Группа Р. Томпсона $F$ и проблема аменабельности

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В центре внимания данной работы находится группа Ричарда Томпсона $F$, открытая в 60-х годах прошлого века. Ей посвящено большое число работ. Нас интересует в первую очередь знаменитая проблема аменабельности этой группы, поставленная Россом Гейганом в 1979 г. Предпринимались многочисленные попытки решить её как в том, так и в другом направлении, но она остаётся открытой. В данном обзоре мы излагаем наиболее важные известные свойства этой группы, касающиеся проблемы слов, представления элементов группы кусочно линейными функциями, а также диаграммами и другими геометрическими объектами. Излагаются классические результаты М. Брина и К. Сквайера, касающиеся свободных подгрупп и тождеств. Мы включили изложение более современных важных результатов, относящихся к свойствам графов Кэли (конструкция Белка–Брауна), а также теорему Бартольди о свойствах уравнений в групповых кольцах. Отдельно рассматриваются критерии (не)аменабельности групп, полезные для работы по основной проблеме. В конце мы приводим ряд своих результатов о структуре графов Кэли и новом алгоритме решения проблемы слов. Библиография: 69 названий.

Об авторах

Виктор Сергеевич Губа

Вологодский государственный университет

Список литературы

  1. С. И. Адян, “Случайные блуждания на свободных периодических группах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:6 (1982), 1139–1149
  2. G. N. Arzhantseva, V. S. Guba, M. Lustig, J.-P. Preaux, “Testing Cayley graph densities”, Ann. Math. Blaise Pascal, 15:2 (2008), 233–286
  3. L. Bartholdi, “Amenability of groups is characterized by Myhill's theorem”, With an appendix by Dawid Kielak, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 21:10 (2019), 3191–3197
  4. J. M. Belk, K. S. Brown, “Forest diagrams for elements of Thompson's group $F$”, Internat. J. Algebra Comput., 15:5-6 (2005), 815–850
  5. M. G. Brin, “The ubiquity of Thompson's group $F$ in groups of piecewise linear homeomorphisms of the unit interval”, J. London Math. Soc. (2), 60:2 (1999), 449–460
  6. M. G. Brin, C. C. Squier, “Groups of piecewise linear homeomorphisms of the real line”, Invent. Math., 79:3 (1985), 485–498
  7. K. S. Brown, “Finiteness properties of groups”, J. Pure Appl. Algebra, 44:1-3 (1987), 45–75
  8. K. S. Brown, R. Geoghegan, “An infinite-dimentional torsion-free $FP_{infty}$ group”, Invent. Math., 77 (1984), 367–381
  9. J. Burillo, “Growth of positive words in Thompson's group $F$”, Comm. Algebra, 32:8 (2004), 3087–3094
  10. J. Burillo, Introduction to Thompson's group $F$, preprint, 2016, 85 pp.,par
  11. J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry, “Introductory notes on Richard Thompson's groups”, Enseign. Math. (2), 42:3-4 (1996), 215–256
  12. T. Ceccherini-Silberstein, M. Coornaert, Cellular automata and groups, Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, Berlin, 2010, xx+439 pp.
  13. C. G. Chehata, “An algebraically simple ordered group”, Proc. London Math. Soc. (3), 2 (1952), 183–197
  14. Ching Chou, “Elementary amenable groups”, Illinois J. Math., 24:3 (1980), 396–407
  15. S. Cleary, J. Taback, “Thompson's group $F$ is not almost convex”, J. Algebra, 270:1 (2003), 133–149
  16. J. M. Cohen, “Cogrowth and amenability of discrete groups”, J. Funct. Anal., 48:3 (1982), 301–309
  17. M. M. Day, “Amenable semigroups”, Illinois J. Math., 1:4 (1957), 509–544
  18. П. де ля Арп, Р. И. Григорчук, Т. Чекерини-Сильберстайн, “Аменабельность и парадоксальные разбиения для псевдогрупп и дискретных метрических пространств”, Алгебра. Топология. Дифференциальные уравнения и их приложения, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 224, Наука, М., 1999, 68–111
