Sturm–Liouville problem for a one-dimensional thermoelastic operator in Cartesian, cylindrical, and spherical coordinate systems

Texto integral

Задача Штурма–Лиувилля для одномерного термоупругого оператора в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат ^[1]

1. ВВЕДЕНИЕ

За последнее время опубликовано очень большое количество работ, так или иначе связанных с исследованием эффектов взаимодействия полей различной физической природы: механических, температурных, диффузионных и пр. В частности, можно утверждать, что сформирована достаточно строгая математическая теория термоупругости, основанная на феноменологических подходах и моделях термодинамики и механики сплошной среды (см. [1–4]).

Несмотря на то, что первые модели термоупругости появились еще в середине XIX в., тема не перестает быть актуальной и в настоящее время. Это связано как с развитием научно-экспериментальной базы, так и с тем, что математический аппарат, описывающий связанные термоупругие процессы в сплошных средах постоянно совершенствуется.

При этом большое развитие получили теории, учитывающие конечную скорость распространения тепловых потоков, среди которых можно отметить модели Каттанео, Лорда–Шульмана, Грина–Линсди, Грина–Нагди и т.д. (см. [5–12]). Это обусловлено тем, что классический закон теплопроводности Фурье дает очень большую погрешность при описании высокоскоростных, и в частности, импульсных процессов. Кроме того, можно отметить статьи, где для описания релаксационных эффектов используется аппарат дробного дифференцирования (см. [13–16]) и модели нелокального континуума Эрингена (см. [17–19]), которые позволяют, в известной мере, преодолеть локальность классических линейных моделей.

Однако на сегодняшний день остается немало нерешенных вопросов, связанных с аналитическим решением задач нестационарной связанной термоупругости. Анализ существующих публикаций показывает, что в плане решения соответствующих начально-краевых задач наиболее полно изучены модели в прямоугольной декартовой системе координат. Достаточно подробный обзор работ (правда, применительно к задачам термоупругой диффузии) дан в монографии [20]. Работ, посвященных решению задач темоупругости (в том числе, задач термоупругости с учетом других физических полей) в цилиндрической и сферической системах координат сравнительно немного и среди них можно выделить [21–31].

В этой связи отметим, что при решении задач в криволинейных системах координат очень важной проблемой является нахождение системы собственных функций, являющихся решением соответствующей задачи Штурма–Лиувилля. Этот вопрос достаточно хорошо изучен для начально-краевых задач теории упругости, теплопроводности и несвязанной термоупругости (см. [32–34]). Применительно к связанным задачам термоупругости данный вопрос в известных научных работах не обсуждался.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ШТУРМА$–$ЛИУВИЛЛЯ

Для постановки задачи Штурма–Лиувилля рассмотрим однородную систему уравнений, с однородными граничными условиями, описывающую одномерные термоупругие процессы в сплошных средах (см. [2], [3], [32], [35]):

$\ddot{u}={\Delta }_{\alpha }u-\frac{\alpha }{{\xi }^2}u-\Lambda {\vartheta }^{\prime };$ (1.1)

${\displaystyle \sum _{k=0}^M\frac{{\left({\tau }_0\right)}^k}{k!}\frac{{\partial }^k}{\partial {\tau }^k}}\left[\dot{\vartheta }-b\left({\dot{u}}^{\prime }+\frac{\alpha \dot{u}}{\xi }\right)\right]=\kappa {\Delta }_{\alpha }\vartheta ;$ (1.2)

${\left.u\right|}_{{\Pi }_u}=\mathrm{0,}{\left.\vartheta \right|}_{{\Pi }_T}=\mathrm{0,}{\left.\sigma \right|}_{{\Pi }_{\sigma }}=\mathrm{0,}{\left.{\vartheta }^{\prime }\right|}_{{\Pi }_q}=0;$ (1.3)

${\left.u\right|}_{\tau =0}=\mathrm{0,}{\left.\dot{u}\right|}_{\tau =0}=\mathrm{0,}{\left.\frac{{\partial }^k\vartheta }{\partial {\tau }^k}\right|}_{\tau =0}=0\left(k=\overline{\mathrm{0,}M-1}\right).$ (1.4)

Здесь граница Π=∂G – граница области, занятой телом G $\mathrm{ℝ}$³. Она разбита на участки П = П_u  П_σ = П_T  П_q,П_u   П_σ = ∅, ПT Пθ = ∅ в соответствии с видом приложенной нагрузки. Точки означают производную по времени τ, штрих – производную по криволинейной координате ξ.

Все величины в (1.1)–(1.4) являются безразмерными. Их связь с размерными аналогами дается следующими равенствами:

$\begin{array}{c}u=\frac{u_1}{L},\tau =\frac{Ct}{L},C^2=\frac{{С}_{1111}}{\rho },{\tau }_0=\frac{C{\tau }_T}{L},c_{12}=\frac{C_{1122}}{C_{1111}},c_{11}=\frac{C_{1111}}{C_{1111}}=\mathrm{1,}\\ \xi =\frac{{\xi }_1}{L},\Lambda =\frac{b_{11}{T}_0}{C_{1111}},b=\frac{b_{11}}{\rho c_0},\kappa =\frac{{\kappa }_{11}}{\rho c_{0}CL},\sigma =\frac{{\sigma }_{11}}{C_{1111}},\vartheta =\frac{T-T_0}{T_0},\end{array}$

