Reproduction of a Signal Fragment with a Rectangular Line Spectrum of a Measuring System for Frequency Characteristics of Low-Pass Filters

Full Text

Введение

В процессе производства и установки радиоэлектронных [1], измерительных [2], инфо- и телекоммуникационных систем [3] востребованы процедуры автоматизированного контроля их частотных характеристик (ЧХ). Подобные системы автоматического анализа ЧХ выпускаются, например, группой компаний ZETLAB (Зеленоград, Россия) [4]. Для некоторых современных осциллографов резервируется операция автоматического построения диаграмм Боде четырехполюсников как дополнительная опция на заказ [5].

При автоматическом анализе ЧХ фильтров применяются следующие методы:

Первым и вторым методами не измеряется фазочастотная характеристика (ФЧХ). Есть решения [12, 13], где современными ресурсами цифровой обработки сигналов (ЦОС) получают комплексную ЧХ при ЛЧМ-воздействии, но при этом задействуют более громоздкие операции ЦОС, чем в предлагаемой статье. Равномерность амплитуды ЛЧМ-импульса измерителей не меньше 0,3 дБ [6, 8], что соответствует 3,4 %. Что касается времени свипирования – для тестирования узлов звуковых устройств требуется от единиц до нескольких десятков секунд.

У промышленных широкополосных генераторов шума электронных приборов и псевдошума неравномерность спектральной плотности мощности не меньше 1 дБ (20 %). Низшая частота анализа – не менее 5 Гц.

Анализ амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и ФЧХ вторым методом длится от нескольких секунд до десятков секунд.

Исследования в работе [14] связаны с применением функции вида

$D_N\left(x\right)=\frac{\sin \left\{Nx/2\right\}}{\sin \left(x/2\right)},x=2\text{π\hspace{0.17em}}ft,N=\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{4,}\dots$,                                                                   (1)

где N – число волн на период, с ограниченным равноамплитудным косинусоидальным рядом Фурье (диаграммы функции (рис. 1), пример спектрограммы (рис. 2, а)):

$D_N\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1+2\cos \left(x\right)+2\cos \left(2x\right)+\mathrm{....}+2\cos \left(Kx\right)\text{ при }N=2K+1\\ 2\cos \left(\frac{x}{2}\right)+2\cos \left(3\frac{x}{2}\right)+\mathrm{....}+2\cos \left(\left(2K-1\right)\frac{x}{2}\right)\text{ при }N=2K\end{array}\right.$,                          (2)

непрерывным воздействием при анализе ЧХ. В источнике [14] функция (1) названа равноамплитудным полиномом (РАП). В статье используется тот же термин.

Равномерность спектра РАП (см. рис. 2, а) упрощает анализ ЧХ с малой погрешностью – отпадает необходимость приведения к спектру входного воздействия.

Но известные способы воспроизведения деформируют спектр исходной функции. В работе [14] исследованы искажения прямоугольности спектров РАП при цифровом формировании, вызванные дискретизацией (см. рис. 2). Искажения прямоугольности основного спектра (первая полоса на рис. 2, б) усложняют измерения АЧХ с малой погрешностью.

Цель работы – приблизить спектр формируемого РАП к прямоугольному линейчатому идеальной функции (1) и оценить погрешности отклонения, обусловленные математической моделью способа воспроизведения. Проблемы формирования РАП, вызванные дефектами электронных узлов, не рассматриваются.

 

Рис. 1. Равноамплитудные полиномы при четном (а) и нечетном (б) N

 

Рис. 2. Амплитудный спектр исходного (а) и дискретизированного равноамплитудного полинома при ступенчатой аппроксимации (б)

 

Проблемы формирования тестовых сигналов с прямоугольным линейчатым спектром в микропроцессорных системах

В работе [14] спектры, аналогичные рис. 2, б, рассчитаны без учета квантования, в предположении, что технически функция (1) формируется на выходе ЦАП, вид ее аппроксимации – ступенчатый.

