Email this article 
THE PERTURBATION METHOD AND THE REGULARIZATION OF THE LAGRANGE PRINCIPLE IN NONLINEAR CONSTRAINED EXTREMUM PROBLEMS
- Authors: Sumin M.I.1
-
Affiliations:
- G.R. Derzhavin TSU
- Issue: Vol 64, No 12 (2024)
- Pages: 2312–2331
- Section: Optimal control
- URL: https://ogarev-online.ru/0044-4669/article/view/279981
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466924120076
- EDN: https://elibrary.ru/KBZJNN
- ID: 279981
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
The regularization of the Lagrange principle (LP) in a non-differential form in a nonlinear (nonconvex) constrained extremum problem with an operator constraint-equality in Hilbert space is considered. The set of its permissible elements belongs to a complete metric space, the existence of a solution to the problem is not assumed a priori. The equality constraint contains an additively included parameter, which makes it possible to apply the “nonlinear variant” of the perturbation method to study the problem. The main purpose of the regularized LP is the stable generation of generalized minimizing sequences (GMSs) in the nonlinear problem under consideration. It can be interpreted as a GMS-generating (regularizing) operator that matches each set of initial data of the problem with a subminimal (minimal) of its regular augmented Lagrangian corresponding to this set, the dual variable in which is generated in accordance with the Tikhonov stabilization procedure of the dual problem. The structure of the augmented Lagrangian is completely determined by the type of “nonlinear” subdifferentials of a value function that is below semicontinuous and, generally speaking, non-convex as a function of the problem parameter. The Frechet proximal subgradient and the subdifferential, well-known in non-smooth (nonlinear) analysis, are used as such subdifferentials. The regularized LP “overcomes” the properties of the ill-posedness of the classical analogue and can be interpreted as a regularizing algorithm, thereby forming the theoretical basis for creating stable methods for the practical solving nonlinear constrained extremum problems.
Keywords
References
- Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. В 2-х томах. 2-е изд. М.–Л.: Гостехиздат, 1950. 603+442 c.
- Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
- Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. 192 с.
- Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений // Успехи матем. наук. 2013. Т. 68. Вып. 3(411). С. 5–38.
- Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011. 1056 с.
- Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 9. С. 1594–1615.
- Сумин М.И. Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 1. С. 25–49.
- Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та матем. и механ. УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 279–296.
- Сумин М.И. О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа // Вестн. российских университетов. Математика. 2022. Т. 27. Вып. 137. С. 58–79.
- Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.
- Сумин М.И. Недифференциальные теоремы Куна–Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа // Вестн. российских университетов. Математика. 2020. Т. 25. Вып. 131. С. 307–330.
- Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
- Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 602–625.
- Сумин М.И. Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 5. С. 796–816.
- Сумин М.И. Устойчивая секвенциальная теорема Куна–Таккера в итерационной форме или регуляризованный алгоритм Удзавы в регулярной задаче нелинейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 6. С. 947–977. doi: 10.7868/S0044466915060137 .
- Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 352 с.
- Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
- Сумин М.И. Метод возмущений и регуляризация правила множителей Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30. № 2. C. 203–221.
- Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. C. 252–269. doi: 10.21538/01344889-2020-26-2-252-269.
- Сумин М.И.ОрегуляризациипринципаЛагранжаипостроенииобобщенныхминимизирующихпоследовательностей в выпуклых задачах условной оптимизации // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30. Вып. 3. С. 410–428.
- Borwein J.M., Strojwas H.M. Proximal Analysis and Boundaries of Closed Sets in Banach Space, Part I: Theory // Can. J. Math. 1986. V.38. No.2. P.431-452; Part II: Applications // Can. J. Math. 1987. V. 39. No 2. P. 428–472.
- Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 2. Providence, RI: AMS, 1993. 153 p. DOI: https://doi.org/10.1090/crmp/002
- Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth analysis and control theory. Graduate texts in mathematics. V. 178. New York: Springer-Verlag, 1998. 278 p. DOI: https://doi.org/10.1007/b97650
- Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic Theory. Berlin: Springer, 2006. 579 p. DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-31247-1
- Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.
- Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. 488 с.
- Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. М.: Наука, 1989. 399 с.
- Сумин М.И. Метод возмущений, субдифференциалы негладкого анализа и регуляризация правила множителей Лагранжа в нелинейном оптимальном управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. C. 202–221.
- Сумин М.И. О регуляризации недифференциальной теоремы Куна–Таккера в нелинейной задаче на условный экстремум // Вестн. российских университетов. Математика. 2022. Т. 27. Вып. 140. С. 351–374.
- Sumin M.I. Parametric Dual Regularization in a Nonlinear Mathematical Programming // In book “Advances in Mathematics Research, Volume 11”. Chapter 5. New-York: Nova Sci. Publ. Inc. 2010. P. 103–134.
- Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.
- Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 312 с.
Supplementary files