где t $–$ время; ξ₁ – криволинейная координата (ξ₁ = x₁ в декартовой системе координат и ξ₁ = r – радиальная координата в цилиндрической и сферической системах координат); L – линейный масштаб задачи; u₁ $–$ компонента вектора перемещений $u=\left\{u_1\left({\xi }_1,t\right),\mathrm{0,}0\right\}$; C_ijkl $–$ компоненты тензора упругих постоянных; ρ – плотность среды; b_ij – температурные коэффициенты, характеризующие деформации за счет нагрева; κ_ij – компоненты тензора теплопроводности; c₀ – удельная теплоемкость; T₀ – начальная температура сплошной среды; T – актуальная температура сплошной среды; величина ϑ характеризует относительное приращение температуры; L – безразмерный коэффициент, характеризующий деформации за счет изменения температуры; τ_T $–$ время релаксации тепловых потоков; параметр α = 0 соответствует декартовой системе координат, α = 1 – цилиндрической системе координат и α = 2 – сферической системе координат; D_α – одномерный оператор Лапласа, имеющий вид

${\Delta }_{\alpha }=\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+\frac{\alpha }{\xi }\frac{\partial }{\partial \xi }.$

Компонента тензора напряжений σ₁₁ (и ее безразмерный аналог σ) соответствует напряжениям, нормальным к поверхности тела, и определяются по формулам

$\begin{array}{c}{\sigma }_{11}=C_{1111}\frac{\partial u_1}{\partial {\xi }_1}+\alpha C_{1122}\frac{u_1}{{\xi }_1}-b_{11}\left(T-T_0\right),\\ \sigma =\frac{\partial u}{\partial \xi }+\alpha c_{12}\frac{u}{\xi }-\Lambda \vartheta .\end{array}$ (1.5)

Уравнение теплопроводности (1.2) учитывает релаксацию тепловых потоков, предполагающую конечную скорость распространения тепловых возмущений. Полагая верхний предел суммирования М = 0, приходим к классической модели с бесконечной скоростью распространения тепла; М = 1 соответствует модифицированному закону Фурье в форме Максвелла–Каттанео.

С целью уменьшения объема выкладок постановку и решение задачи Штурма–Лиувилля изложим для случая М = 0 с последующим обобщением для произвольного М. Будем искать решение задачи (1.1)–(1.4) в виде

$u\left(\xi ,\tau \right)=V\left(\xi \right)W\left(\tau \right),\vartheta \left(\xi ,\tau \right)=\Phi \left(\xi \right)\Psi \left(\tau \right).$ (1.6)

Подставляя (1.6) в (1.1) и (1.2), получаем

$\begin{array}{l}V\left(\xi \right)\ddot{W}\left(\tau \right)=W\left(\tau \right)\left({\Delta }_{\alpha }V\left(\xi \right)-\frac{\alpha }{{\xi }^2}V\left(\xi \right)\right)-\Lambda \Psi \left(\tau \right){\Phi }^{\prime }\left(\xi \right),\\ \dot{\Psi }\left(\tau \right)\Phi \left(\xi \right)=\kappa \Psi \left(\tau \right){\Delta }_{\alpha }\Phi \left(\xi \right)-b\dot{W}\left(\tau \right)\left(V^{\prime }\left(\xi \right)+\frac{\alpha V\left(\xi \right)}{\xi }\right).\end{array}$ (1.7)

Теперь уравнение движения в (1.7) поделим на V (ξ)W(τ), а уравнение теплопереноса – на Ψ(τ)Ф(ξ). Получаем (суммирование по повторяющимся греческим индексам не проводится)

$\begin{array}{c}\frac{\ddot{W}\left(\tau \right)}{W\left(\tau \right)}=\frac{{\Delta }_{\alpha }V\left(\xi \right)}{V\left(\xi \right)}-\frac{\alpha }{{\xi }^2}-\Lambda \frac{\Psi \left(\tau \right)}{W\left(\tau \right)}\frac{{\Phi }^{\prime }\left(\xi \right)}{V\left(\xi \right)},\\ \frac{\dot{\Psi }\left(\tau \right)}{\Psi \left(\tau \right)}=\kappa \frac{{\Delta }_{\alpha }\Phi \left(\xi \right)}{\Phi \left(\xi \right)}-b\frac{\dot{W}\left(\tau \right)}{\Psi \left(\tau \right)}\left(\frac{V^{\prime }\left(\xi \right)}{\Phi \left(\xi \right)}+\frac{\alpha V\left(\xi \right)}{\xi \Phi \left(\xi \right)}\right).\end{array}$

В полученных равенствах левые части зависят от переменной τ, а правые – от переменных τ и ξ. Для обеспечения равенства потребуем, чтобы обе части этих уравнений не зависели от τ и ξ. В этом случае

$\frac{\ddot{W}\left(t\right)}{W\left(t\right)}=-{\gamma }^2=\text{const},\frac{\dot{\Psi }\left(t\right)}{\Psi \left(t\right)}=-{\gamma }^2\omega =\text{const}$, (1.8)

$\frac{\Psi \left(t\right)}{W\left(t\right)}=q=\text{const},\frac{\dot{W}\left(t\right)}{\Psi \left(t\right)}=\frac{p}{q}=\text{const}.$ (1.9)

В результате приходим к следующей системе уравнений относительно функций V(τ) и Ф(ξ):

