On calculating partial sums of multiple numerical series by methods of Computer Algebra

Full Text

1. Введение

Исследование систем алгебраических уравнений является классической задачей. Частью ее является задача исключения неизвестных. Для двух переменных и систем из двух уравнений она решается с помощью результанта Сильвестра. Для систем из большего числа уравнений хорошо известна классическая схема исключения неизвестных, но она, как правило, является весьма трудоемкой. В настоящее время общепринятым методом исключения неизвестных является метод базисов Гребнера, созданный в работах Бухбергера и его учеников.

Модифицированный метод исключения неизвестных из систем алгебраических уравнений в $\mathrm{ℂ}$ⁿ возник в работе Л.А. Айзенберга [1]. Основная идея метода заключается в нахождении степенных сумм корней системы с помощью формулы многомерного логарифмического вычета, не вычисляя самих корней, а затем в использовании классических рекуррентных формул Ньютона для построения результанта. В отличие от классического метода исключения он менее трудоемок и не увеличивает кратности корней. Дальнейшая его разработка продолжена в монографиях [2, 3, 4]. В качестве приложений этой теории были рассмотрены системы нелинейных уравнений, возникающие в химической кинетике и зависящие от параметров.

Во многих прикладных задачах [5] возникают также неалгебраические системы уравнений, состоящие из экспоненциальных многочленов, т.е. из функций конечного порядка роста. Для систем неалгебраических уравнений, множество корней которых, как правило, бесконечно, степенные суммы корней в положительной степени, вообще говоря, являются расходящимися рядами. Но степенные суммы корней в отрицательной степени часто являются сходящимися. Возникает задача об их вычислении через коэффициенты Тейлора функций, входящих в систему. Это вычисление можно осуществить с помощью вычетных интегралов. Тем самым возник метод нахождения сумм кратных числовых рядов, основанный на использовании вычетных интегралов, связанных с системой уравнений. В работах [6, 7, 8] на основе данного метода найдены суммы некоторых классов кратных числовых рядов, ранее отсутствовавших в известных справочниках.

Отметим, что метод вычисления сумм кратных числовых рядов, представленный в данной статье, существенно отличается от метода вычетных интегралов, рассмотренного в работах [6, 7, 8]. Наш подход основан на использовании формулы для результанта многочлена (или целой функции с конечным числом нулей) и целой функции, полученной в работах [9, 10]. Данная формула не требует значения корней исследуемых функций и представляет собой некоторое комбинаторное выражение. Вычисляя результант многочлена и целой функции двумя разными способами, удается получить соотношение для кратных числовых рядов. В качестве второго способа нахождения результанта выбирается формула для произведения одной функции в корнях другой. В данной статье мы приводим примеры вычисления сумм некоторых типов кратных числовых рядов, ранее отсутствовавших в известных справочниках. Они выражаются через известные специальные функции, такие как функция Бесселя. Однако, не всегда аналитически удается выразить сумму кратного числового ряда через известные величины. Для некоторых кратных числовых рядов, суммы которых могут быть вычислены предложенным методом, другие методы их вычисления на данный момент неизвестны. Описанию предложенного метода и посвящена настоящая статья.

2. Предварительные сведения

Для данных многочленов f и g классический результант R( f, g) может быть определен различными способами с использованием определителя Сильвестра, способа Безу–Кэли или формулы для произведения

$R\left(f,g\right)=\prod _{\left\{x:f\left(x\right)=0\right\}}g\left(x\right).$

Подробный обзор работ, относящихся к классическому результанту и его обобщениям, можно найти в [10].

Напомним классические рекуррентные формулы Ньютона для многочленов. Они связывают между собой коэффициенты многочлена и степенные суммы его корней.

