Получение известных частных решений задачи о s-коммутировании (σ ≠ 0, ±1) тёплицевой и ганкелевой матриц в рамках унифицированного подхода

详细

В предыдущей публикации авторов был предложен унифицированный подход к конструированию пар матриц (T, H), решающих задачу о σ-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц. В данной статье этот подход применяется к выводу двух классов решений, полученных В. Н. Чугуновым ранее из частных соображений. Библ. 7.

全文:

1. Введение

Тёплицевой называется комплексная n × n-матрица T, имеющая вид

$T=\left(\begin{array}{ccccc}{t}_0& t_1& t_2& \dots & t_{n-1}\\ t_{-1}& t_0& t_1& \dots & t_{n-2}\\ t_{-2}& t_{-1}& t_0& \dots & t_{n-3}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ t_{-n+1}& t_{-n+2}& t_{-n+3}& \dots & t_0\\ & & & & \end{array}\right),$ (1)

а ганкелевой называется комплексная n × n-матрица H вида

$H=\left(\begin{array}{ccccc}{h}_{n-1}& h_{n-2}& h_{n-3}& \dots & h_0\\ h_{n-2}& h_{n-3}& h_{n-4}& \dots & h_{-1}\\ h_{n-3}& h_{n-4}& h_{n-5}& \dots & h_{-2}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ h_0& h_{-1}& h_{-2}& \dots & h_{-n+1}\\ & & & & \end{array}\right).$ (2)

Переставив столбцы тёплицевой матрицы в обратном порядке, получим ганкелеву матрицу. Напротив, всякая ганкелева матрица H может быть получена указанным способом из соответствующей тёплицевой матрицы T. Эту связь между H и T можно описать матричным соотношением

$H=T{\mathcal{P}}_n,$

где ${\mathcal{P}}_n$ есть так называемая перъединичная матрица:

${\mathcal{P}}_n=\left(\begin{array}{ccccc}& & & & 1\\ & & & 1& \\ & & \dots & & \\ & 1& & & \\ 1& & & & \\ & & & & \end{array}\right).$

Тёплицева матрица (1) называется циркулянтом, если

$t_{-j}=t_{n-j},j=\mathrm{1,2,}\dots ,n-\mathrm{1,}$

косым циркулянтом при

$t_{-j}=-t_{n-j},j=\mathrm{1,2,}\dots ,n-\mathrm{1,}$

ϕ-циркулянтом, когда

$t_{-j}=\phi t_{n-j},j=\mathrm{1,2,}\dots ,n-\mathrm{1,}$

где $\phi \in C$.

Матрицы K и M σ-коммутируют (или квазикоммутируют), если найдется такое число σ, что $KM=\sigma MK$ (см. [1]). В этой же работе [1] отмечается, что квазикоммутативность является важным соотношением в квантовой физике ([2, 3]), а также в теории представлений аффинных алгебр Гекке (Hecke) ([4]).

Задача о σ-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц заключается в описании пар ненулевых матриц (T, H) таких, что T — тёплицева, H — ганкелева и выполняется соотношение

$TH=\sigma HT.$ (3)

Необходимо сказать несколько слов о параметре s. Произвольный выбор s возможен лишь в случае, когда хотя бы одна из матриц T или H вырождена. Если же обе матрицы невырождены, то σ является одним из корней n-й степени из единицы. В данной работе от параметра σ мы требуем, чтобы $\sigma \ne \mathrm{0,}\pm 1$.

Заметим, что, так как след произведения двух матриц не меняется при перестановке сомножителей и $\sigma \ne 1$, то матрицы TH и HT имеют нулевой след.

В работе [5] сформулирована и доказана следующая

Теорема 1. Ненулевые тёплицева матрица T и ганкелева матрица H σ-коммутируют $\left(\sigma \ne \mathrm{0,}\pm 1\right),$ если T и H входят хотя бы в один из описываемых ниже классов:

Класс 1. Матрица T является циркулянтом

$T={F_n}^{*}{D}_1{F}_n,$

а H — ганкелевым циркулянтом

$H={F_n}^{*}{D}_2{F}_n{P}_n.$

Здесь F_n — (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье

$F_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& \epsilon & {\epsilon }^2& \dots & {\epsilon }^{n-1}\\ 1& {\epsilon }^2& {\epsilon }^4& \dots & {\epsilon }^{2(n-1)}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1& {\epsilon }^{n-1}& {\epsilon }^{2(n-1)}& \dots & {\epsilon }^{{(n-1)}^2}\\ & & & & \end{array}\right),$

