Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 76, № 4 (2021)
- Год: 2021
- Статей: 8
- URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/issue/view/7523
Хаос и интегрируемость в $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$-геометрии
Аннотация
Мы даем обзор ситуации с интегрируемостью геодезических потоков на трехмерных многообразиях $\mathcal M^3$, допускающих одну из трех групповых геометрий в смысле Тёрстона, обращая особое внимание на случай $\operatorname{SL}(2,\mathbb R)$. Основными примерами являются факторы $\mathcal M^3_\Gamma=\Gamma\backslash \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$, где $\Gamma \subset \operatorname{PSL}(2,\mathbb R)$ – кофинитная фуксова группа. Мы показываем, что соответствующее фазовое пространство $T^*\mathcal M_\Gamma^3$ содержит две открытые области с интегрируемым и хаотическим поведением, в которых топологическая энтропия равна нулю и положительна соответственно. В качестве конкретного примера мы рассматриваем модулярное 3-многообразие с модулярной группой $\Gamma=\operatorname{PSL}({2,\mathbb Z})$. Известно, что в этом случае $\mathcal M^3_\Gamma$ оказывается гомеоморфным дополнению к узлу-трилистнику $\mathcal K$ в 3-сфере. Э. Жис доказал замечательный факт: поднятие периодических геодезических с модулярной поверхности на $\mathcal M^3_\Gamma$ приводит к тому же изотопическому классу узлов, который возник в хаотической версии знаменитой системы Лоренца и был подробно изучен Дж. Бирман и Р. Уильямсом. Мы показываем, что в интегрируемом пределе геодезической системы на $\mathcal M^3_\Gamma$ эти узлы переходят в кабельные узлы трилистника. Библиография: 60 названий.
Успехи математических наук. 2021;76(4):3-36
3-36
Интегрируемые полиномиальные гамильтоновы системы и симметрические степени плоских алгебраических кривых
Аннотация
Обзор посвящен интегрируемым полиномиальным гамильтоновым системам, ассоциированным с симметрическими степенями плоских алгебраических кривых. В центре внимания открытые авторами связи систем Штеккеля, уравнений Новикова для $g$-й стационарной иерархии Кортевега–де Фриза и координат Дубровина–Новикова на универсальном расслоении якобианов гиперэллиптических кривых с новыми системами, полученными при рассмотрении симметрических степеней кривых, когда степень не равна роду кривой. Библиография: 52 названия.
Успехи математических наук. 2021;76(4):37-104
37-104
Динамическая алгебра Бете над $\mathfrak{sl}_2$ и функции на парах квазимногочленов
Аннотация
Рассматривается пространство $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ функций на подалгебре Картана алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ со значениями в подпространстве нулевого веса $V[0]$ тензорного произведения неприводимых конечномерных $\mathfrak{sl}_2$-модулей. Также рассматривается алгебра $\mathcal{B}$ коммутирующих дифференциальных операторов на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2} V[0]$, определённая в 2009 г. В. Н. Рубцовым, А. В. Силантьевым и Д. В. Талалаевым. Изучается связь между действием алгебры $\mathcal{B}$ на $\operatorname{Fun}_{\mathfrak{sl}_2}V[0]$ и пространством пар квазимногочленов. Библиография: 25 названий.
Успехи математических наук. 2021;76(4):105-138
105-138
Уравнение тетраэдров: алгебра, топология и интегрируемость
Аннотация
Уравнение тетраэдров Замолодчикова наследует почти все богатство структур и сюжетов, в которых фигурирует уравнение Янга–Бакстера. Вместе с тем этот переход символизирует рост порядка задачи, шаг от уравнения Янга–Бакстера к локальному уравнению Янга–Бакстера, от алгебры Ли к $2$-Ли алгебре, от обычных узлов в $\mathbb{R}^3$ к $2$-узлам в $\mathbb{R}^4$. Мы проследим за этими переходами в нескольких примерах, а также поговорим о проявлении уравнения тетраэдров в давно стоящем вопросе интегрируемости трехмерной модели Изинга и связанной с ней модели теории нейронных сетей – модели Хопфилда на двумерной решетке. Библиография: 82 названия.
Успехи математических наук. 2021;76(4):139-176
139-176
Многоточечные формулы для обратного рассеяния при высоких энергиях
Успехи математических наук. 2021;76(4):177-178
177-178
Многоуровневая интерполяция системы Никишина и ограниченность матриц Якоби на бинарном дереве
Успехи математических наук. 2021;76(4):179-180
179-180
Группы, порождённые инволюциями, нумерации посетов и центральные меры
Успехи математических наук. 2021;76(4):181-182
181-182
Игорь Моисеевич Кричевер (к семидесятилетию со дня рождения)
Успехи математических наук. 2021;76(4):183-193
183-193