Пусть $P\left(z\right)=z^m+c_1{z}^{m-1}+\dots +c_{m-1}z+c_m.$

Обозначим через $z_1,z_2,\dots ,z_m$ его корни (среди них могут быть и кратные). Определим степенную сумму корней $S_k=z_1^k+\dots +z_m^k,k\in \mathbb{N},S_0=m.$

Степенные суммы S_k и коэффициенты c_j связаны между собой классическими рекуррентными формулами Ньютона:

$\left(\begin{array}{c}{S}_j+\sum _{i=1}^{j-1}{S}_{j-i}{c}_i+j{c}_j=\mathrm{0,}1⩽j⩽m,\\ S_j+\sum _{i=1}^m{S}_{j-i}{c}_i=\mathrm{0,}j>m.\end{array}\right.$

В работах [11, 12] предложены метод и символьный алгоритм вычисления многомерных рекуррентных формул Ньютона.

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из двух многочленов f (z) и g (z) степеней m и n соответственно:

$\left(\begin{array}{c}f\left(z\right)=a_0+a_{1}z+\dots +a_{m-1}{z}^{m-1}+z^m,\\ g\left(z\right)=b_0+b_{1}z+\dots +b_n{z}^n.\end{array}\right.$ (1)

Теорема 1 ([9]). Результант R( f, g) системы многочленов вида (1), где m= 2, вычисляется по формуле

$R\left(f,g\right)=\sum _{k=0}^n{b}_k^2{a}_0^k+\sum _{t=0}^{n-1}\sum _{s=t+1}^n{b}_t{b}_s{a}_0^t{S}_{s-t},$ (2)

где степенные суммы S_j корней многочлена f (z) определяются рекуррентными формулами Ньютона.

Теорема 2 ([10]). Результант R( f, g) системы многочленов вида (1), где m= 3, вычисляется по формуле

$\begin{array}{c}R\left(f,g\right)=\sum _{k=0}^n{b}_k^3 {(-a_0)}^k+\sum _{s=0}^n\sum _{t=s+1}^n{(-a_0)}^s\times \\ \times \left(\frac{1}{2}{b}_s{b}_t^2\left(S_{t-s}^2-S_{2t-2s}\right)+b_s^2{b}_t{S}_{t-s}\right)+\\ +\sum _{s=0}^n\sum _{t=s+1}^n\sum _{p=t+1}^n{b}_s{b}_t{b}_p{\left(-a_0\right)}^s\\ \times \left[S_{t-s}\cdot S_{p-s}-S_{t+p-2s}\right].\end{array}$ (3)

Осуществив в (2) (соответственно, в (3)) предельный переход по n, получаем утверждение о результанте относительно многочлена (или целой функции с конечным числом нулей) и целой функции.

Теорема 3 ([9, 10]). Пусть g(z) — целая функция на комплексной плоскости $\mathrm{ℂ}$ вида

$g\left(z\right)=b_0+b_{1}z+b_2{z}^2+\dots +b_n{z}^n+\dots ,$

а f(z) — многочлен вида (1) при m= 2 (или соответственно при m= 3). Тогда результантом R( f, g) является выражение (2) (соответственно выражение (3)), в котором необходимо выполнить предельный переход по n.

Здесь следует отметить, что ряды, получающиеся при предельном переходе по n в правых частях формул (2) и (3), абсолютно сходятся ввиду того, что b_k — это коэффициенты разложения целой функции.

Замечание 1. Отметим, что такие задачи, как вычисление результанта двух многочленов или вычисление степенных сумм системы уравнений, тесно связаны с теорией симметрических функций. Современные системы компьютерной алгебры общего назначения, такие как Maplesoft Maple, Wolfram Mathematica и свободно распространяемая система SageMath, содержат пакеты, позволяющие эффективно проводить вычисления с симметрическими многочленами и на основе этого решать такие задачи, как вычисления результанта. Тем не менее ценность результатов, приведенных в теоремах и в том, что там предлагаются явные выражения для вычисления результанта через коэффициенты многочленов и их степенные суммы.

