Parasitic Eigenvalues of Spectral Problems for the Laplacian with Third-Type Boundary Conditions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Spectral problems for the Laplacian with Robin and Steklov (third-type) boundary conditions on a smooth boundary of a plane domain are considered. These conditions involve a small parameter and a coefficient of “wrong” sign, giving rise to negative eigenvalues, which are called parasitic. Such problems and eigenvalues arise in numerical schemes when regular variations in boundaries (small nonuniform shifts along the normal) are modeled by perturbations of differential operators in boundary conditions. Asymptotic expansions of some parasitic eigenvalues are constructed and justified, and a priori estimates are obtained, which help to determine their locations on the real axis and the effect exerted on the simulation errors.

About the authors

S. A. Nazarov

Institute for Problems in Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences, 199034, St. Petersburg, Russia

Author for correspondence.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Russia, Saint-Petersburg

References

  1. Hadamard J. Mémoire sur le problème d’analyse relatif à l’équilibre des plaques élastiques encastrées // 1968. Œuvres V. 2. P. 515–631.
  2. Sokolowski J., Zolésio J.-P. Introduction to Shape Optimization. Shape Sensitivity Analysis. Springer Ser. Comput. Math. V. 16. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
  3. Delfour M.C., Zolésio J.-P. Shapes and Geometries. Analysis, Differential Calculus, and Optimization. Adv. Design and Control, V. 4. Philadelphia: Soc. Indust. Appl. Math. (SIAM), 2001.
  4. Kawohl B. Some nonconvex shape optimization problems. In: Optimal Shape Design (Tróia, 1998). Lect. Not. Math. V. 1740. Berlin: Springer, 2000. P. 7–46.
  5. Henrot A. Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators. Front. Math. Basel: Birkhäuser Verlag, 2006.
  6. Kozlov V. On the Hadamard formula for nonsmooth domains // J. Diff. Equat. 2006. V. 230. P. 532–555.
  7. Kozlov V.A., Nazarov S.A. On the Hadamard formula for second order systems in non-smooth domains // Comm. Part. Different. Equat. 2012. V. 37. P. 901–933.
  8. Назаров С.А. Двучленная асимптотика решений спектральных задач с сингулярными возмущениями // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 3. С. 291–320.
  9. Назаров С.А. Асимптотическое моделирование упругих тел с поврежденными или упрочненными поверхностями // Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 5. С. 611–616.
  10. Назаров С.А. Асимптотика решений и моделирование задач теории упругости в области с быстроосциллирующей границей // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72. № 3. С. 103–158.
  11. Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. Санкт-Петербург. матем. общества. 1998. Т. 6. С. 151–212.
  12. Назаров С.А. Моделирование сингулярно возмущенной спектральной задачи при помощи самосопряженных расширений операторов предельных задач // Функц. анализ и его приложения. 2015. Т. 49. № 1. С. 31–48.
  13. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
  14. Levitin M., Parnovski L. On the principal eigenvalue of a Robin problem with a large parameter // Math. Nachr. 2008. V. 281. № 2. P. 272–281.
  15. Pankrashkin K. On the asymptotics of the principal eigenvalue problem for a Robin problem with a large parameter in a planar domain // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 2013. V. 4. № 4. P. 474–483.
  16. Exner P., Minakov A., Parnovski L. Asymptotic eigenvalue estimates for a Robin problem with a large parameter // Port. Math. 2014. V. 71. № 2. P. 141–156.
  17. Pankrashkin K., Popoff N. An effective Hamiltonian for the eigenvalue asymptotics of the Robin Laplacian with a large parameter // J. Math. Pures Appl. 2016. V. 106. P. 615–650.
  18. Helffer B., Kachmar A. Eigenvalues for the Robin Laplacian in domains with variable curvature // Trans. Am. Math. Soc. 2017. V. 369. P. 3253–3287.
  19. Helffer B., Kachmar A. Semi-classical edge states for the Robin Laplacian // Mathematika. 2022. V. 68. P. 454–485.
  20. Камоцкий И.В., Назаров С.А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // Пробл. матем. анализа. Вып. 19. Новосибирск: Науч. книга, 1999. С. 105–148.
  21. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337–354.
  22. Назаров С.А. Асимптотика отрицательных собственных чисел задачи Дирихле при плотности переменного знака // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 27. М.: Изд-во МГУ, 2009. С. 235–275.
  23. Nazarov S.A., Pankratova I.L., Piatnitski A.L. Homogenization of the spectral problem for periodic elliptic operators with sign-changing density function // Arch. Ration. Mech. Anal. 2011. V. 200. № 3. P. 747–788.
  24. Chesnel L., Claeys X., Nazarov S.A. Spectrum of a diffusion operator with coefficient changing sign over a small inclusion // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik. 2015. V. 66. P. 2173–2196.
  25. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  26. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. № 3. С. 3–80.
  27. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15. № 4. С. 27–95.
  28. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15. № 2. P. 238–242.
  29. Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincaré. Anal. Non Linèaire. 2009. V. 26. № 2. P. 547–560.
  30. Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. № 3. P. 893–912.
  31. Nazarov S.A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2016. V. 368. № 7. P. 4787–4829.
  32. Pankrashkin K. On the Robin eigenvalues of the Laplacian in the exterior of a convex polygon // Nanosyst. Phys. Chem. Math. 2015. V. 6. P. 46–56.
  33. Pankrashkin K. On the discrete spectrum of Robin Laplacians in conical domains // Math. Model. Nat. Phenom. 2016. V. 11. № 2. P. 100–110.
  34. Khalile M., Ourmières-Bonafos T., Pankrashkin K. Effective operators for Robin eigenvalues in domains with corners // Ann. Institut Fourier. 2020. V. 70. P. 2215–2301.
  35. Daners D. Robin boundary problems on arbitrary domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V. 352. № 9. P. 4207–4236.
  36. Daners D. A Faber–Krahn inequality for Robin problems in any space dimansion // Math. Ann. 2006. V. 335. № 4. P. 767–785.
  37. Назаров С.А., Таскинен Я. О спектре задачи Стеклова в области с пиком // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2008. Вып. 1. С. 56–65.
  38. Nazarov S.A., Taskinen J. Spectral anomalies of the Robin Laplacian in non-Lipschitz domains // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. 2013. V. 20. P. 27–90.
  39. Nazarov S.A., Taskinen J. “Blinking eigenvalues” of the Steklov problem generate the continuous spectrum in a cuspidal domain // J. Different. Equat. 2020. V. 269. № 4, 5. P. 2774–2797.
  40. Nazarov S.A., Popoff N., Taskinen J. Plummeting and blinking eigenvalues of the Robin Laplacian in a cuspidal domain // Proceed. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A Math. 2019. P. 1–23.
  41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (релятивиская теория). М.: Наука, 1974. 752 с.
  42. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 264 с.
  43. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 9. С. 1654–1660.
  44. Назаров С.А. Метод Вишика–Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 1. Задача в конусе // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 4. С. 142–163.
  45. Назаров С.А. Метод Вишика–Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 2. Задача в ограниченной области // Сиб. матем. журн. 1981. Т. 22. № 5. С. 132–152.
  46. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
  47. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск : Науч. книга, 2002.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 С.А. Назаров

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».