  19. V. Dlab, “On a family of simple ordered groups”, J. Austral. Math. Soc., 8:3 (1968), 591–608
  20. J. Dydak, “A simple proof that pointed FANR-spaces are regular fundamental retracts of ANR's”, Bull. Acad. Polon Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 25:1 (1977), 55–62
  21. J. Dydak, “1-movable continua need not be pointed 1-movable”, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 25:6 (1977), 559–562
  22. M. Elder, E. Fusy, A. Rechnitzer, “Counting elements and geodesics in Thompson's group $F$”, J. Algebra, 324:1 (2010), 102–121
  23. E. Folner, “On groups with full Banach mean value”, Math. Scand., 3 (1955), 243–254
  24. S. B. Fordham, Minimal length elements of Thompson's group $F$, PhD thesis, Brigham Young Univ., 1995, 88 pp.
  25. P. Freyd, A. Heller, “Splitting homotopy idempotents II”, J. Pure Appl. Algebra, 89:1-2 (1993), 93–106
  26. R. Geoghegan, “Open problems in infinite-dimensional topology”, 1979 version, Topology Proc., 4:1 (1979), 287–338
  27. S. M. Gersten, “Selected problems”, Combinatorial group theory and topology (Alta, UT, 1984), Ann. of Math. Stud., 111, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1987, 545–551
  28. G. Golan, M. Sapir, “On subgroups of R. Thompson's group $F$”, Trans. Amer. Math. Soc., 369:12 (2017), 8857–8878
  29. G. Golan, M. Sapir, “On Jones' subgroup of R. Thompson group $F$”, J. Algebra, 470 (2017), 122–159
  30. G. Golan, M. Sapir, “On the stabilizers of finite sets of numbers in the R. Thompson group $F$”, Алгебра и анализ, 29:1 (2017), 70–110
  31. Ф. Гринлиф, Инвариантные средние на топологических группах и их приложения, Мир, М., 1973, 136 с.
  32. Р. И. Григорчук, “Симметричные случайные блуждания на дискретных группах”, Многокомпонентные случайные системы, Наука, М., 1978, 132–152
  33. Р. И. Григорчук, “Степени роста конечно-порожденных групп и теория инвариантных средних”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:5 (1984), 939–985
  34. Р. И. Григорчук, “О проблеме М. Дэя об неэлементарных аменабельных группах в классе конечно-определенных групп”, Матем. заметки, 60:5 (1996), 774–775
  35. Р. И. Григорчук, “Пример конечно определенной аменабельной группы, не принадлежащей классу $EG$”, Матем. сб., 189:1 (1998), 79–100
  36. V. S. Guba, “Polynomial upper bounds for the Dehn function of R. Thompson's group $F$”, J. Group Theory, 1:2 (1998), 203–211
  37. V. S. Guba, “Polynomial isoperimetric inequalities for Richard Thompson's groups $F$, $T$, and $V$”, Algorithmic problems in groups and semigroups (Lincoln, NE, 1998), Trends Math., Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2000, 91–120
  38. V. S. Guba, “On the properties of the Cayley graph of Richard Thompson's group $F$”, Internat. J. Algebra Comput., 14:5-6 (2004), 677–702
  39. V. S. Guba, “The Dehn function of Richard Thompson's group $F$ is quadratic”, Invent. Math., 163:2 (2006), 313–342
  40. V. S. Guba, “On the density of Cayley graphs of R. Thompson's group $F$ in symmetric generators”, Internat. J. Algebra Comput., 31:5 (2021), 969–981
  41. V. S. Guba, “On the Ore condition for the group ring of R. Thompson's group $F$”, Comm. Algebra, 49:11 (2021), 4699–4711
  42. V. Guba, Evacuation schemes on Cayley graphs and non-amenability of groups, submitted to Internat. J. Algebra Comput., 2021, 17 pp.
  43. В. С. Губа, С. М. Львовский, “Парадокс” Банаха–Тарского, 2-е изд., МЦНМО, М., 2016, 48 с.
