GAPS IN THE SPECTRUM OF A PERIODIC FAMILY OF BODIES CONNECTED BY THIS ELASTIC RODS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We investigate the low-frequency range of the spectrum of periodic spacial isotropic and homogeneous elastic waveguide composed from identical massive bodies which are connected by thin cylindrical rods. By means of the dimension reduction procedure for the rods and analysis of interaction of singular fields and rigid motions in the body we construct asymptotics of dependent on the Floquet variable eigenvalues of the model problem on the periodicity cell and found out size and position of spectral bands (wave passing zones) inside the low-frequency range as well as detect open spectral gaps (wave stopping zones). We also formulate open questions, in particular, about existence of open gaps in thу spectrum of analogous planar elastic waveguide.

About the authors

S. A Nazarov

Institute for problems in mechanical engineering, Russian Academy of Sciences

Email: srgnazarov108@gmail.com

References

  1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  2. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
  3. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
  4. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982.
  5. Кучмент П.А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи матем. наук. 1982. T. 37. № 4. C. 3–52.
  6. Скриганов М.М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов // Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1985. T. 171. C. 1–122.
  7. Kuchment P. Floquet theory for partial differential equations. Basel: Birchauser, 1993.
  8. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1950. T. 73. C. 1117–1120.
  9. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
  10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  11. Nazarov S.A. Junction problem of bee-on-ceiling type in the theory of anisotropic elasticity // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 1995. T. 320. № 11. P. 1419–1424.
  12. Kozlov V.A., Maz’ya V. G., Movchan A.B. Asymptotic representation of elastic fields in a multi-structure // Asymptot. Anal. 1995. V. 11. № 4. P. 343–415.
  13. Kozlov V.A., Maz’ya V. G., Movchan A.B. Fields in non-degenerate 1D–3D elastic multi-structures // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2001. V. 54. № 2. P. 177—212.
  14. Назаров С.А. Асимптотика решений спектральной задачи теории упругости для трехмерного тела с тонкой стяжкой // Сиб. матем. журн. 2012. Т. 53. № 2. С. 345–364.
  15. Beale J.T. Scattering frequencies of resonators // Comm. Pure Appl. Math. 1973. V. 26. № 4. P. 549–563.
  16. Арсеньев А.А. О существовании резонансных полюсов и резонансов при рассеянии в случае краевых условий II и III рода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. № 3. С. 718—724.
  17. Гадыльшин Р.Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I // Матем. заметки. 1993. Т. 54. № 6. С. 10–21.
  18. Kozlov V.A., Maz’ya V.G, Movchan A.B. Asymptotic analysis of a mixed boundary value problem in a multi-structure // Asymptot. Anal. 1994. V. 8. № 2. P. 105–143.
  19. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. 1 // Труды семинара им. И.Г.Петровского. Вып. 18. М.: Изд-во МГУ. 1995. С. 3–78.
  20. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic analysis of fields in multi-structures. Oxford Math. Monogr. Oxford: Clarendon Press, 1999.
  21. Назаров С.А. Асимптотический анализ и моделирование сочленения массивного тела с тонкими стержнями // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 24. М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 95–214.
  22. Гадыльшин Р.Р. О собственных значениях «гантели с тонкой ручкой» // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69. № 2. С. 45–110.
  23. Joly P., Tordeux S..Matching of asymptotic expansions for wave propagation in media with thin slots I: The asymptotic expansion // SIAM Multiscale Model. Simul. 2006. V. 5. № 1. P. 304–336.
  24. Lin J., Zhang H. Scattering and field enhancement of a perfect conducting narrow slit // SIAM J. Appl. Math. 2017. V. 77. № 3. P. 951–976.
  25. Lin J., Zhang H. Scattering by a periodic array of subwavelength slits I: field enhancement in the diffraction regime // Multiscale Model. Sim. 2018. V. 16. № 2. P. 922—953.
  26. Chesnel L., Nazarov S.A. Design of an acoustic energy distributor using thin resonant slits // Proc. Royal Soiety. 2021. V. 477. 2247-20200896.
  27. Бахарев Ф.Л., Назаров С.А. Лакуны в спектре волновода, составленного из областей с различными предельными размерностями // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56. № 4. С. 732–751.
  28. Бахарев Ф.Л., Назаров С.А. Открытые волноводы в двоякопериодических сочленениях областей с различными предельными размерностями // Сиб. матем. журн. 2016. Т. 57. № 6. С. 1208–1223.
  29. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 c.
  30. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
  31. Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie-Verlag, 1991.
  32. Назаров С.А., Соколовский Я. Топологическая производная интеграла Дирихле при образовании тонкой перемычки // Сиб. матем. журн. 2004. Т. 45. № 2. С. 410–426.
  33. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes a section heterogene // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2. 1991. V. 312. P. 337—344.
  34. Назаров С.А. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки // Проблемы матем. анализа. Вып. 17. СПб: Изд-во СПбГУ, 1997. С. 101–152.
  35. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Coques elastiques mines. Proprietes asymptotiques. Paris: Masson, 1997.
  36. Елисеев В.В., Орлов С.Г. Асимптотическое расщепление в пространственной задаче линейной упругости для удлиненных тел со структурой // Прикладн. матем. и мех. 1999. T. 63. № 1. C. 93–101
  37. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002.
  38. Panassenko G. Multi-scale modelling for structures and composites. Dordrecht: Springer, 2005.
  39. Ржаницын А.Р. Строительная механика. M.: Высшая школа, 1982.
  40. Светлицкий В.А. Механика стержней, Т. 1, 2. M.: Высшая школа, 1987.
  41. Nazarov S.A. Korn’s inequalities for junctions of spatial bodies and thin rods // Math. Meth. Appl. Sci. 1997. V. 20. № 3. P. 219–243.
  42. Назаров С.А. Неравенство Корна для упругого соединения тела со стержнем. Проблемы механики деформируемого твердого тела. СПб: Изд-во СПбГУ, 2002. С. 234–240.
  43. Назаров С.А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней // Успехи матем. наук. 2008. Т. 63. № 1. С. 37–110.
  44. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994.
  45. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  46. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.
  47. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.
  48. Gazzola F., Grunau H.-C., Sweers G. Polyharmonic boudary value problems. Berlin, Heidelberg: Springer, 2010.
  49. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48. № 2. С. 347–371.
  50. Korn A. Solution generale du probleme d’equilibre dans la theorie l’elasticite dans le cas ou les efforts sont donnes ` a` la surface // Ann. Universite Toulouse. 1908. P. 165–269.
  51. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
  52. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна // Успехи матем. наук. 1988. Т. 43. № 5. С. 55–98.
  53. Hardy G.H. Note on a theorem of Hilbert // Mathematische Zeitschrift. 1920. V. 6. S. 314–317.
  54. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  55. Назаров С.А. Асимптотический анализ собственных значений при сближении концентрированных масс // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2024. Т. 64. № 10. C. 1896–1914.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».