$\epsilon =\exp \left(\frac{2\pi i}{n}\right)$ — первообразный корень n-й степени из единицы; $D_1=diag\left(d_1^{\left(1\right)},d_2^{\left(1\right)},\dots ,d_n^{\left(1\right)}\right)$ и $D_2=diag\left(d_1^{\left(2\right)},d_2^{\left(2\right)},\dots ,d_n^{\left(2\right)}\right)$ — диагональные матрицы; при этом

$d_1^{\left(2\right)}{d}_1^{\left(1\right)}=\mathrm{0,}$

$d_j^{\left(2\right)}\left(d_j^{\left(1\right)}-\sigma d_{n+2-j}^{\left(1\right)}\right)=\mathrm{0,}j=\mathrm{2,3,}\dots ,n.$

Класс 2. Матрица T является косым циркулянтом

$T=G_{-1}{F_n}^{*}{D}_1{F}_n{G}_{-1}^{*},$

а H — ганкелевым косым циркулянтом

$H=G_{-1}{F_n}^{*}{D}_2{F}_n{G}_{-1}^{*}{P}_n,$

где

$G_{-1}=diag(\mathrm{1,}\psi ,{\psi }^2,\dots ,{\psi }^{n-1}),$

$\psi =e^{\frac{i\pi }{n}}$ есть корень n-й степени из (–1). Диагональные матрицы $D_1=diag\left(d_1^{\left(1\right)},d_2^{\left(1\right)},\dots ,d_n^{\left(1\right)}\right)$ и $D_2=diag\left(d_1^{\left(2\right)},d_2^{\left(2\right)},\dots ,d_n^{\left(2\right)}\right)$ должны удовлетворять соотношениям

$\begin{array}{ll}{d}_1^{\left(2\right)}\left(d_1^{\left(1\right)}-\sigma d_2^{\left(1\right)}\right)=\mathrm{0,}& d_2^{\left(2\right)}\left(d_2^{\left(1\right)}-\sigma d_1^{\left(1\right)}\right)=\mathrm{0,}\\ d_j^{\left(2\right)}\left(d_j^{\left(1\right)}-\sigma d_{n+3-j}^{\left(1\right)}\right)=\mathrm{0,}& j=\mathrm{3,4,}\dots ,n.\end{array}$

Класс 3. Пусть n = 2r, матрицы T и H имеют вид

$T=\alpha \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ 0_{r,r}& 0_{r,r}\end{array}\right),H=\beta \left(\begin{array}{cc}{P}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& \sigma P_r\end{array}\right),$

где α и β — произвольные числа, 0_r,r — нулевая r × r-матрица.

Класс 4. Пусть n = 2r, матрицы T и H имеют вид

$T=\alpha \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& 0_{r,r}\\ I_r& 0_{r,r}\end{array}\right),H=\beta \left(\begin{array}{cc}\sigma P_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& P_r\end{array}\right).$

Здесь α и β — произвольные числа.

Матричные классы, описанные в этой теореме, найдены из разных соображений, а именно благодаря искусственно придуманным ограничениям на форму тёплицевой и ганкелевой матриц. Они соответствуют наиболее простым множествам решений. Однако в [6] авторами предложен унифицированный подход к получению полного решения. Сущность его состоит в сужении множества всех пар матриц (T, H) до множеств, объединению которых принадлежат все решения рассматриваемой задачи, после чего задача о σ-коммутировании исследуется на каждой конкретной более узкой комбинации наборов (T, H). В упомянутой работе [6] в рамках новой схемы строится множество решений рассматриваемой задачи, являющееся частным случаем объединения классов 3 и 4 теоремы 1:

Теорема 2. Ненулевые тёплицева матрица T и ганкелева матрица H σ-коммутируют при $\sigma =i\kappa$, $\kappa =\pm 1$, если эти матрицы имеют четный порядок n = 2r и следующий вид:

$\begin{array}{c}T=\alpha \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& (1+\kappa \nu )I_r\\ i(\nu -\kappa )I_r& 0_{r,r}\end{array}\right),\\ H=\beta \left(\begin{array}{cc}{P}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& i\nu P_r\end{array}\right),\end{array}$

где $\nu =\pm 1$, α и β — произвольные числа.