Но дефекты (см. рис. 2, б) имеет смысл учитывать, если:

• – либо измеритель спектра аналоговый;
• – либо это специализированный анализатор с функцией быстрого преобразования Фурье (БПФ) или цифровой осциллограф с той же встроенной операцией БПФ (рис. 3) с частотой выборки F_s,2 на порядки большей частоты F_s,1 формирования РАП

$F_{s,2} \gg F_{s,1}$.                                                                                      (3)

На практике условие (3) трудно выполнимо. Представленный на дисплее РАП (рис. 4) получен микроконтроллером платы NUCLEO-L073RZ (см. рис. 3) и состоит из N1 = 2048 отсчетов. Из числа периодов N_p на дисплее (» 17,5) и параметра Time следует число отсчетов осциллографа N2 = 12 000 на фрагмент T и частота дискретизации формирователя F_s,1 » 15 000 с^–1 > F_s,2 = Sa = 5 000 с^–1 (см. рис. 4). В итоге, для достижения только события F_s,2 > F_s,1 следует уменьшить число периодов N_p минимум в 6 раз при том же числе отсчетов N2, сузив развертку Time. Условие (3) при этом обеспечивается недостаточно.

Известно, анализаторы спектра обрабатывают ограниченный отрезок функции, и от фрагмента периодического сигнала получают спектральную плотность, а не линейчатый спектр (см. рис. 4). Кроме того, максимумы при всех частотах гармоник РАП на дисплее неравномерны (на рис. 2 неравномерность наблюдается только в области правой границы основной полосы). Похожая деформация при дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) косинуса в учебном пособии названа растеканием спектра [15].

 

Рис. 3. Экспериментальная система исследования спектра РАП

 

Рис. 4. РАП и результат его БПФ на дисплее осциллографа при N = 16

 

Для приближения спектра (см. рис. 4) к линейчатому и сужения растеканий вокруг максимумов принято увеличивать длительность фрагмента T. Для выполнения условия (3) фрагмент следует уменьшить, оставив то же число отсчетов. То есть число периодов РАП следует уменьшить в 6 раз, сократив во столько же время анализа БПФ и усилив растекание спектра.

Условия получения дискретизированного равноамплитудного полинома с прямоугольным линейчатым спектром

В учебном пособии [15] обозначено условие эффекта растекания – ДПФ подвергается фрагмент с нецелым числом периодов. В программе MathСAD выполнены эксперименты с ДПФ для РАП при невыполнении соотношения

$T=N_p{T}_d,N_p=\left\{1,2,3,\dots \right\}$,                                                                                  (4)

где T – длительность фрагмента, с; T_d – период РАП, с (см. рис. 1).

Итоги расчетов при разных комбинациях чисел N и нецелых значений N_p разного порядка подтвердили неравномерность локальных максимумов (рис. 5, а).

 

Рис. 5. Спектры при нецелом (а) и целом (б) числе периодов

 

Эксперименты при условии (4) и целом числе выборок на волну (см. рис. 1)

$Ns =\raisebox{1ex}{$ (T_d/N)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$∆t$}\right. = \raisebox{1ex}{$T_d{F}_{s,1}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$N, N_s$}\right. = 2, 3, 4\dots ,$                                              (5)

показали, что значения ДПФ – ненулевые только при частотах гармоник линейчатого спектра непрерывного РАП (рис. 5, б), причем все – одинаковые и вещественные.

Рассмотрим последнее явление. При условии (5) число выборок на период T_d

$N1 = N_{s}N,$                                                                                                    (6)

а на N_p периодов

$N2 = N1 N = N_p N_s N.$                                                                             (7)

Дискретное преобразование Фурье рассчитываем на интервале частот

$f \in (–0,5 N2 df, 0,5 N2 df)$,                                                                      (8)

c помощью выражения

$S\left(n1\right)=\frac{1}{N2}\sum _{k=0}^{N2-1}\left\{D_N\left(k\Delta t\right)\exp \left(-i\frac{2\pi n1}{N2}k\right)\right\}$,                                            (9)

где df – частотный шаг между выборками из спектра (9) с номерами n1

$df = \frac{1}{T} = \frac{1}{N_p{T}_d} = \frac{f_1}{N_p}$,                                                                      (10)

величина f₁ – частота повторения РАП и расстояние между составляющими линейчатого спектра непрерывного РАП.