$\begin{array}{c}-{\gamma }^2=\frac{1}{V\left(\xi \right)}\left({\Delta }_{\alpha }V\left(\xi \right)-\frac{\alpha V\left(\xi \right)}{{\xi }^2}\right)-q\Lambda \frac{{\Phi }^{\prime }\left(\xi \right)}{V\left(\xi \right)},\\ -{\gamma }^2\omega =\frac{\kappa {\Delta }_{\alpha }\Phi \left(\xi \right)}{\Phi \left(\xi \right)}-\frac{pb}{q\Phi \left(\xi \right)}\left(V^{\prime }\left(\xi \right)+\frac{\alpha V\left(\xi \right)}{\xi }\right).\end{array}$ (1.10)

Для формулировки задачи Штурма–Лиувилля эти уравнения дополняются однородными краевыми условиями, которые будут получены далее.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА$–$ЛИУВИЛЛЯ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

В декартовой системе координат уравнения (1.10) запишутся так (ξ = x)

$\begin{array}{c}-{\gamma }^2=\frac{V^{″}\left(x\right)}{V\left(x\right)}-q\frac{\Lambda {\Phi }^{\prime }\left(x\right)}{V\left(x\right)},\\ -{\gamma }^2\omega =\frac{\kappa {\Phi }^{″}\left(x\right)}{\Phi \left(x\right)}-\frac{p}{q}\frac{b{V}^{\prime }\left(x\right)}{\Phi \left(x\right)}.\end{array}$

Отсюда приходим к следующей системе уравнений относительно функций V(x) и Ф(х):

$\begin{array}{c}-{\gamma }^{2}V\left(x\right)=V^{″}\left(x\right)-q\Lambda {\Phi }^{\prime }\left(x\right),\\ -{\gamma }^2\omega \Phi \left(x\right)=\kappa {\Phi }^{″}\left(x\right)-\frac{p}{q}b{V}^{\prime }\left(x\right).\end{array}$ (2.1)

Будем искать решение системы (2.1) в форме

$V=V^{\ast }{e}^{\lambda x},\Phi ={\Phi }^{\ast }{e}^{\lambda x}.$ (2.2)

Подставляя (2.2) в (2.1), получаем

$\begin{array}{c}\left({\lambda }^2+{\gamma }^2\right)V^{\ast }-q\Lambda \lambda {\Phi }^{\ast }=\mathrm{0,}\\ -\frac{p}{q}b\lambda V^{\ast }+\left(\kappa {\lambda }^2+{\gamma }^2\omega \right){\Phi }^{\ast }=0.\end{array}$ (2.3)

Для существования нетривиального решения необходимо потребовать, чтобы определитель этой системы равнялся нулю. Имеем

$\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{\lambda }^2+{\gamma }^2& -q\Lambda \lambda \\ -\frac{p}{q}b\lambda & \kappa {\lambda }^2+{\gamma }^2\omega \end{array}\right|=\\ =\left({\lambda }^2+{\gamma }^2\right)\left(\kappa {\lambda }^2+{\gamma }^2\omega \right)-pb\Lambda {\lambda }^2=\\ =\kappa {\lambda }^4+\left({\gamma }^2\kappa +{\gamma }^2\omega -pb\Lambda \right){\lambda }^2+{\gamma }^4\omega =0.\end{array}$ (2.4)

Как видно, введенный ранее параметр q не входит в уравнение (2.4) и, следовательно, его корни также не будут зависеть от q. Поэтому, без ограничения общности, полагаем q = 1. Решение уравнения (2.4) имеет вид

${\lambda }_l=\gamma A_l,A_{\mathrm{1,2,3,4}}=\pm \sqrt{\frac{-\left(\kappa +\omega -pb\Lambda /{\gamma }^2\right)\pm \sqrt{{\left(\kappa +\omega -pb\Lambda /{\gamma }^2\right)}^2-4\omega \kappa }}{2\kappa }}.$ (2.5)

Далее, из равенств (1.8) имеем

$\ddot{W}\left(\tau \right)+{\gamma }^{2}W\left(\tau \right)=\mathrm{0,}\dot{\Psi }\left(\tau \right)+{\gamma }^2\omega \Psi \left(\tau \right)=0.$ (2.6)

Общее решение этих уравнений

$W\left(\tau \right)=C_1{e}^{i\gamma \tau }+C_2{e}^{-i\gamma \tau },\Psi \left(\tau \right)=C{e}^{-\omega {\gamma }^2\tau }.$

Подставляя W (τ) в первое равенство (1.9), при q = 1 получаем

$C_1{e}^{i\gamma \tau }+C_2{e}^{-i\gamma \tau }=C{e}^{-\omega {\gamma }^2\tau }.$

Это равенство возможно, если ω = ±i / γ. При этом одна из констант C₁ или C₂ должна быть равна нулю, т.е.