Цель настоящей публикации — показать, что все пары матриц из классов 3 и 4 теоремы 1 также могут быть получены на основе метода, изложенного в [6].

Структура статьи следующая. В разд. 2 кратко изложен прием сужения множества всех пар матриц (T, H) до множеств, объединению которых принадлежат все решения рассматриваемой задачи; далее в разд. 3 демонстрируется применение этого приема к выводу в полном объеме классов 3 и 4 теоремы 1.

Для дальнейшего нам понадобится следующий факт.

Лемма 1 (см. [7]). Две нескалярные тёплицевы матрицы ${\tilde{T}}_1$ и ${\tilde{T}}_2$ коммутируют тогда и только тогда, когда ${\tilde{T}}_1$ и ${\tilde{T}}_2$ принадлежат хотя бы одному из следующих классов:

Класс 1′. Обе матрицы ${\tilde{T}}_1$ и ${\tilde{T}}_2$ верхнетреугольные или же обе нижнетреугольные.

Класс 2′. Матрицы ${\tilde{T}}_1$ и ${\tilde{T}}_2$ суть $\phi$ -циркулянты для одного и того же числа $\phi \ne 0$ .

Класс 3′. Одна из матриц ${\tilde{T}}_1$ или ${\tilde{T}}_2$ является линейной функцией от другой.

2. Конструирование решений задачи о s-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц

Здесь мы кратко напомним предложенный в [6] процесс построения множеств наборов пар матриц (T, H), объединению которых принадлежат все решения рассматриваемой задачи. Основную роль в этом процессе играет следующее утверждение.

Лемма 2 (см. [6]). Всякую пару (T, H), решающую задачу о σ-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц, можно представить в виде

$\begin{array}{l}T={\alpha }_1\left(A-\sigma A^{{\rm T}}\right),\\ H={\beta }_{1}B{P}_n,\end{array}$ (4)

где A и B — нескалярные тёплицевы матрицы, удовлетворяющие условиям

$\begin{array}{l}AB=BA,\\ A^{{\rm T}}B+B{A}^{{\rm T}}=\mu AB,\\ \mu =\frac{1+{\sigma }^2}{\sigma },\\ \mu \ne \pm \mathrm{2,}\end{array}$ (5)

α₁, β₁ — произвольные числа.

Сформулированная лемма позволяет считать основным уравнением соотношение

$A^{{\rm T}}B+B{A}^{{\rm T}}=\mu AB.$ (6)

Обозначим элементы первой строки матрицы A через a₀, a₁, …, a_{n – 1}, а элементы ее первого столбца — через a₀, a_–1, …, a_{–(n – 1)}. Аналогично, элементы первой строки матрицы B обозначим через b₀, b₁, …, b_{n – 1}, а элементы первого столбца — через b₀, b_–1, …, b_{–(n – 1)}.

Согласно лемме 1, для коммутирующих тёплицевых матриц A и B возможны лишь следующие четыре случая: 1) обе матрицы A и B являются верхними треугольными; 2) обе матрицы A и B — нижние треугольные; 3) обе матрицы A и B суть $\phi$-циркулянты для одного и того же числа $\phi \ne 0$; 4) $B=\theta A+\omega I_n$.

Для получения классов 3 и 4 теоремы 1 мы уделим особое внимание третьему случаю, а именно рассмотрим уравнение (6), когда A и B — ϕ-циркулянты для одного и того же числа $\phi \ne \mathrm{0,}\pm 1$. Матрица в правой части является тёплицевой, значит, и матрица в левой части должна быть тёплицевой, что может быть достигнуто благодаря лемме 3.

Лемма 3 (см. [6]). Пусть A и B — j-циркулянты для одного и того же числа $\phi \ne \mathrm{0,}\pm 1$ . Матрица $A^{{\rm T}}B+B{A}^{{\rm T}}$ является тёплицевой тогда и только тогда, когда A и B представимы в виде

$A=\gamma \left(a_0{I}_n+U^c+\phi U^{{\rm T}}\right),B=\delta \left(b_0{I}_n+U+\phi U^{c{\rm T}}\right),$ (7)

где U и U ^c — строго верхние треугольные тёплицевы матрицы с элементами первых строк 0, u₁, u₂, …, u_{n –1} и 0, u_{n – 1}, u_{n – 2}, …, u₁ соответственно, а γ и δ — произвольные числа.

