EXPLICIT FORM OF ASYMPTOIC COEFFICIENTS AT THE ENTERING CORNER FOR CONFORMAL MAPPING OF THE L-SHAPED DOMAIN

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For the conformal mapping of an L - shaped domain with an arbitrary length A and width h of its shelves and an entering corner of πβ, explicit analytical formulas are found for the coefficients cn of the mapping function expansion near the vertex w1 of the entering corner. The formulas for the quantities cn, called the Stress Intensity Factors (SIF), are obtained as a series in the powers of the small parameter δ:=exp(-πA/h) with coefficients determined only by the exponent of the angle β using explicit formulas. A brief bibliographic review on the problem of calculating stress intensity factors is also included.

About the authors

V. I Vlasov

Federal Research Center "Computer Science and Control" of the Russian Academy of Sciences

Email: vlasov@ccas.ru
Moscow, Russia

S. L Skorokhodov

Federal Research Center "Computer Science and Control" of the Russian Academy of Sciences

Email: skorokhodov@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
  2. Маркушевич A.И. Теория аналитических функций. Т. 1. Начала теории. М.: Наука, 1967. Т. 2. Дальнейшее построение теории. М.: Наука, 1968.
  3. Бирман М.Ш., Скворцов Г.Е. О квадратичной суммируемости старших производных решений задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой границей // Изв. вузов. Математика. 1962. № 5. С. 12–21.
  4. Hannа М.S., Smith К.Т. Some Remarks on the Dirichlet problem in piecewise smooth domains // Comm. Pure and Appl. Math. 1967. V. 20. P. 575–593.
  5. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. Математ. общ-ва. 1967. Т. 16. С. 209–292.
  6. Фикера Г. Асимптотическое поведение электрического поля и плотности электрического заряда в окрестности сингулярных точек проводящей поверхности // Успехи матем. наук. 1975. Т. 30. № 3. С. 105–124.
  7. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. V. 76. № 1. P. 29–60.
  8. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О свойствах решений трехмерных задач теории упругости и гидродинамики в областях с изолированными особенностями. В сб.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981. Вып. 50. С. 99—121.
  9. Blum H., Dobrowolski M. On finite element methods for elliptic equations on domains with corners // Computing. 1982. V. 28. P. 53–63.
  10. Dobrowolski M. On finite element methods for nonlinear elliptic problems on domains with corners. In: Singularity and constructive methods for their treatment. Lecture Notes in Mathematics. V. 1121. Berlin: Springer Verlag, 1983. P. 85–103.
  11. Moussaoui M.A. Sur l’approximation des solutions du probleme de Dirichlet dans un ouvert avec coins. In: Singularity and constructive methods for their treatment. Lecture Notes in Mathematics. V. 1121. Berlin: Springer Verlag, 1983. P. 199–206.
  12. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38. № 2. С. 3–76.
  13. Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. London: Pitman, 1985.
  14. Kufner A., Saendig A.M. Some applications of weighted Sobolev spaces. Leipzig: B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1987.
  15. Leguillon D., Sanchez-Palencia E. Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity. RMA 5. Masson, Paris, New York: J. Wiley, 1987.
  16. Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains-Smoothness and Asymptotics of Solutions. Lecture Notes in Mathematics. V. 1341. Berlin: Springer-Verlag, 1988.
  17. Rempel S., Schulze B.W. Asymptotics for Elliptic Mixed Boundary Problems. Berlin: Akademie, 1989.
  18. Grisvard P. Singularities in Boundary Value Problems, Recherches en Mathematiques Appliquees. Berlin. Masson: Springer-Verlag, 1992.
  19. Costabel M., Dauge M. General edge asymptotics of solutions of second order elliptic boundary value problems I // Proceed. of the Royal Soc. of Edinburgh. 1993. V. 123A. P. 109–155; II, P. 157–184.