$\omega =\frac{i}{\gamma }\Rightarrow C_1=\mathrm{0,}C=C_2$ (2.7)

или

$\omega =-\frac{i}{\gamma }\Rightarrow C_2=\mathrm{0,}C=C_1.$ (2.8)

Воспользуемся для определенности равенствами (2.7). Тогда из второго равенства (1.9) при q = 1 получаем

$-i\gamma C{e}^{-i\gamma \tau }=pC{e}^{-i\gamma \tau }\Rightarrow p=-i\gamma .$ (2.9)

Подставляя полученные для p и ω равенства (2.8) и (2.9) в (2.5), получаем

$\begin{array}{c}{\lambda }_l=\gamma A_l,A_{\mathrm{1,2}}=\sqrt{\frac{-\left(\gamma \kappa +i+i\gamma b\Lambda \right)\pm \sqrt{{\left(\gamma \kappa +i+i\gamma b\Lambda \right)}^2-4i\gamma \kappa }}{2\kappa \gamma }}\left(l=\mathrm{1,2}\right),\\ {\lambda }_3=-{\lambda }_1,{\lambda }_4=-{\lambda }_2.\end{array}$ (2.10)

В результате решение задачи (2.1) с учетом (2.2) записывается в форме

$V\left(x\right)=V_1\cos \left({\lambda }_{1}x\right)+V_2\sin \left({\lambda }_{1}x\right)+V_3\cos \left({\lambda }_{2}x\right)+V_4\sin \left({\lambda }_{2}x\right),$ (2.11)

а выражение для $\Phi \left(x\right)$ получается из первого уравнения в (2.1):

$\begin{array}{c}{\Phi }^{\prime }\left(x\right)=-V_1\frac{{\lambda }_1^2-{\gamma }^2}{\Lambda }\cos \left({\lambda }_{1}x\right)-\\ -V_2\frac{{\lambda }_1^2-{\gamma }^2}{\Lambda }\sin \left({\lambda }_{1}x\right)-V_3\frac{{\lambda }_2^2-{\gamma }^2}{\Lambda }\cos \left({\lambda }_{2}x\right)+\\ +V_4\frac{{\lambda }_2^2-{\gamma }^2}{\Lambda }\sin \left({\lambda }_{2}x\right).\end{array}$

Интегрируя, находим

$\begin{array}{c}\Phi \left(x\right)=V_1{\omega }_1\sin \left({\lambda }_{1}x\right)-V_2{\omega }_1\cos \left({\lambda }_{1}x\right)+\\ +V_3{\omega }_2\sin \left({\lambda }_{2}x\right)-V_4{\omega }_2\cos \left({\lambda }_{2}x\right),\end{array}$ (2.12)

где

${\omega }_1=\frac{{\gamma }^2-{\lambda }_1^2}{\Lambda {\lambda }_1},{\omega }_2=\frac{{\gamma }^2-{\lambda }_2^2}{\Lambda {\lambda }_2}.$ (2.13)

Постоянные V_l находятся из граничных условий. Вначале рассмотрим граничные условия (фиксируются граничное поле перемещений и температурный поток):

${\left.V\right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.V\right|}_{x=1}=\mathrm{0,}{\left.{\Phi }^{\prime }\right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.{\Phi }^{\prime }\right|}_{x=1}=0.$ (2.14)

Подстановкой (2.11) и (2.12) в (2.14) получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

$\begin{array}{c}{V}_1+V_3=\mathrm{0,}{V}_1{\omega }_1{\lambda }_1+V_3{\omega }_2{\lambda }_2=\mathrm{0,}\\ V_1\cos {\lambda }_1+V_2\sin {\lambda }_1+V_3\cos {\lambda }_2+V_4\sin {\lambda }_2=\mathrm{0,}\\ V_1{\lambda }_1{\omega }_1\cos {\lambda }_1+V_2{\lambda }_1{\omega }_1\sin {\lambda }_1+V_3{\lambda }_2{\omega }_2\cos {\lambda }_2+V_4{\lambda }_2{\omega }_2\sin {\lambda }_2=0.\end{array}$

Решая ее, получаем либо

$V_1=V_3=V_4=\mathrm{0,}{\lambda }_{1n}=\pi n,n\in \mathbb{Z},$

либо

$V_1=V_3=V_2=\mathrm{0,}{\lambda }_{2n}=\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

И в том, и в другом случаях приходим к одному и тому же набору собственных функций $\left\{\sin {\lambda }_{n}x,\cos {\lambda }_{n}x\right\}$, ${\lambda }_n=\pi n$, с помощью которых решение задачи (2.1) с краевыми условиями (2.14) запишется так:

$\begin{array}{c}V\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\sin {\lambda }_{n}x},\\ \Phi \left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\phi }_n\cos {\lambda }_{n}x}\left({\lambda }_n=\pi n\right).\end{array}$ (2.15)

Аналогичным образом доказывается, что в случае граничных условий, где фиксируется нормальное напряжение и температурное поле,

${\left.\left(V^{\prime }-\Lambda \Phi \right)\right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.\left(V^{\prime }-\Lambda \Phi \right)\right|}_{x=1}=\mathrm{0,}{\left.\Phi \right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.\Phi \right|}_{x=1}=0$, (2.16)

решение имеет вид

$\begin{array}{c}V\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{v}_n\cos {\lambda }_{n}x},\\ \Phi \left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\phi }_n\sin {\lambda }_{n}x}\left({\lambda }_n=\pi n\right).\end{array}$ (2.17)

Еще одни краевые условия, для которых аналогичным образом можно найти систему собственных функций, имеют вид

$\begin{array}{c}{\left.V\right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.\left(V^{\prime }-\Lambda \Phi \right)\right|}_{x=1}=\mathrm{0,}\\ {\left.{\Phi }^{\prime }\right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.\Phi \right|}_{x=1}=0.\end{array}$ (2.18)

