (9)) – рассчитанные по формуле (8) разности температур, соответствующие моментам времени τ_i, i = 1, 2, …, N, при заданных (на каждом этапе расчетов) значениях ТФС λ_х, а_х;  определяется формулой (11) и представляет псевдоэкспериментальные значения элементов массива, соответствующие моментам времени τ_i. Затем находили искомую пару значений ТФС, при которых достигается минимум целевой функции (10).

Нахождение числа экспериментальных точек N, обеспечивающего требуемую точность определения искомых ТФС в процессе обработки данных

Вначале вычисляли относительные погрешности (неопределенности расчета искомых величин) δλ_p, δa_p полученных значений коэффициентов λ_x, a_x:

$\delta {\lambda }_{\text{р}}=\left({\lambda }_x-{\lambda }_{\text{т}}\right)/{\lambda }_{\text{т}}$;

$\delta a_{\text{р}}=\left(a_x-a_{\text{т}}\right)/a_{\text{т}}$,

а затем находили сумму данных погрешностей δλ_p + δa_p.

При этом значения искомых величин рассчитывали при числе экспериментальных точек N = 20, 40, 60, 80, 100, 120.

Рис. 2. Зависимость суммарной погрешности δλ_p + δa_p от числа экспериментальных точек N

На рисунке 2 приведена зависимость суммарной погрешности δλ_p + δa_p от числа N экспериментальных точек. Очевидно, что при увеличении числа используемых экспериментальных точек сумма двух погрешностей δλ_p + δa_p уменьшается, причем, если при N = 20 суммарная относительная погрешность алгоритма обработки данных δλ_p + δa_p ≈ 0,8%, то при N = 50 и более погрешность алгоритма обработки не превышает величины 0,25%.

Заключение

Рассмотренный алгоритм обработки экспериментальной информации обеспечивает повышение точности определения искомых ТФС за счет уменьшения влияния случайных погрешностей измерения непосредственно определяемых в ходе эксперимента физических величин (разностей температур).

Разработанный подход, основанный на использовании компьютерного численного математического моделирования процесса измерения теплофизических свойств методом плоского импульсного источника теплоты, позволяет еще на этапе проектирования (то есть до начала изготовления экспериментальной установки) существенно снизить затраты времени, материальных и финансовых ресурсов на выполнение научно-исследовательских работ по оценке погрешностей измерения ТФС материалов по сравнению со случаем экспериментального проведения работ после изготовления опытного образца (макета) измерительного устройства.

About the authors

S. V. Ponomarev

Author for correspondence.
Email: svponom@yahoo.com

доктор технических наук, профессор кафедры «Мехатроника и технологические измерения»

S. S. Baranov

Email: svponom@yahoo.com

магистрант, кафедра «Мехатроника и технологические измерения»

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Change in time τ of physical quantities: heat pulse q(τ, τи) = qc [h(τ) – h(τ – τи)], which is an algebraic sum of step functions qch(τ) and – qсh(τ – τи); temperature difference [T (x, τ) – T0] at a distance x from a flat pulse heat source

Download (97KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Dependence of the total error δλp + δap on the number of experimental points N

Download (58KB)

Indexing metadata