Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 64, № 6 (2024)
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РАЦИОНАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА С ОКРУГЛЕНИЕМ
Аннотация
Вычисления на компьютере в плавающей арифметике всегда являются приближенными. Напротив, вычисления в рациональной арифметике (например, в компьютерной алгебре) всегда абсолютно точны и воспроизводимы как на других компьютерах, так и (теоретически) вручную. Поэтому такие вычисления могут быть доказательными в том смысле, что доказательство, полученное с их помощью, ничем не отличается от традиционного. Однако обычно такие вычисления в достаточно сложной задаче невозможны ввиду ограниченности ресурсов памяти и времени. Мы предлагаем механизм округления рациональных чисел при расчетах в рациональной арифметике, который решает эту проблему (ресурсов), т.е. вычисления по-прежнему могут быть доказательными, но уже не требуют неограниченных ресурсов. Приведен ряд примеров реализации стандартных численных алгоритмов в этой арифметике. Результаты имеют приложения к аналитической теории чисел. Библ. 22. Фиг. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):895-913
895-913
К ВОПРОСУ ОБ АСИМПТОТИКЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СЕМИДИАГОНАЛЬНЫХ ТЁПЛИЦЕВЫХ МАТРИЦ
Аннотация
Построены асимптотические формулы, допускающие равномерную оценку остаточного члена для тёплицевых матриц размера 𝑛 при 𝑛 → ∞ в случае, когда их символ 𝑎(𝑡) имеет вид 𝑎(𝑡) = (𝑡−2𝑎0+𝑡-1)33. Данный результат является обобщением результата работы Stukopin et al. (2021), в которой получены аналогичные асимптотические формулы для семидиагональной тёплицевой матрицы с символом аналогичного вида, когда 𝑎0 = 1. Полученные формулы имеют высокую вычислительную эффективность и обобщают результаты классических работ Партера и Видома по асимптотике экстремальных собственных значений. Библ. 13. Фиг. 3. Табл. 5.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):914-921
914-921
ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Аннотация
Рассматривается вопрос численного дифференцирования функций с большими градиентами. Предполагается, что для исходной функции одной переменной справедлива декомпозиция в виде суммы регулярной составляющей с ограниченными производными до некоторого порядка и погранслойной составляющей, имеющей большие градиенты и известной с точностью до множителя. Такая декомпозиция, в частности, справедлива для решения сингулярно возмущенной краевой задачи. Тема исследования актуальна, так как применение к функциям с большими градиентами классических полиномиальных формул численного дифференцирования может приводить к существенным погрешностям. Оценивается погрешность формул численного дифференцирования, по построению точных на погранслойной составляющей исходной функции. Приведены результаты численных экспериментов, согласующиеся с полученными оценками погрешностей. Библ. 16. Табл. 2.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):922-931
922-931
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
СИММЕТРИИ И ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Аннотация
Рассматривается вопрос о симметриях уравнений с частными производными на основе использования дифференциально-геометрических и алгебраических методов теории динамических систем с управлением. Библ. 6.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):932-939
932-939
ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫЕ СЕМЕЙСТВА ПЛАНОВ ПРОИЗВОДСТВА: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СЛОЖНОСТЬ И АЛГОРИТМЫ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ
Аннотация
Вопросы проектирования устойчивых к сбоям систем производства и поставок продукции составляют одно из приоритетных направлений развития современного исследования операций. Традиционный подход к моделированию таких систем основывается на привлечении вероятностных моделей, описывающих выбор возможного сценария действий в случае возникновения неполадок в производственной или транспортной сети. Наряду с рядом преимуществ данный подход обладает известным недостатком. Возникновение неполадок неизвестной природы, способных поставить под угрозу работоспособность всей моделируемой системы, существенно затрудняют его применение. В данной работе вводится в рассмотрение минимаксная задача построения отказоустойчивых планов производства (Reliable Production Process Design Problem, RPPDP), целью которой является обеспечение бесперебойного функционирования распределенной производственной системы при минимальных гарантированных издержках. Показывается, что задача RPPDP NP-трудна в сильном смысле и сохраняет труднорешаемость при достаточно специфических