В этом случае

$\begin{array}{c}V\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\sin {\lambda }_{n}x},\\ \Phi \left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\phi }_n\cos {\lambda }_{n}x}\left({\lambda }_n=\pi \frac{2n-1}{2}\right).\end{array}$ (2.19)

Если в (2.18) поменять границы местами, то получим соответственно

${\left.\left(V^{\prime }-\Lambda \Phi \right)\right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.V\right|}_{x=1}=\mathrm{0,}{\left.\Phi \right|}_{x=0}=\mathrm{0,}{\left.{\Phi }^{\prime }\right|}_{x=1}=0;$ (2.20)

$\begin{array}{c}V\left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\cos {\lambda }_{n}x},\\ \Phi \left(x\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\phi }_n\sin {\lambda }_{n}x}\left({\lambda }_n=\pi \frac{2n-1}{2}\right).\end{array}$ (2.21)

Вид рассмотренных здесь граничных условий целиком и полностью определяется свойствами производных тригонометрических функций, согласно которым параметр ${\lambda }_n$ может удовлетворять одной из пар уравнений

${\left(\sin {\lambda }_n\right)}^{\prime }=\mathrm{0,}\cos {\lambda }_n=\mathrm{0,}$

либо

${\left(\cos {\lambda }_n\right)}^{\prime }=\mathrm{0,}\sin {\lambda }_n=0.$

С учетом физического смысла это позволяет составить четыре вида граничных условий (2.14), (2.16), (2.18) и (2.20), которые и рассмотрены здесь.

В остальных случаях нахождение собственных функций не представляется возможным (см. [20]). Причем, под «остальными» краевыми условиями подразумеваются не просто другие условия, а условия, не являющиеся подобными по отношению к рассмотренным. Например, краевые условия, содержащие линейные комбинации величин

$V^{\left(2k-2\right)}\left(x\right),{\Phi }^{\left(2l-1\right)}\left(x\right)\left(k,l\in \mathbb{N}\right),$

являются подобными условиям (2.13) в том смысле, что решение соответствующей краевой задачи тоже будет иметь вид (2.14). Следовательно, краевые условия, представляющие собой линейные комбинации величин

$V^{\left(2k-1\right)}\left(x\right),{\Phi }^{\left(2l-2\right)}\left(x\right)\left(k,l\in \mathbb{N}\right),$

подобны (2.16) и т.д.

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА$–$ЛИУВИЛЛЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

Уравнения (1.10) для одномерного термоупругого дифференциального оператора в цилиндрической и сферической системах координат записывается так:

$\begin{array}{c}-{\gamma }^{2}V\left(r\right)=V^{″}\left(r\right)+\frac{\alpha V^{\prime }\left(r\right)}{r}-\frac{\alpha V\left(r\right)}{r^2}-\Lambda {\Phi }^{\prime }\left(r\right),\\ -i\gamma \Phi \left(r\right)=\kappa \left[{\Phi }^{″}\left(r\right)+\frac{\alpha {\Phi }^{\prime }\left(r\right)}{r}\right]+i\gamma b\left[V^{\prime }\left(r\right)+\frac{\alpha V\left(r\right)}{r}\right].\end{array}$ (3.1)

Здесь сразу положено $p=-i\gamma$, $\omega =i{\gamma }^{-1}$ и $q=1$.

Учитывая вид дифференциальных операторов второго порядка в уравнениях (3.1), решение в кольце $R_1\le r\le R_2$ будем искать в виде

$\begin{array}{c}V\left(r\right)=V^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right)+V^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right),\\ \Phi \left(r\right)={\Phi }^{\ast }{J}_0^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right)+{\Phi }^{\ast \ast }{Y}_0^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right),\\ J_{\mu }^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{l}{J}_{\mu }\left(z\right),\alpha =\mathrm{1,}\\ j_{\mu }\left(z\right),\alpha =\mathrm{2,}\end{array}\right.Y_{\mu }^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)=\left\{\begin{array}{l}{Y}_{\mu }\left(z\right),\alpha =\mathrm{1,}\\ y_{\mu }\left(z\right),\alpha =\mathrm{2,}\end{array}\right.\end{array}$ (3.2)

где $J_{\mu }\left(z\right)$ – цилиндрическая функция Бесселя 1-го рода порядка $\mu$; $Y_{\mu }\left(z\right)$ – цилиндрическая функция Бесселя 2-го рода (функция Неймана) порядка $\mu$. Соответственно $j_{\mu }\left(z\right)$ – сферическая функция Бесселя 1-го рода порядка $\mu$; $y_{\mu }\left(z\right)$ – сферическая функция Бесселя 2-го рода (функция Неймана) порядка $\mu$.