Кроме того, матрица в правой части соотношения (6) является j-циркулянтом как произведение j-циркулянтов, поэтому и в его левой части должен стоять j-циркулянт. Условия для этого дает

Лемма 4 (см. [6]). Пусть A и B — ϕ-циркулянты для одного и того же числа $\phi \ne \mathrm{0,}\pm 1$ . Матрица $A^{{\rm T}}B+B{A}^{{\rm T}}$ является j-циркулянтом тогда и только тогда, когда B — скалярное кратное инволютивного ϕ-циркулянта.

Так как матрица B может быть определена с точностью до скалярного кратного, то, не ограничивая общности, будем считать, что B — инволютивный ϕ-циркулянт.

Учитывая коммутирование матриц A и B, перепишем решаемое уравнение в виде

$\left(A^{{\rm T}}-\frac{\mu }{2}A\right)B+B\left(A^{{\rm T}}-\frac{\mu }{2}A\right)=\mathrm{0,}$

или, в силу инволютивности B,

$B\left(A^{{\rm T}}-\frac{\mu }{2}A\right)B=-\left(A^{{\rm T}}-\frac{\mu }{2}A\right).$

При преобразовании подобия след матрицы не меняется, поэтому матрица $A^{{\rm T}}-\frac{\mu }{2}A$ имеет нулевой след, а из ее тёплицевости следует, что $\left(1-\frac{\mu }{2}\right)a_0=0$ и, так как $\mu \ne 2$, то $a_0=0$. Благодаря леммам 3 и 4 можем записать выражения для матриц A и B в виде

$A=\gamma \left(U^c+\phi U^{{\rm T}}\right),B=\delta \left(b_0{I}_n+U+\phi U^{c{\rm T}}\right).$

Так как из уравнения (6) следует, что матрицы A и B могут быть определены с точностью до скалярного кратного, то, используя (7), будем считать справедливым следующее представление

$A=U^c+\phi U^{{\rm T}},B=b_0{I}_n+U+\phi U^{c{\rm T}}.$(8)

3. Вывод классов 3 и 4

В данном разделе на основании выражений (8) для матриц A и B покажем, что классы 3 и 4 теоремы 1 являются решением задачи о s-коммутировании тёплицевой и ганкелевой матриц в случае $A=B-b_0{I}_n$. Уравнение (6) приобретает вид

${\left(B-b_0{I}_n\right)}^{{\rm T}}B+B{\left(B-b_0{I}_n\right)}^{{\rm T}}=\mu \left(B-b_0{I}_n\right)B,$

упрощаемый до соотношения

$B^{{\rm T}}B+B{B}^{{\rm T}}=\mu I_n+\left(2-\mu \right)b_{0}B.$ (9)

Введем циркулянт C и косой циркулянт S с одинаковой первой строкой

$\frac{1}{2}\left(\mathrm{0,}{u}_1,u_2,\dots ,u_{n-1}\right).$

С помощью этих матриц можем записать выражения для U и U ^c

$U=C+S,U^c=C^{{\rm T}}-S^{{\rm T}},$ (10)

откуда

$\begin{array}{c}C=\frac{1}{2}\left(U+U^{c{\rm T}}\right),\\ S=\frac{1}{2}\left(U-U^{c{\rm T}}\right).\end{array}$ (11)

Использование (8) и (10) позволяет представить матрицы B и A как

$B=b_0{I}_n+U+\phi U^{c{\rm T}}=b_0{I}_n+C+S+\phi \left(C-S\right)=b_0{I}_n+\left(1+\phi \right)C+\left(1-\phi \right)S,$

$A=U^c+\phi U^{{\rm T}}=C^{{\rm T}}-S^{{\rm T}}+\phi C^{{\rm T}}+\phi S^{{\rm T}}=\left(1+\phi \right)C^{{\rm T}}-\left(1-\phi \right)S^{{\rm T}}.$

Так как $A=B-b_0{I}_n$, то $C^{{\rm T}}=C$ и $S^{{\rm T}}=-S$.