Из (10) следует, что

$f_1 = N_{p}df$,

n-й гармонике линейчатого спектра соответствует отсчет ДПФ с номерами

$n1 = N_{p}n$.                                                                                                      (11)

В рамках статьи за период (1) принято одинаковое значение T_d = 4π для равноамплитудных полиномов и с четными, и с нечетными N (см. рис. 1).

С учетом (4) и (7) преобразуем выражение ДПФ (9)

$S\left(n1\right)=$$\frac{1}{N1N_p}\sum _{k=0}^{N1-1}$$\left(D_{N,k}{\text{\hspace{0.17em}e}}^{-i\frac{2\pi n1}{N1N_p}k}\left\{\sum _{k_p=0}^{N_p-1}{\text{e}}^{-i\frac{2\pi n1}{N_p}{k}_p}\right\}\right)$.               (12)

Разберем внутреннюю сумму (12) – сумму геометрической прогрессии

Следовательно, спектр (12) ненулевой только при n1=nN_p

$\sum _{k_p=0}^{N_p-1}\left\{{\text{e}}^{-i\frac{2\pi n1}{N_p}{k}_p}\right\}=\frac{1-{\text{e}}^{-i\frac{2\pi n1}{N_p}N{}_p}}{1-{\text{e}}^{-i\frac{2\pi n1}{N_p}}}$$=\frac{1-{\text{e}}^{-i2\pi n1}}{1-{\text{e}}^{-i\frac{2\pi n1}{N_p}}}=$$\left\{\begin{array}{l}{N}_p\text{ при }n1=n{N}_p\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях.}\end{array}\right.$.          (13)

В итоге, при условии (4) спектр (9) ненулевой только при частотах, кратных f₁ – при частотах составляющих сумм комплексных рядов Фурье (КРФ) непрерывного РАП (1). Выражения для КРФ получим из косинусоидальных (2):

• – при N = 2K

$D_N\left(x\right)=$$\sum _{k=-\mathrm{0,5}N}^{\mathrm{0,5}N-1}{\text{e}}^{i\left(2k+1\right)\frac{x}{2}}$;                                                                              (14)

• – при N = 2K+1

$D_N\left(x\right)=$.$\sum _{k=-\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}^{\mathrm{0,5}\left(N-1\right)}{\text{e}}^{ikx}$.                                                                             (15)

Просчитаем расхождения между значениями выражения ДПФ (13) и спектра непрерывного РАП (рис. 6). Последний описывается выражениями:

• – при N = 2K

$С\left(n\right)=$$\left\{\begin{array}{l}1\text{ при }n=2k+\mathrm{1,}-\left(N-1\right)\le n\le N-1\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях;}\end{array}\right.$,                                      (16)

a – N = 2K; б – N = 2K + 1

• – при N = 2K + 1

$С\left(n\right)=$$\left\{\begin{array}{l}1\text{ при }n=2k,-\left(N-1\right)\le n\le N-1\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях.}\end{array}\right.$.                                           (17)

Преобразуем ДПФ (13) при N = 2K, подставив вместо D_N,k сумму (14):

$S\left(n{N}_p\right)=$$\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{N1-1}\left[\sum _{n^{\text{'}}=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}-1}{\text{e}}^{i\left(2n^{\text{'}}+1\right)\frac{4\pi k}{2N1}}{\text{\hspace{0.17em}e}}^{-i\frac{2\pi \cdot n}{N1}k}\right]}}{N1}=\frac{{\displaystyle \sum _{n^{\text{'}}=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}-1}\left[\sum _{k=0}^{N1-1}{\text{e}}^{i\left(2n^{\text{'}}+1-n\right)\frac{2\pi k}{N1}}\right]}}{N1}$.