Подставляя (3.2) в (3.1), с учетом свойств производных бесселевых функций (см. [33], [36]), получаем

$\begin{array}{c}\left({\lambda }^2-{\gamma }^2\right)V^{\ast }+\lambda \Lambda {\Phi }^{\ast }=\mathrm{0,}-i\gamma \lambda b{V}^{\ast }+\left(\kappa {\lambda }^2-i\gamma \right){\Phi }^{\ast }=\mathrm{0,}\\ \left({\lambda }^2-{\gamma }^2\right)V^{\ast \ast }+\lambda \Lambda {\Phi }^{\ast \ast }=\mathrm{0,}-i\gamma \lambda b{V}^{\ast \ast }+\left(\kappa {\lambda }^2-i\gamma \right){\Phi }^{\ast \ast }=0.\end{array}$ (3.3)

Как видно, уравнения (3.3) аналогичны уравнениям (2.3). Соответственно их решения будут иметь вид, сходный с (2.10):

$\begin{array}{c}{\lambda }_l=\gamma A_l,A_{\mathrm{1,2}}=\sqrt{\frac{\gamma \kappa +i+i\gamma b\Lambda \pm \sqrt{{\left(\gamma \kappa +i+i\gamma b\Lambda \right)}^2-4i\gamma \kappa }}{2\kappa \gamma }}\left(l=\mathrm{1,2}\right),\\ {\lambda }_3=-{\lambda }_1,{\lambda }_4=-{\lambda }_2.\end{array}$ (3.4)

Таким образом,

$\begin{array}{l}V\left(r\right)={\displaystyle \sum _{l=1}^4\left[V_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)+V_l^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)\right]},\\ \Phi \left(r\right)={\displaystyle \sum _{l=1}^4\left[{\Phi }_l^{\ast }{J}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)+{\Phi }_l^{\ast \ast }{Y}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)\right]}.\end{array}$

Так как $J_1^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)$ и $Y_1^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)$ – нечетные функции, а $J_0^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)$ и $Y_0^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)$ – четные функции, то

$\begin{array}{c}{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{3}r\right)=-J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}r\right),J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{4}r\right)=-J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}r\right),\\ J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{3}r\right)=J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}r\right),J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{4}r\right)=J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}r\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{3}r\right)=-Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}r\right),Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{4}r\right)=-Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}r\right),\\ Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{3}r\right)=Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}r\right),Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{4}r\right)=Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}r\right).\end{array}$

Поэтому общее решение задачи Штурма–Лиувилля (3.1) запишется так:

$\begin{array}{l}V\left(r\right)={\displaystyle \sum _{l=1}^2\left[V_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)+V_l^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)\right]},\\ \Phi \left(r\right)={\displaystyle \sum _{l=1}^2\left[{\Phi }_l^{\ast }{J}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)+{\Phi }_l^{\ast \ast }{Y}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)\right]}.\end{array}$ (3.5)

Оставшиеся постоянные $V_l^{\ast }$, $V_l^{\ast \ast }$, ${\Phi }_l^{\ast }$ и ${\Phi }_l^{\ast \ast }$ определяются из граничных условий, при этом с учетом равенств (3.3)

${\Phi }_l^{\ast }=V_l^{\ast }{\omega }_l,{\Phi }_l^{\ast \ast }=V_l^{\ast \ast }{\omega }_l,$

где ${\omega }_l$ находятся по формулам (2.13).

Рассмотрим вначале случай, когда областью решения является круг радиуса $R$, $0\le r\le R$. Функции Неймана не ограничены в нуле, поэтому константы $V_l^{\ast \ast }$ и ${\Phi }_l^{\ast \ast }$ следует положить равными нулю. Тогда

$\begin{array}{c}V\left(r\right)={\displaystyle \sum _{l=1}^2{V}_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)},\\ \Phi \left(r\right)={\displaystyle \sum _{l=1}^2{\Phi }_l^{\ast }{J}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)}.\end{array}$ (3.6)

Исходя из свойств производных цилиндрических и сферических функций Бесселя (см. [33], [36]),

$\begin{array}{c}{J}_0^{\left(\alpha \right)}{}^{\prime }\left(z\right)=J_1^{\left(\alpha \right)}\left(z\right),\\ J_0^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)=z{J}_1^{\left(\alpha \right)}{}^{\prime }\left(z\right)+\alpha J_1^{\left(\alpha \right)}\left(z\right),\end{array}$ (3.7)

параметр z может одновременно удовлетворять либо паре уравнений

$J_1^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)=\mathrm{0,}{J}_0^{\left(\alpha \right)}{}^{\prime }\left(z\right)=\mathrm{0,}$

либо

$J_0^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)=\mathrm{0,}z{J}_1^{\left(\alpha \right)}{}^{\prime }\left(z\right)+\alpha J_1^{\left(\alpha \right)}\left(z\right)=0.$

Поэтому будем рассматривать граничные условия двух типов:

$V\left(R\right)=\mathrm{0,}{\Phi }^{\prime }\left(R\right)=0$ (3.8)

или

$\Phi \left(R\right)=\mathrm{0,}{V}^{\prime }\left(R\right)+\frac{\alpha V\left(R\right)}{R}-\Lambda \Phi \left(R\right)=0.$ (3.9)

Подставляя (3.6) в (3.8), получаем

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{l=1}^2{V}_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}R\right)}=\mathrm{0,}\\ {\left.{\displaystyle \sum _{l=1}^2{\Phi }_l^{\ast }\frac{d{J}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}r\right)}{dr}}\right|}_{r=R}=-{\displaystyle \sum _{l=1}^2{\Phi }_l^{\ast }{\lambda }_l{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}R\right)}={\displaystyle \sum _{l=1}^2\frac{{\gamma }^2-{\lambda }_l^2}{{\lambda }_l\Lambda }{V}_l^{\ast }{\lambda }_l{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{l}R\right)}=0.\end{array}$