Подставляя выражение для B в уравнение (9), получаем условие

$\begin{array}{c}\left(b_0{I}_n+\left(1+\phi \right)C+\left(1-\phi \right)S\right)\times \left(b_0{I}_n+\left(1+\phi \right)C-\left(1-\phi \right)S\right)+\\ +\left(b_0{I}_n+\left(1+\phi \right)C-\left(1-\phi \right)S\right)\times \left(b_0{I}_n+\left(1+\phi \right)C+\left(1-\phi \right)S\right)=\\ =\mu I_n+\left(2-\mu \right)b_0\times \left(b_0{I}_n+\left(1+\phi \right)C+\left(1-\phi \right)S\right).\end{array}$

Раскроем здесь скобки:

$\begin{array}{c}2b_0^2{I}_n+4b_0\left(1+\phi \right)C+2{\left(1+\phi \right)}^2{C}^2-2{\left(1-\phi \right)}^2{S}^2+\left(1-{\phi }^2\right)\times \left(SC-CS+CS-SC\right)=\\ =2b_0^2{I}_n+\left(1-b_0^2\right)\mu I_n+\left(2-\mu \right)b_0\times \left(1+\phi \right)C+\left(2-\mu \right)b_0\left(1-\phi \right)S.\end{array}$

Это соотношение может быть записано в виде

$\left(2+\mu \right)b_0\left(1+\phi \right)C+2{\left(1+\phi \right)}^2{C}^2=\left(1-b_0^2\right)\mu I_n+\left(2-\mu \right)b_0\times \left(1-\phi \right)S+2{\left(1-\phi \right)}^2{S}^2.$

Матрица, стоящая в левой части, является циркулянтом, а матрица в правой части — косым циркулянтом, поэтому последнее равенство возможно лишь в виде системы

$\begin{array}{l}\left(2+\mu \right)b_0\left(1+\phi \right)C+2{\left(1+\phi \right)}^2{C}^2=\xi I_n,\\ \left(2-\mu \right)b_0\left(1-\phi \right)S+2{\left(1-\phi \right)}^2{S}^2=\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right)I_n.\end{array}$

Деля первое уравнение на ${\left(1+\phi \right)}^2/2$, а второе на ${\left(1-\phi \right)}^2/2$, получаем

$\begin{array}{l}\frac{\left(2+\mu \right)b_0}{\left(1+\phi \right)}2C+4C^2=\frac{2\xi }{{\left(1+\phi \right)}^2}{I}_n,\\ \frac{\left(2-\mu \right)b_0}{\left(1-\phi \right)}2S+4S^2=\frac{2\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right)}{{\left(1-\phi \right)}^2}{I}_n,\end{array}$

а с учетом (11) имеем совокупность уравнений

$\begin{array}{l}\frac{\left(2+\mu \right)b_0}{\left(1+\phi \right)}\left(U+U^{c{\rm T}}\right)+{\left(U+U^{c{\rm T}}\right)}^2=\frac{2\xi }{{\left(1+\phi \right)}^2}{I}_n,\\ \frac{\left(2-\mu \right)b_0}{\left(1-\phi \right)}\left(U-U^{c{\rm T}}\right)+{\left(U-U^{c{\rm T}}\right)}^2=\frac{2\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right)}{{\left(1-\phi \right)}^2}{I}_n,\end{array}$

или систему

$\begin{array}{l}\frac{\left(2+\mu \right)b_0}{\left(1+\phi \right)}U+\frac{\left(2+\mu \right)b_0}{\left(1+\phi \right)}{U}^{c{\rm T}}+U^2+U{U}^{c{\rm T}}+U^{c{\rm T}}U+{\left(U^{c{\rm T}}\right)}^2=\frac{2\xi }{{\left(1+\phi \right)}^2}{I}_n,\\ \frac{\left(2-\mu \right)b_0}{\left(1-\phi \right)}U-\frac{\left(2-\mu \right)b_0}{\left(1-\phi \right)}{U}^{c{\rm T}}+U^2-U{U}^{c{\rm T}}-U^{c{\rm T}}U+{\left(U^{c{\rm T}}\right)}^2=\frac{2\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right)}{{\left(1-\phi \right)}^2}{I}_n.\end{array}$