Вторая сумма – тоже сумма геометрической прогрессии, следовательно

$\sum _{k=0}^{N1-1}{\text{e}}^{i\left(2n^{\text{'}}+1-n\right)\frac{2\text{π\hspace{0.17em}}k}{N1}}=\frac{1-{\text{e}}^{i2\text{π\hspace{0.17em}}\left(2n\text{'}+1-n\right)}}{1-{\text{e}}^{i\frac{2\text{π\hspace{0.17em}}\left(2n\text{'}+1-n\right)}{N1}}}$$=\left\{\begin{array}{l}N1\text{ при }n=2n\text{'}+1\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях,}\end{array}\right.\Rightarrow$   

$\Rightarrow S\left(n{N}_p\right)=\left\{\begin{array}{l}1\text{ при }n=2k+\mathrm{1,}-\left(N-1\right)\le n\le N-1\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях}\end{array}\right.=C\left(n\right).$                              (18)

Рассматривая ДПФ (13) при N = 2K+1, заменим D_N,k суммой ряда Фурье (15)

$S\left(n{N}_p\right)=$$\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^{N1-1}\left[\sum _{n\text{'}=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}{\text{e}}^{i\cdot \text{'}\frac{4\text{π\hspace{0.17em}}k}{N1}}{\text{\hspace{0.17em}e}}^{-i\frac{2\text{π\hspace{0.33em}}n}{N1}k}\right]}}{N1}=\frac{{\displaystyle \sum _{n\text{'}=-\frac{N-1}{2}}^{\frac{N-1}{2}}\left[\sum _{k=0}^{N1-1}{\text{e}}^{i\left(2n\text{'}-n\right)\frac{2\text{π\hspace{0.33em}}k}{N1}}\right]}}{N1}$.     

и преобразуем аналогичную сумму геометрической прогрессии

$\sum _{k=0}^{N1-1}{\text{e}}^{i\left(2n\text{'}-n\right)\frac{2\text{π\hspace{0.17em}}k}{N1}}=\frac{1-{\text{e}}^{i\frac{2\text{π\hspace{0.33em}}\left(2n\text{'}-n\right)}{N1}N1}}{1-{\text{e}}^{i\frac{2\text{π\hspace{0.33em}}\left(2n\text{'}-n\right)}{N1}}}=\frac{1-{\text{e}}^{i2\text{π\hspace{0.33em}}\left(2n\text{'}-n\right)}}{1-{\text{e}}^{i\frac{2\text{π\hspace{0.33em}}\left(2n\text{'}-n\right)}{N1}}}$$=\left\{\begin{array}{l}N1\text{ при }n=2n^{\text{'}}\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях}\end{array}\right.\Rightarrow$

$\Rightarrow S\left(n{N}_p\right)=\left\{\begin{array}{l}1\text{ при }n=2k,-\left(N-1\right)\le n\le N-1\\ \mathrm{0,}\text{ в остальных случаях}\end{array}\right.=C\left(n\right)$                               (19)

Результаты (18) и (19) проверены в программе MathСAD (рис. 7, а, б) при числах N разного порядка (единицах, десятках, сотнях, тысячах).

Следовательно, спектр (9) дискретизированного РАП при условии (4) достаточно близок спектру непрерывного и сохраняет прямоугольность (см. рис. 6 и 7).

 

Рис. 6. Спектры комплексного ряда Фурье непрерывных РАП: a – N = 2K;  б – N = 2K + 1

 

Рис. 7. Спектры целого числа периодов дискретизированных равноамплитудных полиномов при четном (а) и нечетном (б) числе N

 

Для возможности систематического получения анализатором Фурье результатов, аналогичных рис. 7, необходимо выполнение равенств (4) и (5). Последнее условие легко достижимо, если ДПФ подвергалась последовательность отсчетов D_N,k при тех же фазовых значениях x_k, что и формировалась, то есть

$F_{s,2} = F_{s,1}$.                                                                                                             (20)

Соответственно, при выполнении условий (4), (5) и (20) не проявляется растекание спектра и уменьшается погрешность ДПФ установившейся функции отклика исследуемого ФНЧ, улучшается точность анализа ЧХ (рис. 8).