  44. V. S. Guba, M. V. Sapir, “The Dehn function and a regular set of normal forms for R. Thompson's group $F$”, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 62:3 (1997), 315–328
  45. V. Guba, M. Sapir, Diagram groups, Mem. Amer. Math. Soc., 130, № 620, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 117 pp.
  46. В. С. Губа, М. В. Сапир, “О подгруппах группы Р. Томпсона $F$ и других групп диаграмм”, Матем. сб., 190:8 (1999), 3–60
  47. V. S. Guba, M. V. Sapir, “Rigidity properties of diagram groups”, Internat. J. Algebra Comput., 12:1-2 (2002), 9–17
  48. V. S. Guba, M. V. Sapir, “Diagram groups and directed $2$-complexes: homotopy and homology”, J. Pure Appl. Algebra, 205:1 (2006), 1–47
  49. V. S. Guba, M. V. Sapir, “Diagram groups are totally orderable”, J. Pure Appl. Algebra, 205:1 (2006), 48–73
  50. M. Hall Jr., “Distinct representatives of subsets”, Bull. Amer. Math. Soc., 54:10 (1948), 922–926
  51. P. Hall, “On representation of subsets”, J. London Math. Soc., 10 (1935), 26–30
  52. P. R. Halmos, H. E. Vaughan, “The marriage problem”, Amer. J. Math., 72:1 (1950), 214–215
  53. G. Higman, Finitely presented infinite simple groups, Notes on Pure Math., 8, Austral. Nat. Univ., Canberra, 1974, vii+82 pp.
  54. H. Kesten, “Symmetric random walks on groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 92:2 (1959), 336–354
  55. H. Kesten, “Full Banach mean values on countable groups”, Math. Scand., 7 (1959), 146–156
  56. R. McKenzie, R. J. Thompson, “An elementary construction of unsolvable word problems in group theory”, Word problems: decision problems and the Burnside problem in group theory (Irvine, CA, 1969), Stud. Logic Found. Math., 71, North-Holland, Amsterdam, 1973, 457–478
  57. L. Mirsky, Transversal theory. An account of some aspects of combinatorial mathematics, Math. Sci. Eng., 75, Academic Press, New York–London, 1971, ix+255 pp.
  58. J. T. Moore, “Fast growth in the Folner function for Thompson's group $F$”, Groups Geom. Dyn., 7:3 (2013), 633–651
  59. Дж. фон Нейман, “К общей теории меры”, Избранные труды по функциональному анализу, т. 1, Наука, М., 1987, 171–200
  60. А. Ю. Ольшанский, “К вопросу о существовании инвариантного среднего на группе”, УМН, 35:4(214) (1980), 199–200
  61. A. Yu. Ol'shanskii, M. V. Sapir, “Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 96 (2003), 43–169
  62. O. Ore, “Linear equations in non-commutative fields”, Ann. of Math. (2), 32:3 (1931), 463–477
  63. Г. Полиа, Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, Часть 1. Ряды, интегральное исчисление, теория функций, 3-е изд., Наука, М., 1978, 392 с.
  64. M. V. Sapir, Combinatorial algebra: syntax and semantics, With contributions by V. S. Guba, M. V. Volkov, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2014, xvi+355 pp.
  65. Ж.-П. Серр, “Деревья, амальгамы и ${SL}_2$”, Математика, 18:1 (1974), 3–51
  66. R. P. Stanley, Enumerative combinatorics, v. 2, Cambridge Stud. Adv. Math., 62, 1999, xii+581 pp.
  67. R. Szwarc, “A short proof of the Grigorchuk–Cohen cogrowth theorem”, Proc. Amer. Math. Soc., 106:3 (1989), 663–665
  68. D. Tamari, “A refined classification of semi-groups leading to generalized polynomial rings with a generalized degree concept”, Proceedings of the international congress of mathematicians (Amsterdam, 1954), v. 1, P. Noordhoff N. V., Groningen; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1957, 439–440
  69. S. Wagon, The Banach–Tarski paradox, Encyclopedia Math. Appl., 24, Camdridge Univ. Press, Cambridge, 1985, xvi+251 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Губа В.С., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».