Определитель этой системы равен

$\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}R\right)& J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}R\right)\\ \left({\gamma }^2-{\lambda }_1^2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}R\right)& \left({\gamma }^2-{\lambda }_2^2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}R\right)\end{array}\right|=\\ =\left({\gamma }^2-{\lambda }_2^2-{\gamma }^2+{\lambda }_1^2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}R\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}R\right)=\\ =\left({\lambda }_1^2-{\lambda }_2^2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}R\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}R\right).\end{array}$ (3.10)

Приравнивая определитель нулю, получаем

$J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{1}R\right)=0\Rightarrow V_2^{\ast }=\mathrm{0,}$

или

$J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{2}R\right)=0\Rightarrow V_1^{\ast }=0.$

Эти равенства эквиваленты. Поэтому, ограничиваясь одним из двух вышеперечисленных вариантов, получаем

$V\left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},\Phi \left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\phi }_n{J}_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},$ (3.11)

где ${\lambda }_n\left(n\in \mathbb{N}\right)$ – параметр, удовлетворяющий одновременно двум уравнениям:

$J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}R\right)=\mathrm{0,}{J}_0^{\left(\alpha \right)}{}^{\prime }\left({\lambda }_{n}R\right)=0.$ (3.12)

Аналогичным образом для граничных условий (3.9) получаем решение в виде (3.11), где ${\lambda }_n$ является корнем уравнений

$J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}R\right)=\mathrm{0,}{\lambda }_{n}R{J}_1^{\left(\alpha \right)}{}^{\prime }\left({\lambda }_{n}R\right)+\alpha J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}R\right)=0.$ (3.13)

Перейдем теперь к построению собственных функций для кольца $R_1\le r\le R_2$. Здесь возможны следующие варианты граничных условий:

$V\left(R_2\right)=\mathrm{0,}{\Phi }^{\prime }\left(R_2\right)=\mathrm{0,}V\left(R_1\right)=\mathrm{0,}{\Phi }^{\prime }\left(R_1\right)=0;$ (3.14)

$\begin{array}{l}\Phi \left(R_2\right)=\mathrm{0,}{V}^{\prime }\left(R_2\right)+\frac{\alpha V\left(R_2\right)}{R_2}-\Lambda \Phi \left(R_2\right)=\mathrm{0,}\\ \Phi \left(R_1\right)=\mathrm{0,}{V}^{\prime }\left(R_1\right)+\frac{\alpha V\left(R_1\right)}{R_1}-\Lambda \Phi \left(R_1\right)=0;\end{array}$ (3.15)

$\begin{array}{l}\Phi \left(R_2\right)=\mathrm{0,}{V}^{\prime }\left(R_2\right)+\frac{\alpha V\left(R_2\right)}{R_2}-\Lambda \Phi \left(R_2\right)=\mathrm{0,}\\ V\left(R_1\right)=\mathrm{0,}{\Phi }^{\prime }\left(R_1\right)=0;\end{array}$ (3.16)

$\begin{array}{l}\Phi \left(R_1\right)=\mathrm{0,}{V}^{\prime }\left(R_1\right)+\frac{\alpha V\left(R_1\right)}{R_1}-\Lambda \Phi \left(R_1\right)=\mathrm{0,}\\ V\left(R_2\right)=\mathrm{0,}{\Phi }^{\prime }\left(R_2\right)=0.\end{array}$ (3.17)

Подставляя (3.5) в (3.14), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{l=1}^2\left[V_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_2\right)+V_l^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_2\right)\right]}=\mathrm{0,}\\ {\displaystyle \sum _{l=1}^2{\delta }_l\left[V_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_2\right)+V_l^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_2\right)\right]}=\mathrm{0,}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{l=1}^2\left[V_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_1\right)+V_l^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_1\right)\right]}=\mathrm{0,}\\ {\displaystyle \sum _{l=1}^2{\delta }_l\left[V_l^{\ast }{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_1\right)+V_l^{\ast \ast }{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_l{R}_1\right)\right]}=\mathrm{0,}\\ {\delta }_l={\gamma }^2-{\lambda }_l^2.\end{array}$

Запишем матрицу этой системы:

$\left(\begin{array}{cccc}{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_2\right)& J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)& Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_2\right)& Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)\\ {\delta }_1{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_2\right)& {\delta }_2{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)& {\delta }_1{Y}_1\left({\lambda }_1{R}_2\right)& {\delta }_2{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)\\ J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_1\right)& J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)& Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_1\right)& Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)\\ {\delta }_1{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_1\right)& {\delta }_2{J}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)& {\delta }_1{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_1{R}_1\right)& {\delta }_2{Y}_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)\end{array}\right).$

С помощью элементарных преобразований она приводится к виду

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \frac{Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)}{J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& \frac{Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)}{J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)}-\frac{Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)}{J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)}\end{array}\right).$

Отсюда следует, что необходимым условием существования ненулевого решения является выполнение следующего равенства:

$J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)-Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_1\right)=0.$

При этом $V_1^{\ast }=0$ и $V_1^{\ast \ast }=0$. Для остальных постоянных получаем

$V_2^{\ast }=-\frac{Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)}{J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_2{R}_2\right)}{V}_2^{\ast \ast },V_2^{\ast \ast }\in ℝ.$

Таким образом, приходим к следующему решению:

$V\left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n{\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},\Phi \left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\phi }_n{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},$ (3.18)

$\begin{array}{c}{\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)=Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)-J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right),\\ {\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)=Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)-J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right),\end{array}$ (3.19)

где ${\lambda }_n$ удовлетворяет уравнению

$\begin{array}{c}{\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)=J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)-\\ -Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)=0.\end{array}$ (3.20)