условиях. Для поиска точных и приближенных решений с оценками точности для данной задачи разработаны методы ветвей и границ, основанные на предложенной компактной модели смешанного целочисленного линейного программирования (Mixed Integer Linear Program, MILP) и авторской эвристике адаптивного поиска в больших окрестностях (Adaptive Large Neighborhood Search, ALNS) в рамках расширений известного MIP-солвера Gurobi. Высокая производительность и взаимодополняемость предложенных алгоритмов подтверждена результатами численных экспериментов, проведенных на разработанной авторами открытой библиотеке тестовых примеров, содержащей адаптированные постановки задач из библиотеки PCGTSPLIB. Библ. 25. Фиг. 5. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):940-958
940-958
ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Аннотация
Рассматривается проблема управляемости для задач оптимального управления, оптимизации системами с распределенными параметрами в частных производных. Вводится понятие управляемости как корректности по А. Н. Тихонову для решения задач оптимизации. Приводится теорема с условиями управляемости для прямого решения (непосредственной минимизации целевого функционала) задач оптимизации экстремальными алгоритмами. Рассматривается тестовой пример численного решения задачи оптимизации нелинейной гиперболической системы, описывающей нестационарное течение воды в открытом русле. Демонстрируется анализ управляемости, который обеспечивает корректность решения задачи и высокую точность оптимизации распределенного коэффициента трения в уравнениях течения. Библ. 13. Фиг. 5.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):959-972
959-972
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ПЕРВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Аннотация
Исследуется на предмет представления собственных функций в виде скалярных рядов двухточечная краевая задача типа (𝑛 − 1, 1) в предположении, что существует функционал 𝓁̃сосредоточенный в одной точке, такой, что первые 𝑛 − 1 из исходных краевых условий и 𝓁̃𝑥 = 1 превращаются в условия Коши в этой точке. Собственная функция рассматриваемой краевой задачи, отвечающая собственному значению λ∗, представлена в виде ряда по степеням λ∗. Рассматривается уравнение Φ(λ) = 0, где Φ(λ) – сумма ряда по степеням λ, для нахождения собственных значений исходной задачи. Приведены примеры вычисления первого собственного значения некоторых краевых задач. Получены различные оценки для коэффициентов таких степенных рядов. Определяется некоторая функция двух переменных 𝑡 и λ, для нее получено уравнение в частных производных и получены условия, которым она удовлетворяет. Нули “сечения” этой функции совпадают с собственными значениями исходной краевой задачи, что может быть использовано для их приближенного вычисления. Библ. 36. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):973-991
973-991
АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В ОДНОЙ МОДЕЛИ ГЕОСТРОФИЧЕСКИХ ОКЕАНСКИХ ТЕЧЕНИЙ
Аннотация
Разработан новый эффективный аналитико-численный метод решения задачи для уравнения эволюции потенциального вихря в квазигеострофическом приближении с учетом вертикальной диффузии массы и импульса. Построенный метод применен к анализу малых возмущений океанских течений конечного поперечного масштаба с параболическим вертикальным профилем скорости общего вида. Для возникающей спектральной несамосопряженной задачи построены асимптотики собственных функций и собственных значений при малых значениях волнового числа 𝑘 и показано существование счетного множества комплексных собственных значений с неограниченно убывающей мнимой частью. На отрезке интегрирования 𝑧 ∈ [−1, 1] введена система трех окрестностей, в каждой из которых решение строится в виде степенных разложений, гладкая сшивка которых позволяет эффективно вычислять собственные функции и собственные значения с высокой точностью. Рассчитаны траектории комплексных собственных значений для различных параметров задачи при изменении волнового числа 𝑘 и показано существование двойных собственных значений. Кратко представлена сложная картина возникновения неустойчивости моделируемого течения в зависимости от физических параметров задачи. Библ. 16. Фиг. 7.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):992-1007
992-1007
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Аннотация
Рассматривается проблема существования решений задачи Штурма–Лиувилля с несамосопря женным дифференциальным оператором и разрывной по фазовой переменной нелинейностью. Для исследуемой задачи устанавливаются теоремы о существовании нетривиальных (положи тельных и отрицательных) решений при положительных значениях спектрального параметра. Приводятся примеры, иллюстрирующие полученные теоремы. Библ. 12. Фиг. 8.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):1008-1015