Сумму уравнений этой системы

$\frac{\left(4-2\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}U+\frac{\left(-4\phi +2\mu \right)b_0\phi }{(1+\phi )(1-\phi )}{U}^{c{\rm T}}+2U^2+2{\left(U^{c{\rm T}}\right)}^2=\frac{2(1-{\phi }^2)\xi +2\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right){(1+\phi )}^2}{{(1+\phi )}^2{(1-\phi )}^2}{I}_n$

после деления на 2 запишем в виде

$\frac{\left(2-\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}U+\frac{\left(\mu -2\phi \right)b_0\phi }{(1+\phi )(1-\phi )}{U}^{c{\rm T}}+U^2+{\left(U^{c{\rm T}}\right)}^2=\frac{(1-{\phi }^2)\xi +\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right){(1+\phi )}^2}{{(1+\phi )}^2{(1-\phi )}^2}{I}_n.$

Так как U — тёплицева строго верхняя треугольная матрица, то последнее соотношение эквивалентно системе

$\begin{array}{l}\frac{(1-{\phi }^2)\xi +\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right){(1+\phi )}^2}{{(1+\phi )}^2{(1-\phi )}^2}{I}_n=\mathrm{0,}\\ \frac{\left(2-\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}U+U^2=\mathrm{0,}\\ \frac{\left(\mu -2\phi \right)b_0\phi }{(1+\phi )(1-\phi )}{U}^{c{\rm T}}+{\left(U^{c{\rm T}}\right)}^2=\mathrm{0,}\end{array}$

которая может быть преобразована к виду

$\begin{array}{l}\frac{(1-{\phi }^2)\xi +\left(\xi -\left(1-b_0^2\right)\mu \right){(1+\phi )}^2}{{(1+\phi )}^2{(1-\phi )}^2}{I}_n=\mathrm{0,}\\ \left(\frac{\left(2-\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}{I}_n+U\right)U=\mathrm{0,}\\ \left(\frac{\left(\mu -2\phi \right)b_0\phi }{(1+\phi )(1-\phi )}{I}_n+U^{c{\rm T}}\right)U^{c{\rm T}}=0.\end{array}$ (12)

Рассмотрим второе уравнение системы (12). Если величина $\frac{\left(2-\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}$ не равна нулю, то матрица $\frac{\left(2-\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}{I}_n+U$ невырождена и U = 0. Следовательно, для получения решения в рассматриваемом случае должно выполняться равенство

$\frac{\left(2-\phi \mu \right)b_0}{(1+\phi )(1-\phi )}=0.$ (13)

Рассуждая аналогично относительно третьего уравнения системы (12), заключаем, что если выражение $\frac{\left(\mu -2\phi \right)b_0\phi }{(1+\phi )(1-\phi )}$ отлично от нуля, то U ^c = 0 и потому U = 0. Значит, нужно наложить ограничение

$\frac{\left(\mu -2\phi \right)b_0\phi }{(1+\phi )(1-\phi )}=0.$ (14)

Так как $\phi \ne \mathrm{0,}\pm 1$, то условия (13) и (14) можно записать как систему

$\begin{array}{l}\left(2-\phi \mu \right)b_0=\mathrm{0,}\\ \left(\mu -2\phi \right)b_0=0.\end{array}$

Данная система имеет только решение b₀ = 0. Если же $b_0\ne 0$, то m = 2j и должно выполняться соотношение j² = 1, что противоречит условию задачи. Итак, b₀ = 0 и система (12) сводится к виду

$U^2={\left(U^{c{\rm T}}\right)}^2=0.$ (15)

Для исследования этих условий будем различать случаи четного и нечетного порядка n. Если $n=2r+1$, то условие $U^2=0$ влечет за собой равенства ${\left\{U\right\}}_{\mathrm{1,2}}={\left\{U\right\}}_{\mathrm{1,3}}=\dots ={\left\{U\right\}}_{\mathrm{1,}r+1}=0$, или $u_1=u_2=\dots =u_r=0$, а условие ${\left(U^c\right)}^2=0$ влечет соотношения ${\left\{U^c\right\}}_{\mathrm{1,2}}={\left\{U^c\right\}}_{\mathrm{1,3}}=\dots ={\left\{U^c\right\}}_{\mathrm{1,}r+1}=0$, или $u_{n-1}=u_{n-2}=\dots =u_{r+1}=0$, что в совокупности означает U = 0.

