Том 75, № 4 (2020)

Год: 2020
Статей: 8
URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/issue/view/7517

Спектральные треугольники несамосопряженных операторов Хилла и Дирака

Джаков П.Б., Митягин Б.С.

Аннотация

Дан обзор результатов последних 10–12 лет о структуре спектров операторов Хилла–Шрёдингера и Дирака. Пусть $L$ – оператор Хилла или одномерный оператор Дирака на отрезке $[0,\pi]$. Если мы рассматриваем $L$ с граничными условиями Дирихле или с периодическими и антипериодическими граничными условиями, то соответствующие спектры дискретны и для достаточно больших $|n|$ ($n\in \mathbb{Z}$) близки к $n^2$ в случае Хилла и к $n$ в случае Дирака; при этом мы имеем одно собственное значение Дирихле $\mu_n$ и два периодических (если $n$ четно) или антипериодических (если $n$ нечетно) собственных значения $\lambda_n^-$, $\lambda_n^+$ (с учетом их кратности). Мы даем асимптотические оценки спектральных зазоров $\gamma_n=\lambda_n^+-\lambda_n^-$ и уклонений $\delta_n=\mu_n-\lambda_n^+$ в терминах коэффициентов Фурье потенциала. Более того, для специальных потенциалов – тригонометрических многочленов – найденные асимптотики $\gamma_n$ и $\delta_n$ точны. Библиография: 45 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2020;75(4):3-44

3-44

(Rus)

(JATS XML)

Семантические пределы плотных комбинаторных объектов

Корельяно Л.Н., Разборов А.А.

Аннотация

Теория пределов дискретных комбинаторных объектов успешно развивается в течение последнего десятилетия. Синтаксический, алгебраический подход к предмету широко известен как “алгебры флагов”, тогда как семантический, геометрический подход часто именуется “пределами графов”. Язык теории пределов графов в целом более наглядный и выразительный, но той ценой, что он лучше подходит для простых графов, чем для более общих комбинаторных объектов. Сообразно этому, из литературы известны несколько попыток (разной степени общности) определить предельные объекты для более сложных комбинаторных структур.Настоящая статья – еще одна попытка получить рабочую общую теорию плотных предельных объектов. В отличие от предыдущих усилий в этом направлении (за важным исключением работы А. Ароскара и Дж. Каммингса 2014 г.), наши построения основанына тех же понятиях логики первого порядка и теории моделей, что используются в теории алгебр флагов.Показано, что наши определения естественным образом охватывают многие ранее рассматривавшиеся случаи (такие как графоны, гиперграфоны,направленные графоны, пермутоны, посетоны, раскрашенные графы и пр.),а фундаментальные свойства существования и единственности распространяютсяна этот более общий случай. Также приведено наглядное общее доказательствонепрерывного варианта индуцированной леммы об удалении,основанное на теореме компактности для логики высказываний.Особо выделяется понятие открытой интерпретации, часто позволяющее переноситьметоды и результаты с одной ситуации на другую. И в этом случае показано,что некоторые ранее известные рассуждения можно довольно естественно выразитьна таком языке.Библиография: 68 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2020;75(4):45-152

45-152

(Rus)

(JATS XML)

Геометрия банаховых пределов и их приложения

Семёнов Е.М., Сукочев Ф.А., Усачев А.С.

Аннотация

Банахов предел – это положительный инвариантный относительно сдвига функционал на $\ell_\infty$, являющийся продолжением функционала$$(x_1, x_2, …) \mapsto \lim_{n\to\infty} x_n$$ с множества сходящихся последовательностей на $\ell_\infty$. История банаховых пределов началась с классических работ С. Банаха и С. Мазура. Множество банаховых пределов обладает интересными и полезными в приложениях свойствами. В настоящем обзоре дано описание современного состояния теории банаховых пределов и тех разделов анализа, где банаховы пределы нашли свое применение.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2020;75(4):153-194

153-194