1008-1015
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1016-1027
О НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ОБЩЕГО ВИДА
Аннотация
Рассмотрены начально-краевые задачи для однородных параболических систем с Дининепрерывными коэффициентами при нулевых начальных условиях в полуограниченной плоской области с негладкой боковой границей, допускающей наличие “клювов”, на которой задаются граничные условия общего вида с переменными коэффициентами. Методом граничных интегральных уравнений доказана теорема об однозначной классической разрешимости таких задач в пространстве функций, непрерывных и ограниченных вместе со своей пространственной производной первого порядка в замыкании области. Дано представление полученных решений в виде векторных потенциалов простого слоя. Библ. 28.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):1028-1041
1028-1041
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ТУРБУЛЕНТНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ В ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШАТЕЛЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА
Аннотация
Описывается учет турбулентной кинетической энергии в решении газодинамической задачи о распаде разрыва (задаче Римана) с помощью приближенного решателя HLLC. Рассматривается система уравнений Эйлера с добавлением гиперболического уравнения турбулентной кинетической энергии и учетом турбулентного давления в уравнениях баланса импульса и энергии. Находится якобиан данной системы уравнений, его собственные числа. На основе этого вносятся изменения в схему вычислений в решателе HLLC. На примере задачи Сода проверяется корректность учета турбулентной кинетический энергии в решении задачи Римана, и показывается неустойчивость схемы при большом турбулентном давлении в случае неучета турбулентности в вычислении характеристических скоростей. Библ. 19. Фиг. 7. Табл. 3.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):1042-1054
1042-1054
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ЛЕД–ВОДА В ТРУБЕ С МАЛЫМИ ЛЕДЯНЫМИ НАРОСТАМИ НА СТЕНКЕ
Аннотация
Рассмотрено математическое моделирование фазового перехода лед–вода при течении жидкости внутри трубы с малым ледяным наростом на стенке при больших числах Рейнольдса. В качестве математической модели, описывающей динамику фазового перехода, используется двухпалубная модель пограничного слоя и система фазового поля. Приведены результаты численного моделирования. Библ. 19. Фиг. 5. Табл. 1.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):1055-1063
1055-1063
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СЛАБОНЕОДНОРОДНЫХ СРЕДА
Аннотация
Рассматриваются постановки начально-краевых задач для системы уравнений Максвелла в различных квазистационарных приближениях в однородных и неоднородных проводящих средах. В случае слабонеоднородных сред формулируются и обосновываются асимптотические разложения решений рассматриваемых начально-краевых задач по параметру, характеризующему степень неоднородности среды. Показано, что построение асимптотического разложения для квазистационарного электромагнитного приближения приводит к последовательному решению независимых задач для квазистационарного электрического и квазистационарного магнитного приближения в однородной среде. Приведены условия на начальные данные, при которых асимптотические ряды являются сходящимися. Библ. 32.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):1064-1081
1064-1081
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТОНКОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА
Аннотация
Предложена математическая модель, описывающая течение тонкого слоя жидкости по наклонной, неравномерно нагретой подложке. В качестве определяющих уравнений используются система Навье–Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и соотношения, представляющие собой обоб щенные кинематическое, динамическое и энергетическое условия на границе раздела для случая испарения. Постановка приводится в двумерном случае для больших чисел Рейнольдса. Решение задачи осуществляется в рамках длинноволнового приближения. Проведен параметрический ана лиз задачи, получено эволюционное уравнение для нахождения толщины жидкого слоя. Предло жен алгоритм численного решения для задачи о периодическом стекании жидкости по наклонной подложке. Изучено влияние гравитационных эффектов и характера нагрева твердой подложки на течение жидкого слоя. Библ. 24. Фиг. 4. Табл. 2.
Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024;64(6):1082-1094
1082-1094