  20. Costabel M., Dauge M., Nicaise S. (editors). Boundary value problems and integral equations in nonsmooth domains // Proceed. of the Conf. at the CIRM, Luminy (Lecture notes in pure and applied mathematics, V. 167). New York: Marcel Dekker, Inc., 1995.
  21. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Spectral problems associated with corner singularities of solutions of elliptic equations. Providence, RI: Am. Math. Soc., 2000.
  22. Wigley N.M. On a method to subtract of a singularity at a corner for the Dirichlet or Neumann problem // Math. Comp. 1968. V. 23. P. 395–401.
  23. Fix G.J. Singular finite element methods. — In Finite Elements, Theory and Application (Ed. by D.L. Dwoyer et al.). N.Y.: Springer-Verlag, 1973. P. 50–66.
  24. Fix G., Gulati S., Wakoff G.I. On the use of singular functions with finite element approximations // J. Comp. Phys. 1973. V. 13. P. 209–238.
  25. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.
  26. Destuynder P., Djaoua M. Estimation de l’erreur sur le coefficient de la singularite de la solution d’un probleme elliptique sur un ouvert avec coin // RAIRO Ser. Rouge. 1980. V. 14. P. 239–248.
  27. Maz’ya V.G., Rossmann J. On a problem of Babuska (Stable asymptotics of the solution to the Dirichlet problem for elliptic equations of second order in domains with angular points) // Math. Nachr. 1992. V. 155. P. 199–220.
  28. Liebowitz H., ed. Fracture. An advanced treatise. V. II Mathematical Fundamentals. New York and London: Academic Press, 1968.
  29. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988.
  30. Партон В.З. Механика разрушения. М.: Физматлит, 1990.
  31. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.
  32. Szabo B., Babuska I. Introduction to finite element analysis: formulation, verification, and validation. The Atrium, Chichester, U.K.: John Wiley, 2011.
  33. Черепанов П.Г. Механика разрушения. Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2012.
  34. Hall P.M. Resistance calculations for thin film patterns // Thin Solid Films. 1967. V. 1. P. 277–295.
  35. Schubert G. Viscous flow near a cusped corner // J. Fluid Mech. 1967. V. 27. Part 4. P. 647–656.
  36. Brown S.N., Stewartson K. Flow near the apex of a plane delta wing // J. Inst. Math. Appl. 1969. V. 5. P. 206–216.
  37. Binns K.J., Lawrenson P.J. Analysis and Computation of Electric and Magnetic Field Problems. Oxford: Pergamon Press Inc., 1973.
  38. Bazant Z.P., Keer L.N. Singularities of elastic stress and of harmonic function at conical notches or inclusion // Int. J. Solids and Struc. 1974. V. 10. № 9.
  39. Tippet J.C., Chang D.C. Radiation characteristics of electrically small devices in a FEM transmission cell // IEEE Trans. Electromagn. Compat. 1976. V. 18. № 4. P. 134–140.
  40. Roy K.K., Rathi O.P., Rao K.P. Telluric fields and their gradients over a step fault // Geophysics. 1982. V. 47. Iss. 7. P. 1078–1090.
  41. Babuska I. The problem of modeling the elastomechanics in engineering // Comput. Meth. in Appl. Mech. and Engineer. 1990. V. 82. P. 155–182.
  42. Boersma J. Note on the singularity exponents for complimentary sectors. RANA: reports on applied and numerical analysis; V. 9016. Technische Universiteit Eindhoven, 1990.
  43. Hazard Ch., Lenoir M. On the solution of time-harmonic scattering problems for Maxwells equations // SIAM J. Math. Anal. 1996. V. 27. № 6. P. 1597–1630.
  44. Assous F.R., Ciarlet F.G., Sonnendrucker E. Resolution of the Maxwell equations in a domain with reentrant corners // Math. Model. and Numer. Analys. 1998. V. 32. № 3. P. 359–389.
  45. Rohsenow W.M., Hartnett J.P., Cho Y.I., editors. Handbook of heat transfer. N.Y.: McGraw–Hill, 1998.
  46. Costabel M., Dauge M. Singularities of electromagnetic fields in polyhedral domains // Arch. Rational Mech. Anal. 2000. V. 151. № 3. P. 221–276.