 

Рис. 8. Дискретное преобразование Фурье установившейся реакции ФНЧ-6 на фоне частотных характеристик: а – АЧХ и амплитудный спектр; б – ФЧХ и фазовый спектр

 

Обеспечить длительность подвергаемого ДПФ фрагмента T, строго удовлетворяющую условию (4), технически возможно, если воздействовать дополнительным тактовым сигналом с тем же периодом T_d, или кратно меньшим ему на вход синхронизации цифрового осциллографа, выполняющего Фурье-анализ.

Но функции синхронизации самого процесса дискретизации в анализаторах Фурье пока не предусмотрено, соответственно, систематическое обеспечение условий (5) или (20) в измерительной схеме (см. рис. 3) пока трудно достижимо.

Обеспечить выполнение условий (4), (5) и (20) проще, если и формирование РАП и ДПФ отклика будут выполняться в одном микропроцессорном устройстве (рис. 9), фиксируя k-й отсчет отклика ФНЧ через АЦП непосредственно после установления напряжения k-й выборки РАП на выходе ЦАП. Для корректного функционирования системы необходимо выполнение условия

$D{t}^3{t}_{\mathrm{DAC}} + t_{\mathrm{ADC}}$,                                                                                                  (21)

где t_DAC и t_ADC – полное время преобразований соответственно ЦАП и АЦП с учетом времени установления аналоговых напряжений на их выводах.

Так как в рамках статьи не ставилась задача оценки технических возможностей предлагаемого метода, то скрупулезной оценки шага дискретизации относительно условия (21) не приведено. Известно только – при встроенных в микроконтроллер STM32L073 (см. рис. 3) ЦАП и АЦП он должен быть меньше 25 мкс.

Современные АЦП осциллографов и ЦАП генераторов сигналов произвольной формы могут функционировать на три-четыре порядка быстрее.

 

Рис. 9. Схема измерения ЧХ фильтров нижних частот с синхронизацией формирования целого числа периодов равноамплитудного полинома и ДПФ отклика

 

Исследование влияния квантования

Исследуем влияние квантования (диаграмма квантованной функции D_qN(t, f₁), рис. 10), неизбежного при операции ЦАП, на погрешность измерения ЧХ.

Квантованные значения при числе разрядов Nb определены соотношением

$D_{qN}\left(kdt\right)=\text{round}$$\left\{\frac{D_N\left(kdt\right)}{N}\left(2^{Nb-1}-1\right)\right\}\frac{N}{2^{Nb-1}-1}$,                            (23)

где первый множитель в операции округления round – цифровой код, а РАП, как функция времени, рассчитывается

 $D_N\left(t\right)=$$\frac{\sin \left\{N2\text{π\hspace{0.33em}}{f}_{1}t\right\}}{\sin \left(2\text{π\hspace{0.33em}}{f}_{1}t\right)}.$                                                                                (24)

Так как значения РАП – обоих знаков, при квантовании (23) максимуму N поставлена в соответствие половина цифровой шкалы 2^N–1 – 1 (см. рис. 10).

 

Рис. 10. Диаграммы квантованных РАП (разрядность Nb =5): а – N = 6, б – N = 7

 

При поддержании равенства (4) при «оцифровке» РАП (24) в результатах ДПФ функции (23) ожидается следующее (рис. 11):

• – отличие от единицы амплитуд элементов спектра в полосе f ∈ (–Nf₁, Nf₁);
• – ненулевые отсчеты ДПФ при частотах, кратных f₁ вне полосы f ∈ (–Nf₁, Nf₁);

– на основании выкладок (12) – (13) выборки ДПФ при частотах, не кратных f₁ – нулевые, как и соответствующие отсчеты ДПФ неквантованных РАП.