В остальных случаях по аналогии получаем:

– Для граничных условий (3.15)

$\begin{array}{c}V\left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n{\Psi }_{01}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},\\ \Phi \left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\phi }_n{\Psi }_{01}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},\end{array}$ (3.21)

$\begin{array}{c}{\Psi }_{01}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)=Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)-\\ -J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right),\\ {\Psi }_{00}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)=Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)-\\ -J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right).\end{array}$ (3.22)

Здесь ${\lambda }_n$ – корень уравнений

$\begin{array}{c}{\Psi }_{00}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)=J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)-\\ -Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)=0.\end{array}$ (3.23)

– Для граничных условий (3.16) решение имеет вид (3.18), а ${\lambda }_n$ является корнем уравнения

$\begin{array}{c}{\Psi }_{01}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)=Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)-\\ -J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)=0.\end{array}$ (3.24)

– Для граничных условий (3.17) решение имеет вид (3.21), а ${\lambda }_n$ удовлетворяют уравнению

$\begin{array}{c}{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)=J_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)Y_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)-\\ -Y_0^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_1\right)J_1^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_n{R}_2\right)=0.\end{array}$ (3.25)

Как и для задач в прямоугольной декартовой системе координат, получить решение задачи Штурма–Лиувилля при условиях, отличных (3.8) (3.9), (3.14)–(3.17), не представляется возможным.

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ВИДЕ РЯДОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ

В соответствии с результатами, полученными в предыдущем разделе, рассмотрим ряды ( $\alpha =\mathrm{1,2}$ )

$\begin{array}{c}f\left(r\right)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{f}_n{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)},\\ f_n=\frac{1}{{‖{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)‖}^2}{\displaystyle \underset{R_1}{\overset{R_1}{\int }}{r}^{\alpha }f\left(r\right){\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)dr},\end{array}$ (4.1)

где величины ${‖{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)‖}^2$ определяются так:

${‖{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)‖}^2={\displaystyle \underset{R_1}{\overset{1}{\int }}{r}^{\alpha }{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right){\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)dr}.$

Используя известное равенство (см. [33], [36])

$\begin{array}{c}{\displaystyle \int z^{\alpha }{Z}_{\nu }\left(\lambda z\right)S_{\nu }\left(\mu z\right)dz}=\\ =\frac{\mu z^{\alpha }{Z}_{\nu }\left(\lambda z\right)S_{\nu -1}\left(\mu z\right)-\lambda z^{\alpha }{Z}_{\nu -1}\left(\lambda z\right)S_{\nu }\left(\mu z\right)}{{\lambda }^2-{\mu }^2},\end{array}$

где в качестве $Z_{\nu }$ и $S_{\nu }$ выступает любая из функций $J_{\nu }^{\left(\alpha \right)}$ или $Y_{\nu }^{\left(\alpha \right)}$, а $\lambda$ и $\mu$ – произвольные числа, нетрудно получить аналогичное соотношение для введенных в предыдущем разделе функций ${\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left({\lambda }_{n}r\right)$:

$\begin{array}{c}{\displaystyle \int r^{\alpha }{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right){\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu r\right)dr}=\\ =\frac{\mu r^{\alpha }{\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right){\Psi }_{k,l-1}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu r\right)-\lambda r^{\alpha }{\Psi }_{k,l-1}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right){\Psi }_{kl}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu r\right)}{{\lambda }^2-{\mu }^2}.\end{array}$ (4.2)

Пусть число $\lambda$ удовлетворяет уравнению (3.20), т.е. ${\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right)=0$ (граничные условия (3.14)). В этом случае из (3.20) следует, что ${\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right)=0$. Тогда, используя равенство (4.2) и следуя [33], имеем

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{r}^{\alpha }{\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu r\right)dr}=\\ =R_2^{\alpha }\frac{\mu {\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right){\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_2\right)-\lambda {\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_2\right)}{{\lambda }^2-{\mu }^2}-\\ -R_1^{\alpha }\frac{\mu {\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right){\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_1\right)-\lambda {\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_1\right)}{{\lambda }^2-{\mu }^2}=\\ =\frac{\lambda R_2^{\alpha }{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_2\right)-\lambda R_1^{\alpha }{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_1\right)}{{\mu }^2-{\lambda }^2}.\end{array}$

Для вычисления предела при $\mu \to \lambda$ воспользуемся правилом Лопиталя. Получаем

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{r}^{\alpha }{\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda r\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu r\right)dr}=\\ =\underset{\mu \to \lambda }{\lim }\frac{\lambda R_2^{\alpha }{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_2\right)-\lambda R_1^{\alpha }{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right){\Psi }_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_1\right)}{{\mu }^2-{\lambda }^2}=\\ =\frac{1}{2}\underset{\mu \to \lambda }{\lim }\frac{\lambda R_2^{\alpha +1}{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right){{\Psi }^{\prime }}_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_2\right)-\lambda R_1^{\alpha +1}{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right){{\Psi }^{\prime }}_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\mu R_1\right)}{\mu }=\\ =\frac{1}{2}\left[R_2^{\alpha +1}{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right){{\Psi }^{\prime }}_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_2\right)-R_1^{\alpha +1}{\Psi }_{10}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right){{\Psi }^{\prime }}_{11}^{\left(\alpha \right)}\left(\lambda R_1\right)\right].\end{array}$