  47. Driscoll T.A., Trefethen L.N. Schwarz — Christoffel mapping. (Cambridge Monographs on Applied and Comput. Math., V. 8) Cambridge: Cambridge Univer. Press, 2002.
  48. Yosibash Z., Adan O., Schneck R., Atlas H. Thermo-mechanical failure criterion at the micron scale in electronic devices // Inter. J. of Fracture. 2003. V. 122. P. 47–64.
  49. Islam Md.Sh., Koguchi H. Characteristics of singular stress distribution at a vertex in transversely isotropic piezoelectric dissimilar material joints // J. of Solid Mech. and Materials Engineer. 2010. V. 4. № 7. P. 1011–1026.
  50. Bonnaillie-Noel V., Dauge M., Popoff N. Ground state energy of the magnetic Laplacian on corner domains // Memoires de la SMF Societe Mathematique de France № 145, Institut Henri Poincare, 2016.
  51. Leguillon, D., Sanchez-Palencia, E. On 3D cracks intersecting a free surface in laminated composites // Inter. J. of Fracture. 1999. V. 99. P. 25–40.
  52. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.
  53. Безродных С.И., Власов В.И. Исследование дефектов и построение гармонических сеток в областях с углами и выемками // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. № 12. С. 2096—2129.
  54. Bezrodnykh S.I., Vlasov V.I., Skorokhodov S.L. Analytical-numerical method for some elliptic boundary value problems with discontinuous coefficient in domains with polyhedral corners // Mathematical Notes. 2024. V. 116. № 6. P. 1204—1217.
  55. Murakami Y. Stress Intensity Factors Handbook. Pergamon Press, 1982. (Русск. перевод: Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. Т. 2. М.: Мир, 1990).
  56. Blum H. Numerical treatment of corner and crack singularities. In: Finite element and boundary element techniques from mathematical and engineering point of view (Ed. by E. Stain and W.L. Wendland), CISM Courses and Lectures (301). Vienna: Springer-Verlag, 1988. P. 171–212.
  57. Cherepanov G.P. Ed. Fracture. A topical encyclopedia of current knowledge. Malabar: Krieger Publ. Co., 1998.
  58. ANSI/ASME. Guide for Verification and Validation in Computational Solid Mechanics. ASME V&V 10-2006, New York: Am. Soc. of Mech. Engineer., 2006.
  59. Yosibash Z. Singularities in Elliptic Boundary Value Problems and Elasticity and Their Connection with Failure Initiation, Springer, 2012.
  60. Stein E., de Borst R., Hughes Th.J.R. Encyclopedia of Computational Mechanics. V. 1 Fundamentals. Chichester, West Sussex: John Wiley, 2017.
  61. Stern М. A boundary integral representation for stress intensity factors. // Proc. 10 Ann. Meet. Soc. Eng. Sci. Palegh. W.Y.: 1973.
  62. Stern М., Soni M.L. On the computation of stress intensities at fixed-free corners // Inter. J. Solids and Struct. 1976. V. 12. № 5.
  63. Stern M., Becker E.B., Dunham R.S. A contour integral computation of mixed mode stress intensity factors // Inter. J. Fract. 1976. V. 12. № 3. P. 359–368.
  64. Hong C.-C., Stern M. The computation of stress intensity factors in dissimilar materials // J. Elasticity. 1978. V. 8. P. 21–34.
  65. Wigley N.M. Stress intensity factors and improved convergence estimates at a corner // SIAM J. on Numer. Analys. April 1987. V. 24. № 2. P. 350–354.
  66. Wigley N.M. An efficient method for subtracting off singularities at corners for Laplace’s equation // J. of Comput. Phys. 1988. V. 78. P. 369–377.
  67. Smelser R.E. Evaluation of stress intensity factors for bimaterial bodies using numerical flank displacement data // Inter. J. Fract. 1979. V. 15. P. 135–143.
  68. Babuska I., Miller A. The post-processing approach in the finite element method. Part II: The calculation of the stress intensity factors // Inter. J. Numer. Meth. Engr. 1984. V. 20. P. 1111–1129.
  69. Banks-Sills L., Sherman D. Comparison of methods for calculating stress intensity factors with quarter-point elements // Inter. J. Fract. 1986. V. 32. P. 127–140.