Результаты ДПФ функции (23) в MathCAD подтвердили перечисленные ожидания. Кроме того, они не нулевые не просто для частот, кратных f₁, а при:

– f = (2k + 1)∙f₁ при четных N (рис. 11, а);

– f = 2k∙f₁ при четных N (рис. 11, б).

Следовательно, в полосе f ∈ (–Nf₁, Nf₁) спектр квантованного РАП существует в тех же точках, что и дискретизированного неквантованного.

Расчеты при разных числах N и разрядностях Nb показали – спектр Sq квантованного РАП тоже реальный, фазы при f ∈ (–Nf₁, Nf₁) – нулевые (см. рис. 11).

 

Рис. 11. Спектры при N = 6 (а) и N = 7 (б), число периодов Np = 2

 

Искажения, вносимые в спектр квантованием, оценили по СКО критерию

${\text{δ}}_q=$$\sum _{n=0}^{N2-1}$$\sqrt{\frac{{\left[\left|S_n\right|-\left|S{q}_n\right|\right]}^2}{\mathrm{0,5}N1}}$,                                                                             (25)

где 0,5N1 в знаменателе – число ненулевых отсчетов в ДПФ квантованного РАП.

Зависимости искажений (25) от разрядности (рис. 12) просчитаны для

$Nb = 8\dots 24$                                                                                                               (26)

 

Рис. 12. Зависимость искажения спектра РАП, обусловленных квантованием, от разрядности Nb

 

Максимум в (26) – максимальная разрядность современных ЦАП.

Диаграммы зависимостей (см. рис. 12) показывают следующее:

• – ожидаемое убывание искажений d_q при росте разрядности Nb;
• – при максимальной разрядности Nb = 12 встроенных в микроконтроллеры ЦАП можно уменьшить искажения спектра до 0,1 % при N = 128…512;
• – при одной и той же разрядности Nb с ростом N искажения увеличиваются.

Последнее объясняется малыми кодами амплитуд неосновных полуволн (см. рис. 10), обратно пропорциональными числу N

$nq ~ (2^{Nb–1} – 1)/N.$                                                                                            (27)

Заключение

Синхронное формирование целого числа периодов тестового равноамплитудного полинома и дискретного преобразования Фурье отклика фильтров нижних частот в единой микропроцессорной системе анализа частотных характеристик позволяет: избежать растекания спектров, получить прямоугольный спектр дискретизированного фрагмента РАП, с высокой степенью точности близкий спектру такого же непрерывного периодического воздействия.

Без учета дефектов ЦАП, АЦП и согласующих усилителей искажения прямоугольности тестового спектра обусловлены только квантованием равноамплитудного полинома и зависят от разрядности ЦАП и АЦП. При разрядности 12 современных ЦАП и N = 128…512 вносимая квантованием неравномерность спектра меньше 0,1 %.

Полученные результаты полезны при разработке более точных автоматизированных систем анализа частотных характеристик фильтров нижних частот. Ограничение диапазона частот анализа зависит от ограничений на частоту дискретизации, зависящей от максимальной тактовой частоты микропроцессорной системы РАП и ДПФ.

About the authors

S. S. Frolov

Orenburg State University

Author for correspondence.
Email: frolovsergey7@mail.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники и информационно-измерительной техники

Russian Federation, Orenburg

O. V. Khudorozhkov

Orenburg State University

Email: frolovsergey7@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой промышленной электроники и информационно-измерительной техники

Russian Federation, Orenburg

A. A. Lukyanchikov

Orenburg State University

Email: frolovsergey7@mail.ru

магистрант, кафедра промышленной электроники и информационно-измерительной техники

Russian Federation, Orenburg

P. A. Pavlov

Orenburg State University

Email: frolovsergey7@mail.ru

студент, кафедра промышленной электроники и информационно-измерительной техники

Russian Federation, Orenburg

References

Supplementary files