3. Основной результат

Целью данной работы является программная реализация формул (2) и (3). При определенном выборе многочлена f (z) и целой функции g(z) в формуле для результанта в теореме 3 мы получаем кратные числовые ряды. Задача о нахождении частичных сумм данных кратных числовых рядов есть предмет нашего исследования. Таким образом, задача о вычислении кратных числовых рядов, не возникающих при вычислении результанта в теореме 3, остается открытой задачей. Отметим, что имеется большое число способов вычисления результанта двух многочленов в различных системах компьютерной алгебры [13]. Наш подход к построению результанта позволяет находить частичные суммы рассматриваемых рядов, что является особенно важным в случае, когда корни функций не известны.

Алгоритм вычисления частичных сумм кратных числовых рядов был реализован в среде Maple 2016 64bit. Полный код программы, реализующий формулы (2) и (3), доступен по адресам https://github.com/aakytmanov/Resultant2n, https://github.com/aakytmanov/Resultant34n. Вычисления производились на машине Intel Core i7-4790 (3.6 GHz) c 32 Gb RAM под управлением Windows 10 Pro x64 22H2. Время счета для приведенных ниже примеров составило менее 1 секунды.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

$\left(\begin{array}{c}f\left(z\right)=\left(z-a\right)\left(z-b\right)=z^2-z\left(a+b\right)+ab,\\ g\left(z\right)=shz=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}.\end{array}\right.$

Поскольку в данной задаче в разложении целой функции g(z) присутствуют лишь коэффициенты при нечетных степенях, то формула для результанта из теоремы 3 примет вид: 

$\begin{array}{c}R\left(f,g\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{b}_{2k+1}^2{a}_0^{2k+1}+\\ +\sum _{t=0}^{\infty }\sum _{s=t+1}^{\infty }{b}_{2t+1}{b}_{2s+1}{a}_0^{2t+1}{S}_{2s+1-\left(2t+1\right)}.\end{array}$

Используя данное соотношение и определение результанта в виде формулы для произведения, получим

$\begin{array}{c}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{\left(2k+1\right)!}\right)}^2{\left(ab\right)}^{2k+1}+\\ +\sum _{t=0}^{\infty }\sum _{s=t+1}^{\infty }\frac{1}{\left(2t+1\right)!}\frac{1}{\left(2s+1\right)!}{\left(ab\right)}^{2t+1}{S}_{2s-2t}=shashb.\end{array}$

Здесь 

$$\begin{gathered} S_{2s-2t}=z_1^{2s-2t}+z_2^{2s-2t}=a^{2s-2t}+b^{2s-2t}, \\ {\left(ab\right)}^{2t+1}{S}_{2s-2t}=a^{2s+1}{b}^{2t+1}+a^{2t+1}{b}^{2s+1}. \end{gathered}$$

Таким образом,

$\begin{array}{c}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(ab\right)}^{2k+1}}{{\left[\left(2k+1\right)!\right]}^2}+\\ +\sum _{t=0}^{\infty }\sum _{s=t+1}^{\infty }\frac{a^{2s+1}{b}^{2t+1}+a^{2t+1}{b}^{2s+1}}{\left(2t+1\right)!\left(2s+1\right)!}=shashb.\end{array}$ (4)

Известно [14, формула 5.2.10.5], что

$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(ab\right)}^{2k+1}}{{\left[\left(2k+1\right)!\right]}^2}=\frac{1}{2}[I_0\left(2\sqrt{ab}\right)-J_0\left(2\sqrt{ab}\right)],$

где $J_0\left(2\sqrt{ab}\right)$ — функция Бесселя 1-го рода и $I_0\left(2\sqrt{ab}\right)$ — модифицированная функция Бесселя 1-го рода (функция Бесселя мнимого аргумента). Следовательно, мы можем выразить сумму кратного числового ряда следуюшим образом:

$\begin{array}{c}\sum _{t=0}^{\infty }\sum _{s=t+1}^{\infty }\frac{a^{2s+1}{b}^{2t+1}+a^{2t+1}{b}^{2s+1}}{\left(2t+1\right)!\left(2s+1\right)!}=\\ =shashb-\frac{1}{2}\left[I_0\right(2\sqrt{ab})-J_0(2\sqrt{ab}\left)\right].\end{array}$

Частичные суммы выражения в левой части равенства (4) могут быть получены с помощью предложенного алгоритма. Например, используя входные данные

 

 

получим

$\begin{array}{c}\frac{ab\left(b^6+42b^4+840b^2+5040\right)}{25401600}\times \\ \times \left(a^6+42a^4+840a^2+5040\right).\end{array}$

Пример 2. Рассмотрим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}f\left(z\right)=z^3-a^3,\\ g\left(z\right)=e^{bz}=1+bz+\frac{{\left(bz\right)}^2}{2!}+\dots +\frac{{\left(bz\right)}^n}{n!}+\dots .\end{array}\right.$

Если z₁, z₂, z₃ — нули многочлена f (z), то, используя определение результанта в виде формулы для произведения, получим

$R\left(f,g\right)=g\left(z_1\right)g\left(z_2\right)g\left(z_3\right)=e^{b\left(z_1+z_2+z_3\right)}.$

Применяя формулы Виета для кубического многочлена f (z), получим

$a_2=-\left(z_1+z_2+z_3\right)=0.$

Таким образом, R( f, g) = 1. Вычисляя теперь результант R( f, g), используя теорему 3, получим соотношение (см. [10])

$\begin{array}{c}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{\left(ab\right)}^{3k}}{{(k!)}^3}+\sum _{s=0}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{a}^{3s}\times \\ \times \left(3\frac{b^{3s+6j}}{s!(s+3j){!}^2}{a}^{6j}+3\frac{b^{3s+3j}}{s{!}^2(s+3j)!}{a}^{3j}\right)+\\ +\sum _{s=0}^{\infty }\sum _{t=s+1}^{\infty }\sum _{p=t+1}^{\infty }{b}_s{b}_t{b}_p{a}^{3s}\times \\ \times \left[S_{t-s}\cdot S_{p-s}-S_{t+p-2s}\right]=1.\end{array}$

В данном примере ни один из кратных числовых рядов не может быть выражен через известные величины. Однако, используя предложенный алгоритм, частичные суммы выражения в левой части могут быть найдены. Например, используя входные данные

 

 

получим

$1-\frac{a^9{b}^9}{4320}+\frac{a^{12}{b}^{12}}{345600}+\frac{a^{15}{b}^{15}}{10368000}+\frac{a^{18}{b}^{18}}{373248000}.$

Заключение

В работе предложен компьютерно-алгебраический подход к вычислению частичных сумм кратных числовых рядов, возникающих при вычислении результанта многочлена и целой функции. Разработаны и программно реализованы символьные алгоритмы, один из которых вычисляет степенные суммы корней по рекуррентным формулам Ньютона, а второй на основе вычисления результанта позволяет находить частичные суммы некоторых классов кратных числовых рядов. Рассмотрены примеры вычисления таких рядов.

Источники финансирования

Исследования, представленные в работе, были выполнены при поддержке следующих фондов: первый и третий авторы использовали финансовую поддержку РНФ, Правительства Красноярского края и Красноярского краевого фонда науки, грант 22-21-20028.

About the authors

V. I. Kuzovatov

Siberian Federal University

Author for correspondence.
Email: kuzovatov@yandex.ru
Russian Federation, Krasnoyarsk

А. А. Kytmanov

Siberian Federal University; MIREA — Russian Technological University

Email: aakytm@gmail.com
Russian Federation, Krasnoyarsk; Moscow

Е. К. Myshkina

Siberian Federal University

Email: elfifenok@mail.ru
Russian Federation, Krasnoyarsk

References

Supplementary files