  70. Bourland M., Dauge M., Lubuma M.-S., Nicaise S. Coefficients of the singularities for elliptic boundary value problems on domains with conical points III: Finite element methods on polygonal domains // SIAM J. Numer. Anal. 1992. V. 29. P. 136–155.
  71. Gao Y.L., Tan C.L., Selvadurai A.P.S. Stress intensity factors for cracks around or penetrating an elliptic inclusion using the boundary element method // Engineer. Analys. with Boundary Elements. 1992. V. 10. P. 59–68.
  72. Babuska I., v.Petersdorff T., Andersson B. Numerical treatment of vertex singularities and intensity factors for mixed boundary value problems for the Laplace equation // SIAM J. Numer. Anal. 1994. V. 31. P. 1265–1288.
  73. Anderson B., Falk U., Babuska I., v.Petersdorff T. Reliable stress and fracture mechanics analysis of complex aircraft components using a h − p version of FEM // Inter. J. for Numer. Meth. in Engineer. 1995. V. 38. P. 2135–2163.
  74. Yosibash Z., Szabo B.A. Generalized stress intensity factors in linear elastostatics // Inter. J. of Fracture. 1995. V. 72. P. 223–240.
  75. Brenner C.S. Multigrid methods for the computation of singular solutions and stress intensity factors I: Corner singularities // Math. Comput. 1996. V. 32. P. 135–148.
  76. Yosibash Z., Actis R., Szabo B. Extracting edge flux intensity functions for the Laplacian // Inter. J. for Numer. Meth. in Engineer. 2002. V. 53. Iss. 1. P. 225–242.
  77. Yosibash Z., Shannon S. Computing edge stress intensity functions (ESIFs) along circular 3-D edges // Engineer. Fracture Mech. 2014. V. 117. P. 127–151.
  78. Ахметзянов М.Х., Тихомиров В.М., Суровин П.Г. Определение коэффициентов интенсивности напряжений при смешанном типе нагружения трещин // Изв. высш. уч. завед. Строительство. 2003. Т. 529. № 1. С. 19–25.
  79. Тихомиров В.М. Определение коэффициентов интенсивности напряжений методом фотоупругости в трехмерных задачах механики разрушения. В кн.: Развитие методов экспериментальной механики. Под. ред. H.A. Махутова и др. М.: ИМАШ РАН. 2003. С. 103–112.
  80. Ахметзянов М.Х., Тихомиров В.М., Суровин П.Г. Определение коэффициентов интенсивности напряжений для трещин смешанного типа. В сб.: Экспериментальная механика и расчет сооружений (Костинские чтения). М.: МГСУ. 2004. С. 63–67.
  81. Волков И.В. Спекл-голография в экспериментальной механике. Пенза: ПГТА, 2010.
  82. Тихомиров В.М. Определение коэффициентов интенсивности напряжений в трехмерных задачах механики разрушения // Прикл. механ. и техн. физ. 2014. Т. 55. № 5. С. 172–180.
  83. Гумеров К.М., Климов П.В., Багманов Р.Р. Исследование напряженного состояния механически неоднородных материалов с острыми углами // Проблемы сбора, подготовки и транспорта нефти и нефтепродуктов. 2016. Т. 106. № 4.
  84. Волков И.В. Использование метода спекл-голографии в экспериментальной механике // Измерительная техника. 2017. № 2. С. 42–46.
  85. Волков И.В., Вышинский В В., Кисловский А.О. Теоретические основы метода спекл-голографии в экспериментальной механике // Тр. МФТИ. 2017. Т. 8. № 2. С. 13–22.
  86. Ньян Мин Хтет, Волков И.В., Вей Хлэйн У, Тун Мин Лат. Исследование концентрации напряжений и напряжено-деформированного состояния в натурных образцах авиаконструкций // Тр. МФТИ. Механика. 2019. Т. 11. № 3. С. 146–154.
  87. Li Z.C., Lu T.T. Singularities and treatment of elliptic boundary value problems // Math. Comput. Modell. 2000. V. 31. P. 97–145.
  88. Власов В.И., Скороходов С.Л. Конформное отображение L–образной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 12. С. 1943–1980.
  89. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
  90. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Изд. Моск. ун-та, изд-во ”Дрофа“, 2004.
  91. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973.
  92. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1987.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).