При n = 2r условия (15) позволяют указать следующий вид матрицы U:

$U=\nu \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ 0_{r,r}& 0_{r,r}\end{array}\right).$

В этом случае $U=U^c$, матрицы A и B совпадают и являются скалярным кратным матрицы

$\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ \phi I_r& 0_{r,r}\end{array}\right).$

Так как матрицы A и B в уравнении (6) определены с точностью до скалярных множителей, то это уравнение, расписанное как

$\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& \phi I_r\\ I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ \phi I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ \phi I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& \phi I_r\\ I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)=\mu \phi \left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& I_r\end{array}\right),$

преобразуется к виду

$\left(\begin{array}{cc}{\phi }^2{I}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& I_r\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& {\phi }^2{I}_r\end{array}\right)=\mu \phi \left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& I_r\end{array}\right),$

что можно записать как

$\left(\begin{array}{cc}\left({\phi }^2+1\right)I_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& \left({\phi }^2+1\right)I_r\end{array}\right)=\mu \phi \left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& I_r\end{array}\right).$

Приходим к соотношению

${\phi }^2+1=\mu \phi .$

В силу определения m оно эквивалентно равенству

$\frac{1+{\phi }^2}{\phi }=\frac{1+{\sigma }^2}{\sigma },$

которое, благодаря условиям $\phi \ne 0$ и $\sigma \ne 0$, можно преобразовать к виду

$\sigma +{\phi }^2\sigma -\phi -{\sigma }^2\phi =\mathrm{0,}$

или

$(\sigma -\phi )(1-\phi \sigma )=0.$

Последнее равенство возможно, если

$\sigma \phi$ или $\sigma =\frac{1}{\phi }.$

Используя лемму 2, получаем

$T={\alpha }_1\left[A-\sigma A^{{\rm T}}\right]={\alpha }_1\left[\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ \phi I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)-\sigma \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& \phi I_r\\ I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)\right]={\alpha }_1\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& (1-\sigma \phi )I_r\\ (\phi -\sigma )I_r& 0_{r,r}\end{array}\right),$

$H={\beta }_{1}B{P}_n={\beta }_1\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ \phi I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)P_n={\beta }_1\left(\begin{array}{cc}{P}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& \phi P_r\end{array}\right).$

Если s = j, то, положив ${\alpha }_1=\frac{\alpha }{1-{\phi }^2}$ и b₁ = b, имеем

$T=\frac{\alpha }{1-{\phi }^2}\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& (1-{\phi }^2)I_r\\ 0_{r,r}& 0_{r,r}\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& I_r\\ 0_{r,r}& 0_{r,r}\end{array}\right),$

$H=\beta \left(\begin{array}{cc}{P}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& \phi P_r\end{array}\right);$

$\begin{array}{c}TH=\alpha \beta \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& \phi P_r\\ 0_{r,r}& 0_{r,r}\end{array}\right),\\ HT=\alpha \beta \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& P_r\\ 0_{r,r}& 0_{r,r}\end{array}\right).\end{array}$

В этом случае

$TH=\phi HT.$

Матрицы T и H являются s-коммутирующими для s = j. Приходим к классу 3 теоремы 1.

При $\sigma =\frac{1}{\phi }$ для ${\alpha }_1=\frac{\alpha \phi }{{\phi }^2-1}$ и b₁ = b

$T=\frac{\alpha \phi }{{\phi }^2-1}\left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& 0_{r,r}\\ \left(\phi -\frac{1}{\phi }\right)I_r& 0_{r,r}\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& 0_{r,r}\\ I_r& 0_{r,r}\end{array}\right),$

$H=\beta \left(\begin{array}{cc}{P}_r& 0_{r,r}\\ 0_{r,r}& \phi P_r\end{array}\right);$

$\begin{array}{l}TH=\alpha \beta \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& 0_{r,r}\\ P_r& 0_{r,r}\end{array}\right),\\ HT=\alpha \beta \left(\begin{array}{cc}{0}_{r,r}& 0_{r,r}\\ \phi P_r& 0_{r,r}\end{array}\right).\end{array}$

Теперь

$TH=\frac{1}{\phi }HT.$

Матрицы T и H являются s-коммутирующими для $\sigma =\frac{1}{\phi }$. Получаем класс 4.